1、2013年上海市高三數(shù)學(xué)一?？陀^壓軸題匯編一、填空題1 (2014年閔行區(qū)一模理科 12)設(shè)i，j依次表示平面直角坐標(biāo)系x軸、y軸上的單位向量，且 ai| + a_2j=J5,則a + 2t的取值范圍是答案：6:5,3 5詳解：根據(jù)題意,a -I + a -2j =45的幾何意義為一個點(diǎn)到(1,0)的距離加上這個點(diǎn)到(0, 2)的距離等于，5,如下圖所示，即到 A點(diǎn)的距離加上到 B的距離等于 J5 ,而AB就等于J5 ,所以這個點(diǎn)的軌跡即線段6 ,.5CD =5，因?yàn)?BC=2&, AC = 3,AB,而我們要求的取值范圍的幾何意義即轉(zhuǎn)化成線段AB上的點(diǎn)到點(diǎn)(-2,0)的距離的取值范圍

2、，最短距離即下圖中的CD的長度，用點(diǎn)到直線的距離公式或者等面積法可求得所以距離的最大值為 3教法指導(dǎo)：用代數(shù)的方法計(jì)算，因?yàn)橛懈?，過程會很繁雜，結(jié)合向量的模的幾何意義，轉(zhuǎn)化成圖形問題，簡潔明了，易于理解，教學(xué)過程中注意引導(dǎo)數(shù)形結(jié)合的使用2 ( 2014年閔行區(qū)一模理科13)log2 xf(x) = 2 2 c 70x - 8x 33(0 :二 x < 4)，若 abc,d 互不相同，且 f (a) = f (b) = f (c) = f (d),則 Oad 的(x 4)取值范圍是答案：(32,35)詳解：根據(jù)題意，如圖所示,2ab=1, abcd =cd = c(12c) =12c c

3、 , 4<c<5,所以答案為(32,35)教法指導(dǎo)：這類題出現(xiàn)較多,典型的數(shù)形結(jié)合題型，要讓學(xué)生熟悉各類函數(shù)圖象，以及相應(yīng)的性質(zhì)，尤其是對稱性和周期性；在草稿紙上作圖的時候，雖然是草圖，但有必要做出一些特殊點(diǎn)進(jìn)行定位；寫區(qū)間的時候，務(wù)必考慮區(qū)間的開閉情況變式練習(xí)(2014年閔行區(qū)一模文科 13)已知函數(shù)f(x)=|x1 -1 ,若關(guān)于x的方程f (x)=t (tW R)恰有四個互不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)，則x1+x2+x3-x4的取值范圍是答案：(3,4)2詳斛：根據(jù)延思，如圖所示x1+x2=0,x1+ x2+ x3x4 =

4、x3x4 = x3(4 -x3) = 4x3-x3,x3 c(1,2)3 ( 2014年閔行區(qū)一模理科14)5答案：2,21 1+,FWtW15,其中 k=2,3,.,2014，則所有 Ak的交集為 kt k2一， - ， 1詳解：因?yàn)?k =2,3,.,2014 ,所以-1 k21，一 ,1,父一1,結(jié)合耐克函數(shù)的圖像，如圖所不，當(dāng) FMtW1時, kkA 1，Ak =2, k +,因?yàn)?k =2,3,2014 k,.1s 5,時，k+ 遞增，所以所有 Ak的交集為2, k2教法指導(dǎo)：本題考查了耐克函數(shù)的圖像與性質(zhì),結(jié)合圖像以及函數(shù)的定義域，處理函數(shù)的值域問題；難度不大,但學(xué)生可能會因?yàn)楹?/p>

5、參數(shù)k而產(chǎn)生畏難心理，可以讓學(xué)生先求A2, A3, A4,發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，再總結(jié)歸納變式練習(xí)(2014年閔行區(qū)一模文科x4 kx2 T14)已知f(x) = x, t一- (k是實(shí)常數(shù))，則 f(x)的最大值與最小值的乘積 x4 x2 1-k+2答案：34 (2014年徐匯區(qū)一模理科12)如圖所示，已知點(diǎn)G是 ABC的重心，過 G作直線與 AB、AC兩邊分別交于 M、N兩點(diǎn)，且AM= xAB', AN' =yAC ,則 2y-的值為x y答案:詳解:解法一：: M ,G, N三點(diǎn)共線，假設(shè)Ag =九AMAN，有人 + R = 1, AM = xAB,AN = yAC ,. Ag

6、= AM11+ RAN = KxAB+NyAC ,因?yàn)?G 是重心，所以 AG = AB + AC即九x = Ny =，九十N=1, /. 十一=1 ,化簡 *丫 = 33x 3yx y 3，一 c2解法一：特殊值法，取 x = y =3教法指導(dǎo)：作為填空題，本題的第一做法應(yīng)是解法二，但對于一些特別認(rèn)真的學(xué)生，一定會問具體做法的，要求我們能夠?qū)懗鼍唧w過程；注意向量一些常用知識點(diǎn)，以及一些轉(zhuǎn)化技巧5 (2014年徐匯區(qū)一模理科13)一個五位數(shù) abcde滿足a <b,b >c >d ,d <e,且aAd,be (如37201,45412),則稱這個五位數(shù)符合“正弦規(guī)律”.

