1、差分方程建模示例1:人口增長模型 Malthus Malthus 模型模型 設(shè)xn是某人類群體在第n個時間段(例如年)末時的總數(shù)，若在單位時間段內(nèi)人口相對增長率為r（出生率與死亡率之差）,那么人口增長數(shù)與原人口數(shù)成正比,從而xn+1 xn r xn即 xn+1 = a xn其中 a=r+1. 這是一個如下線性線性映射的迭代 f (x) = a x從而 xn= a xn1= a2xn2 = an x0 Malthus的結(jié)論：人口增長呈幾何級數(shù) 約35年增加一倍，與17001961年世界人口統(tǒng)計結(jié)果一致 與近年統(tǒng)計結(jié)果有誤差，由a 1,xn趨向無窮，模型在人口長期預(yù)測方面必定是失效的. Logis

2、tic Logistic模型模型 生存資源是重要的因素，修改的模型為：xn+1 xn= r xn b xn2其中 b xn2為競爭或約束項，r、b 稱生命系數(shù)記a=r+1，那么 xn+1= a xn- bxn2數(shù)據(jù)觀察數(shù)據(jù)觀察 (迭代計算與國家統(tǒng)計局發(fā)表數(shù)字比較)基本接近存在極限值這是一個如下非線性映射的迭代 f(x)=ax-bx2四問題的討論和分析 Logistic Logistic映射映射通過變量代換簡化為logistic 映射 f(x)=a x(1- x)， x在0,1內(nèi)變化相應(yīng)的迭代為 xn+1=a xn(1-xn) 從0,1內(nèi)點x0出發(fā)，由Logistic映射的迭代形成了一個序列，即

3、xn=f n(x0), n = 0,1,2,序列xn稱為x0的軌道軌道 數(shù)值迭代數(shù)值迭代1倍周期分叉現(xiàn)象 當(dāng)0a 1時，由于0 xnaxn+1 xn 0 物種逐漸滅亡 當(dāng)1a3時，任何(0,1)中初始值的軌道趨于 x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，為映射f 的不動點(周期1點)例：a=1.5時 xn 1/3.兩個不動點x1*, x2* ,一個穩(wěn)定(吸引),另一個不穩(wěn)定，軌道xn趨向穩(wěn)定點 這兩個數(shù)滿足 當(dāng)3a1+61/2時， xn 繞著兩個數(shù) x3*，x4*振動, 例a =3.2 x2k-1 0.799455 x2k o.513045 當(dāng)1+61/2a3.5440903506時,

4、 從任意的點x0出 發(fā)的軌道將逐漸沿著四個數(shù)值振動例a=3.45 x4k 0.44391661 x4k+1 0.84768002 x4k+2 0.44596756 x4k+3 0.85242774也稱為周期2點,對應(yīng)軌道稱周期2軌道.(原來周期點失穩(wěn))(),(2xfxxfx這四個數(shù)滿足),(),(),(),(324xfxxfxxfxxfx稱為周期4點，對應(yīng)軌道稱周期4軌道(原有周期點又失穩(wěn)) 若a再增大，周期4點又會失穩(wěn)，而產(chǎn)生新的穩(wěn)定周期8點，這個周期不斷加倍的過程將重復(fù)無限次，會依次出現(xiàn)周期16點，周期32點. ，(請考慮什么是周期n) 這種過程稱為倍周期分叉倍周期分叉.相應(yīng)的分叉值c1=

5、3, c2=1+61/2構(gòu)成一個單調(diào)增加的數(shù)列ck.其極限值為c*=3.569945557391。分叉值如何求? 任務(wù)：求分叉值和畫分叉圖依賴于數(shù)值方法2渾沌與遍歷性 當(dāng)c*a4時，Logistic映射進入渾沌區(qū)域.反映出的是： 遍歷性：點 x0的軌道不趨向任何穩(wěn)定的周期軌道, 它的軌道在(0,1)(或其中某些區(qū)間)內(nèi)的任何一個子區(qū)間(a,b)內(nèi)都會出現(xiàn)無數(shù)次.這是渾沌的 敏感性： 軌道表現(xiàn)出對初始條件的強烈敏感性,即不同初始值，即使它們離得非常近，它們的軌道也終將以某種方式分離. 存在周期小窗口 渾沌區(qū)域內(nèi)某些地方仍有倍周期分叉，例如a3.835附近 Feigenbaum常數(shù) 比值(ck-c

6、k-1)/(ck+1-ck)在k 趨于無窮時，趨于常數(shù) q =4.6692016這常數(shù)的意義在于普適性，例如周期3窗口也適用，還適用其他映射任務(wù)：驗證遍歷性、敏感性 周期3窗口的分叉、(結(jié)合Feigenbaum常數(shù) )五. 圖象方法 蛛網(wǎng)迭代蛛網(wǎng)迭代 在以xn為橫坐標(biāo)、xn+1為縱坐標(biāo)的第一象限作拋物線?。?xn+1a xn(1- xn) 作圖的過程 任取(0,1)中的點x0,可以通過作圖來取得迭代的數(shù)值序列xn,從而也通過圖象直觀地看出由 x0出發(fā)的軌道的變化. 這作圖的過程頗象蜘蛛織網(wǎng),故稱為蛛網(wǎng)迭代蛛網(wǎng)迭代. 1a3 從(0,1)中任何初值出發(fā)的軌道趨向不動點 (周期1點) 3a61/2

7、+1 從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期2點61/2+1a 3.54409035從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期4點 a=3.58軌道進入渾沌狀態(tài) a= 4 軌道的渾沌性表現(xiàn)充分 蛛網(wǎng)迭代的優(yōu)點是軌道非常直觀形象.缺點是當(dāng)周期數(shù)較大時不易看清軌道變化細節(jié) 密度分布圖密度分布圖 密度 從一個初始點 x0出發(fā)，由迭代所 產(chǎn)生的序列xn (n一般很大)在區(qū)間 0,1上的概率分布密度. 具體算法 將0,1區(qū)間分成m個長度為h=1/m的小區(qū)間，序列xnnN=0 落在各個小區(qū)間ih,(i+1)h的個數(shù)為ki,則該序列落在各小區(qū)間的概率（即密度)為pi=ki/N i=0,1,2,m 密度圖 橫軸為區(qū)間 0,1, 縱軸

8、為概率 p.每個小區(qū)間上的細柱線的高度等于該區(qū)間上密度 a=3.2 (m=100 N=10000 x0= 0.1) a=3.45(這是周期4情況)(這是周期2情況) a=3.55(周期8的情況) 以上密度圖顯示在 0ac*的情況下,xn只有極少數(shù)落在周期點以外的小區(qū)間,而最終以幾乎相等的概率落在周期點所在的小區(qū)間。 a=3.6(進入渾沌區(qū)) (最渾沌狀態(tài)) a= 4任務(wù)：用蛛網(wǎng)迭代的方法在計算機上作圖, 考察Logstic映射在a逐步變化時由同 一點出發(fā)的軌道情況.任務(wù)：用密度圖的方法在計算機上作圖,考 察Logstic映射在a逐步變化時由同一 初值點出發(fā)的xn的分布.考察映射1 , 0),sin()(xxf進一步的任務(wù) 試考察當(dāng)a逐漸增大時, 有沒有倍周期分叉情況出現(xiàn)? 求出第一個分叉值和第二個分叉值 利用Feigenbaum常數(shù)估計第三個分叉值和渾 沌可能在何時出現(xiàn) 驗證第