1、第九節(jié)函數(shù)與方程知識(shí)能否憶起1函數(shù)的零點(diǎn)(1)定義：對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)(2)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)間的關(guān)系：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系000二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)3.二分法對(duì)于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)

2、yf(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法小題能否全取1(教材習(xí)題改編)下列圖象表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是()答案：C2若函數(shù)f(x)axb有一個(gè)零點(diǎn)是2，那么函數(shù)g(x)bx2ax的零點(diǎn)是()A0,2B0，C0， D2，解析：選C2ab0，g(x)2ax2axax(2x1)零點(diǎn)為0和.3(教材習(xí)題改編)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程exx20的一個(gè)根所在的區(qū)間為()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)解析：選C設(shè)函數(shù)f(

3、x)exx2，從表中可以看出f(1)f(2)0，因此方程exx20的一個(gè)根所在的區(qū)間為(1,2)4用二分法求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(2,4)上的近似解，驗(yàn)證f(2)f(4)0，給定精確度0.01，取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn)x13，計(jì)算得f(2)f(x1)0，則此時(shí)零點(diǎn)x0_(填區(qū)間)解析：由f(2)f(3)0可知x0(2,3)答案：(2,3)5已知函數(shù)f(x)x2xa在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：函數(shù)f(x)x2xa在(0,1)上有零點(diǎn)f(0)f(1)0.即a(a2)0，解得2a0.答案：(2,0)1.函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)：函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0的實(shí)數(shù)根，也就是函

4、數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)點(diǎn)在寫函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，所寫的一定是一個(gè)數(shù)字，而不是一個(gè)坐標(biāo)2對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷中，必須強(qiáng)調(diào)：(1)f(x)在a，b上連續(xù)；(2)f(a)f(b)0.函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增f(1)e1(1)45e10，f(0)30，f(1)e14e30，f(1)f(2)0，故零點(diǎn)x0(1,2)答案C由題悟法利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間時(shí)，首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)不斷，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)以題試法1(2013衡水模擬)設(shè)函數(shù)yx3與yx2的圖象交

5、點(diǎn)為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：選B設(shè)函數(shù)f(x)x3x2，f(1)f(2)0，且f(x)為單調(diào)函數(shù)，則x0(1,2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)典題導(dǎo)入例2(1)(2012北京高考)函數(shù)f(x)xx的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A0B1C2 D3(2)(2012北京東城區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(f(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A4 B3C2 D1自主解答(1)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y1x與y2x的圖象如圖所示，易知，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)xx只有1個(gè)零點(diǎn)(2)由f(f(x)10可得f(f(x)1，又由f(2)f1.可得f(

6、x)2或f(x).若f(x)2，則x3或x；若f(x)，則x或x，綜上可得函數(shù)yf(f(x)1有4個(gè)零點(diǎn)答案(1)B(2)A由題悟法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以題試法2(2012湖北高考)函數(shù)f(x)xcos x2在區(qū)間0,

7、4上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A4 B5C6 D7解析：選C令xcos x20，則x0，或x2k，又x0,4，因此xk (k0,1,2,3,4)，共有6個(gè)零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用典題導(dǎo)入例3(2011遼寧高考改編)已知函數(shù)f(x)exxa有零點(diǎn)，則a的取值范圍是_自主解答f(x)exxa，f(x)ex1.令f(x)0，得x0.當(dāng)x0時(shí)，f(x)0時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)故f(x)minf(0)1a.若函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，則f(x)min0，即1a0，得a1.答案(，1若函數(shù)變?yōu)閒(x)ln x2xa，其他條件不變，求a的取值范圍解：f(x)ln x2xa，f(x)2.令f(x)0，得x