7、那么，共有個五位數(shù)符合“正弦規(guī)律”答案:2892詳解:根據(jù)題意，第二位最大，第四位最小，其他三個數(shù)介于二者之間；由此可以展開分類2,情況為13父8種；3,情況為23義7種;4,情況為33父6種;第二位數(shù)與第四位數(shù)相差第二位數(shù)與第四位數(shù)相差第二位數(shù)與第四位數(shù)相差以此類推，總共的情況為13 M8+23 X 7+33 X 6+43 黑 5+53 黑 4+63 m 3+73 m 2+83 X 1=2892 種教法指導(dǎo)：特殊元素優(yōu)先原則，這里面最大的第二位數(shù)與最小的第四位數(shù)最特殊，由此可以展開分類；這類題型學(xué)生一般不知道從何下手，我們要教會學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找出特殊元素或特殊位置，從而合理分類6 (2014

8、年徐匯區(qū)一模理科 14)定義區(qū)間(c,d )、E,d )、(c,d】、Ic,d】的長度均為 dc(d >c ).已知實(shí)數(shù)a,b(a>b則滿足11+ >1的x構(gòu)成的區(qū)間的長度之和為x-ax-b答案：211詳解：因?yàn)榍蟮氖菂^(qū)間的長度，原不等式十至1 (a Ab)的解的區(qū)間長度和不等式x - a x - b1x2 -tx - 2x t+ - >1 (t > 0對解的區(qū)間長度是一樣的，因?yàn)橹皇菆D像發(fā)生了平移，移項(xiàng)通分得 至0 ,X -txx(x-t)t 2 - .t2 4, t 2 .t2 4、因式分解后用數(shù)軸標(biāo)根法解得x = (0, 2 (t, 區(qū)間長度之和為22t 2

9、 - '.t2 4 t 2 t2 4 , c-t =2 22教法指導(dǎo)：因?yàn)楹袃蓚€字母，不等式不好解，所以我們要化歸成一個字母的不等式問題，因?yàn)槊枋龅氖菂^(qū)間 長度，根據(jù)題意，圖像平移并不改變區(qū)間長度，就轉(zhuǎn)化成一個字母，然后解出不等式即可求區(qū)間長度，注意轉(zhuǎn) 化化歸的領(lǐng)會；當(dāng)然，這道題也可以用特殊值法，不再贅述7 (2014年松江區(qū)一模理科11)對于任意實(shí)數(shù)x , (x)表示不小于x的最小整數(shù)，如(1. 2 = 2,- 0)2= .0定義在R上的函數(shù)f (x) = ( x+(2x，若集合 A = y y = f (x),1WxM0,則集合 A中所有元素的和為答案：-4詳解：x = 1 時，

10、f(x)=3； -1<x<-0.5, f(x)=1； -0.5 < x < 0 , f(x) = 0； A = -3,-1,01教法指導(dǎo)：根據(jù)題目定義，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)則，用枚舉法列出所有元素即可，重在理解8 ( 2014年松江區(qū)一模理科 13)已知函數(shù) f (x) = loga 1 x (a >0,a #1),若 x1 <x2 <x3 <x4 ,且 f (x1) = f (x2) = f (x3) = f (x4),則 1 .工 L.L x1 x2 x3 x4答案：2詳解：設(shè) f (x) = loga 1 -x| = t,loga 1-x=

11、77;t, 1 - x=a *，x -1 =±a±= x = 1±a-111-1atat四個根為1 J , 1 -at, 1- ,1 ,它們的倒數(shù)為一t,，一，a aa1 a -1 a -1 a 1倒數(shù)之和等于2解法二：特殊值，例如 a=2,令f(x)=1,解出四個根即可教法指導(dǎo)：本題直接求出四個解，并不難，就怕有些學(xué)生認(rèn)為沒這么簡單，從而去從其他角度分析，反而復(fù)雜了，當(dāng)然，本題可以借助數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行理解，作為填空題，特殊值不失為一種好方法9 ( 2014年松江區(qū)一模理科 14)設(shè)集合A=1,2,3,|,n,若B# 0且B J A,記G(B)為B中元素的最大值

