1、第六章第六章 定積分習(xí)題課定積分習(xí)題課主要內(nèi)容主要內(nèi)容典型例題典型例題問題問題1:1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問題問題2:2:變速直線運動的路程變速直線運動的路程存在定理存在定理反常積分反常積分定積分定積分定積分定積分的性質(zhì)的性質(zhì)定積分的定積分的計算法計算法牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、問題的提出、問題的提出實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積（求曲邊梯形的面積A A）iniixfA )(lim10 曲曲邊邊梯梯形形由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、實例實例2 2 （求變

2、速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程）iniitvs )(lim10 方法方法: :分割、求和、取極限分割、求和、取極限. .2 2、定積分的定義、定積分的定義設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，在在,ba中中任任意意若若干干若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點點i （iix ），定義定義,12110nnxxxxxx 怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不論論在在

3、小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上的的取取法法，只要當(dāng)只要當(dāng)0 時，時，和和S總總趨趨于于確確定定的的極極限限I，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為如如果果不不論論對對,ba我我們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf點點i 怎怎樣樣并并作作和和iinixfS )(1 ，可積的兩個充分條件：可積的兩個充分條件： 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上有有界界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.且且只只有有有有限限個個間間斷斷點點，則則)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.3 3

4、、存在定理、存在定理4 4、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì) badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性質(zhì)性質(zhì)1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假設(shè)設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3 則則0)( dxxfba )(ba 性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，推論：推論：則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1 1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2 2）dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)4

5、 4如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 (7 (定積分中值定理定積分中值定理) )設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù) 則則 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba性質(zhì)性質(zhì)6 6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，積分中值公式積分中值公式5 5、牛頓、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的

6、導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1 1定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù).定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式） 如果如果)(xF是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的一個原函數(shù)，則上的一個原函數(shù)，則 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函數(shù)在區(qū)間它的任一

7、原函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于上的定積分等于一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間表明表明baba6 6、定積分的計算法、定積分的計算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式（1 1）換元法）換元法（2 2）分部積分法）分部積分法分部積分公式分部積分公式 bababavduuvudv、反常積分、反常積分無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. bdxxf)( baadxxf)(lim例例1 1解解.2sin120 dxx求求 20cos

8、sindxxx原式原式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 222 二、典型例題二、典型例題例例2 2解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin20 dxxxxI由由,cossincos20 dxxxxJ設(shè)設(shè),220 dxJI則則 20cossincossindxxxxxJI 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 I故故得得.4 I即即例例3 3解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 則則 62)sincos(cosdtttt原式原式 262sincosdtttxt02ln

9、2 6 2626sinsintdttdt.23)32ln( 例例4 4解解.2sinln40 xdx求求,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdx 402sinlnxdxI 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxI22ln4 . 2ln4 I例例5 5. )1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原原式式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 例例6 6.,1min222 dxxx求求解解

10、 1,11,1min22xxxxxx是偶函數(shù)是偶函數(shù), ,dxxx,1min2220 原原式式 21102122dxxdxx. 2ln232 例例7 7.)()1(,)(102022 dxxfxdyexfxyy求求設(shè)設(shè)解解 10022)1(2dxdyexxyy原原式式 10231002322)1(31)1(31dxexdyexxxxyy 1021)1(2)1()1(612xdexxux 2)1(令令 016duueeu).2(61 e例例8 8.cos1)(sin2cos1)(sin:, 0)(0202 dxxxfdxxxxfxf證明證明上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)證證, tx 令令)(cos1)(s

11、in)(02dtttft 左邊左邊,dtdx dxxxfx 02cos1)(sin)(dxxxxfdxxxf 0202cos1)(sincos1)(sindxxxfdxxxxf 0202cos1)(sincos1)(sin2即即.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf 例例9 9.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 證證明明上上連連續(xù)續(xù)，且且在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù),)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()( x

12、axaxadtdtxftfdttfxf0)2)()()()()( dtxftftfxfxFxa即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(單調(diào)增加單調(diào)增加xF, 0)( aF又又, 0)()( aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即例例101094:2xxdx求下列廣義積分解解 (1)(1) 02029494xxdxxxdx原原式式 bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052arctan51lim52arctan51lim .5 測測 驗驗 題題3 3、3020sinlimxdttxx = =( ( ) ) （A A）0；

13、 （B B）1； （C C）31； （D D） . .4 4. .、定定積積分分 10dxex的的值值是是（ ） （A A）e； （B B）21； （C C）21e； （D D）2 . .5 5、下下列列積積分分中中，使使用用變變換換正正確確的的是是（） （A A）,sin103 xdx令令 txarctan ； （B B） 30321dxxx，令令 txsin ； （C C） 21221)1ln(dxxxx，令令 ux 21； （D D） 1121dxx，令令31tx . .6 6、下下列列積積分分中中，值值為為零零的的是是（ ） （A A） 112dxx； ( (B B） 213dxx；

14、（C C） 11dx； （D D） 112sin xdxx . .9 9、廣義積分、廣義積分 222xxdx= =（ ） （A A）4ln ； （B B）0； （C C）4ln31； （D D）發(fā)散）發(fā)散. . 二、證明不等式二、證明不等式: : )2(,6121210 nxdxn . .三、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：三、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 1 1、 3241)(xxtdtxF; ; 2. 2.、由方程、由方程1sin2200 xytdtttdte，的的為為確確定定xy 函數(shù)，求函數(shù)，求dxdy. .四、求下列定積分：四、求下列定積分： 1 1、 41)1(xxdx； 2 2、 axaxdx022； 3 3、 301arcsindxxx； 4 4、 52232dxxx； 5 5、 11121xdx； 6 6、 942xxdx； 7 7、 212123xxxdx； 8 8、 111dxxx. .五、五、 設(shè)設(shè) 1,0)(在在xf上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，,0)0( f 且且1)(0 xf, ,試證：試證： 103210)()(dxxfdxxf. .六、六、 設(shè)設(shè))(xf在在00，11上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明： 10 10)()1(21)1()0(21)(dx