8、.當(dāng)0時(shí)，f(x)1時(shí)，由f(x)1log2x0，解得x，又因?yàn)閤1，所以此時(shí)方程無(wú)解綜上函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.2設(shè)f(x)x3bxc是1,1上的增函數(shù)，且ff0，則方程f(x)0在1,1內(nèi)()A可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根B可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根C有唯一的實(shí)數(shù)根 D沒有實(shí)數(shù)根解析：選C由f(x)在1,1上是增函數(shù)，且ff0，f(3)0，f(5)0，所以y2x沒有零點(diǎn)，同樣y2x也沒有零點(diǎn)；f(x)xx1，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2，故f(x)沒有零點(diǎn)；令f(x)xx10得x1，故選D.5(2012北京朝陽(yáng)統(tǒng)考)函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,

9、3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析：選C由條件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解之得0a3.6(2013哈師大模擬)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且x1,1時(shí)，f(x)1x2，函數(shù)g(x)則函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間5,5內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A5 B7C8 D10解析：選C依題意得，函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖象，結(jié)合圖象得，當(dāng)x5,5時(shí)，它們的圖象的公共點(diǎn)共有8個(gè)，即函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間5,5內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是8.7用二分法研究函數(shù)f(x)x33x1的零

10、點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)0可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0_，第二次應(yīng)計(jì)算_解析：因?yàn)閒(x)x33x1是R上的連續(xù)函數(shù)，且f(0)0，則f(x)在x(0,0.5)上存在零點(diǎn)，且第二次驗(yàn)證時(shí)需驗(yàn)證f(0.25)的符號(hào)答案：(0,0.5)f(0.25)8若函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)yax與函數(shù)yxa的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，易知當(dāng)a1時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0a1時(shí)，兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)答案：(1，)9(2013南通質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)x2(1k)xk的一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：因?yàn)?1k)24k(1k)20對(duì)一

11、切kR恒成立，又k1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)x1(2,3)，故要使函數(shù)f(x)x2(1k)xk的一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)，則必有f(2)f(3)0，即2k3.答案：(2,3)10已知函數(shù)f(x)x3x2.證明：存在x0，使f(x0)x0.證明：令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0，則應(yīng)有f(2)0，又f(2)22(m1)21，m0)的解集為P，則P中所有元素的和可能是()A3,6,9 B6,9,12C9,12,15 D6,12,15解析：選B如圖，函數(shù)y|x26x|的圖象關(guān)于直線x3對(duì)稱，將直線ya從下往上移動(dòng)可知：P中所有元素的和可能是6,9,12.2已知函數(shù)f(x)滿足f(0)1，且

12、f(0)2f(1)0，那么函數(shù)g(x)f(x)x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_解析：f(0)1，c1.又f(0)2f(1)0，f(1)1b1，得b.當(dāng)x0時(shí)，g(x)2x20有唯一解x1；當(dāng)x0時(shí)，g(x)x2x1，令g(x)0，得x2(舍去)或x，即g(x)0有唯一解綜上可知，g(x)f(x)x有2個(gè)零點(diǎn)答案：23已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc.(1)若abc，且f(1)0，試證明f(x)必有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)若對(duì)x1，x2R，且x1bc，a0，c0，即ac0，方程ax2bxc0有兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)(2)令g(x)f(x)f(x1)f(x2)，則g(x1)f(x1)f(x1)f(x2)，g(x2)f(x2)f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)2.f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)0.g(x)0在(x1，x2)內(nèi)必有一實(shí)根即f(x)f(x1)f(x2)在(x1，x2)內(nèi)必有一實(shí)根1對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x)，若存在區(qū)間Ma，bD(ax，故函數(shù)f(x)2x不存在等值區(qū)間；由于x3x有三個(gè)不相等的實(shí)根x11，x20，x31，故函數(shù)f(x)x3存在三個(gè)等值區(qū)間1,0，0,1，1,1；由于sin xx只有唯一的實(shí)根x0，結(jié)合函數(shù)圖象，可知函數(shù)f(x)sin x不存在等值區(qū)間；由于log2x1x有實(shí)