12、與最小值之和，則對所有的B,G(B)的平均值=答案：n 1詳解：當(dāng)最大值為 n時，最小值可以為 1, 2, 3n, G(B)個數(shù)為n, G(B)之和為1 + 2+. + n + nM n =n(1 n) 23 21+n =n n；同理當(dāng)最大值為2223,、21 ,、n -1 時，G(B)個數(shù)為 n-1，和為-(n-1) +- (n-1)；以此類推，所有 G(B)的個數(shù)為1十2十. + n = n(1 + n),所有G(B)的和為3 22211_(12 +22 +. + n2)+ (1 + 2 + .+n)=-222211 1 ,人一 ，.，5n(n+1)(2n+1) + 萬-n(n+1),除以

13、 G(B)的個數(shù) n(1 n)211就是G(B)的平均值=(2n+1)+=n+122教法指導(dǎo)：本題可以舉一些 A=1,2,3,|,n的子集，讓學(xué)生理解G(B)的意思，然后按最大值或者最小值進(jìn)行分類，注意 B可能是個單元素集合，不要遺漏這種情況；這類題目注意培養(yǎng)學(xué)生的耐心10 (2014年青浦區(qū)一模理科 13),x2 - x1x2 -x12y21yl 一已知直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)P(x1,y1)、Q(x2,y2),定義d(P,Q)=C為P,Q( y2 y1x2 為 < y2 y兩點(diǎn)的“非常距離”，當(dāng)平面上動點(diǎn)M (x, y)到定點(diǎn)A(a,b)的距離滿足 MA =3時，則d(M , A)的取

14、值范圍是答案：32,3 2詳解：根據(jù)題意，通過比較兩點(diǎn)的水平距離和垂直距離，較大的為“非常距離”，A為定點(diǎn)，M的軌跡是 A為圓心，3為半徑的圓，根據(jù)下圖，例如A,M1兩點(diǎn)的垂直距離較大，那么此時A, M的非常距離為圖中的綠色線段部分，而A, M2兩點(diǎn)的水平距離相比垂直距離更大，那么非常距離為圖中的紫色線段部分，可以彳#出M與A的水平距離或垂直距離最大為3,當(dāng)水平距離等于垂直距離的時候取到最小值W2 ,即圖中取 M4的時2候教法指導(dǎo)：理解性的題型，注意引導(dǎo)學(xué)生如何理解題意，講解時，一定要輔以圖像幫助理解11 (2014年青浦區(qū)一模理科 14)( -1)n 1若不等式(_1)na <3 +

15、( 1 對任意自然數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是n 1答案：*,2)11詳解：當(dāng)n為奇數(shù)時，a <3+, a >-(3+),因?yàn)槭呛愠闪?，大于最大值，不等式右邊的最大n 1n 11值永邁小于-3,所以a > -3 ；當(dāng)n為偶數(shù)時，a <3 ，小于最小值，因?yàn)?nw N , n = 0時取最小值n - 12教法指導(dǎo)：恒成立問題均為最值問題，注意分類討論，并且 n是自然數(shù)，討論 n為偶數(shù)的時候，n是可以取0的，學(xué)生可能會取 2,這是個易錯點(diǎn)，需要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)12 (2014年金山區(qū)一模理科 13)如圖，已知直線l : 4x-3y +6 =0 ,拋物線C : y2 =4x圖

16、像上的一個動點(diǎn) P到直線l與y軸的距離之和的最小值是答案：1詳解：如下圖， PH +PA = PH +PB1 = PH +PF 1之PH' 1 = 1 , PH '用點(diǎn)到直線距離公式求教法指導(dǎo)：這是 2012長寧區(qū)二模題，注意圓錐曲線的相關(guān)定義，進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖像引導(dǎo)學(xué)生分析13 (2014年金山區(qū)一模理科 14)在三木蕤t PABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA = 3,PB = 2,PC=1.設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，定義f(M) =(m,n, p),其中m、n、p分別是三棱錐 M PAB、三棱錐M PBC、三棱錐M - PCA1 1 a.的體積.若f (M )

17、=(一,2x,y),且一十一28恒成立，則正實(shí)數(shù) a的最小值為2 x y答案:6 -4,211_.一 1.1 一 .一 , 1 一詳斛：依延總信，2x + y=-, y = 2x ,將不等式中的a分離得a之(8-)(一2x) = 6-(十16x), 22x 22x右邊的最大值為6-4,2 ,所以a - 6-4 2教法指導(dǎo)：這是 2012長寧區(qū)二模題，主要是理解題意，得出2x+y是個定值，要引導(dǎo)學(xué)生看透看似復(fù)雜的表象，抓住條件的本質(zhì)，然后就是一道常見的恒成立題型14 (2014年奉賢區(qū)一模理科 13)已知定義在 R上的函數(shù)y = f(x)對任意的x都滿足f (x+2) = f(x),當(dāng)14x&l

18、t;1時，f(x)=x3,若函數(shù)g(x) = f (x) loga x只有4個零點(diǎn)，則a的取值范圍是1 1答案:(-,-)- (3.5)5 3詳解：根據(jù)已知條件，f(x)周期為4,先畫f(x) 一個周期圖像，當(dāng)1Wx<3時，f (x 2) = (x 2)3 = f (x), f (x) = (x 2)3,由此畫出1,3)的圖像，此為一個周期，圖像如下， g(x) = f (x) loga x只有4個零 點(diǎn)即f(x)與y = loga x只有4個交點(diǎn)，因?yàn)閍是未知的，需要分類討論：1當(dāng)0 <a <1時，有兩個界值，如下圖，此時5個交點(diǎn)，代入點(diǎn)(-5,-1),解出a=51此時3個

19、交點(diǎn)，代入點(diǎn)(3, 1),解得a =3當(dāng)a>1時，也有兩個界值，如下圖，此時3個交點(diǎn)，代入點(diǎn)(3,1),解得a = 3此時5個交點(diǎn)，彳入點(diǎn)(5,1),解得a =5教法指導(dǎo)：數(shù)形結(jié)合的題型，一定要結(jié)合圖像分析，并且一些用于定位的特殊點(diǎn)要善于把握；另一方面，必須熟悉初等函數(shù)的所有性質(zhì)以及函數(shù)圖像的變換15 (2014年奉賢區(qū)一模理科 14)已知函數(shù) y = f (x),任取 tw R ,定義集合:A =y y = f(x)P(t,f(t),Q(x,f(x),|PQ,設(shè)Mt,mt分別表示集合 A中元素的最大值和最小值，記h(t) = MtG，則(1)若函數(shù)f (x) = x，則h(1) =(2

20、)若函數(shù)f (x) =sin；x ,則h(t)的最大值為答案：(1) 2; (2) 2詳解：定義的意思是函數(shù)y = f (x)在以定點(diǎn)P (點(diǎn)P在函數(shù)圖像上)為圓心半徑為J2的圓內(nèi)的部分，這部分函數(shù)圖像的值域即 At,第一問，t=1,定點(diǎn)P (1,1),如下圖，藍(lán)色實(shí)線段部分為符合定義的圖像部分，這部分圖像最大值為 2,最小值為0,所以h(1)=2冗第二問，對于 f (x) =sinx,函數(shù)最大值與最小值之差為2,如下圖，通過理解觀察，可得出A能夠同時2包含最大值和最小值，所以h(t)的最大值為2,此時t =2k, k w Z教法指導(dǎo)：這是一道理解性的定義題型，理解題目的定義很重要，然后結(jié)合函

21、數(shù)圖像進(jìn)行分析就不難了、選擇題1 (2014年奉賢區(qū)一模理科18)22設(shè)雙曲線nx2 -(n +1)y2 =1 ( n = N )上動點(diǎn)P到定點(diǎn)Q(1,0)的距離的最小值為 dn,則如 dn的值為()A . - B. 1C,0D,122答案：A1 o 11o o詳解：雙曲線萬程兩邊同時除n ,得到x2 (1+ )y2 =,當(dāng)nT十g , T 0 ,即方程T x2 y2 = 0 ,n nn這就是方程的極限位置，即求點(diǎn)Q(1,0)到直線y = ±x的距離，所以選 A教法指導(dǎo)：這是一類要考慮極限位置的極限題型，在高考題中出現(xiàn)過類似題型，一般找到了極限位置，題目是很容易解的，很多學(xué)生不會做是

22、因?yàn)闆]有想到極限位置，而是想把dn用n表示出來，這就復(fù)雜了2 (2014年徐匯區(qū)一模理科 18)已知集合M =(x,y，y = f (x ),若對于任意產(chǎn)M ,存在(x2, y?產(chǎn)M ,使得 x x2 + y、2 = 0 成立，則稱集合 M是“垂直對點(diǎn)集”.給出下列四個集合：i r.1 r I1 M =，x, y ： y = - 5； M =(x, y )y =sinx +1)；I xJ M =(x, y )y = log2 x； M =(x, y ) y =ex -2).其中是“垂直對點(diǎn)集”的序號是()A.B.C.D.答案：D詳解：根據(jù)題意，對于圖像上任意點(diǎn)A,圖像上存在點(diǎn) B,使得OALOB,所以用排除法，中(1,1)點(diǎn)不符合，中(1,0)點(diǎn)不符合，所以選 D教法指導(dǎo)：這類題型，重在理解題意；作為選擇題，排除法與特殊值法是要學(xué)生能夠靈活運(yùn)用3 (2014年青浦區(qū)一模理科 18)對于函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x,滿足f (x) = f(x),稱f(x)為“局部奇函數(shù)”，若f (x) =4xm2x* +m2 3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. 1-73 <m <1 + 73B.1-T3<m<2>/2C. 2, -m - 2 2d. -2.2 -m -1 - . 3答案：B詳解：因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù) x