1、“圓錐曲線起始課”教學設(shè)計1 【教學內(nèi)容解析】1 圓錐曲線是平面解析幾何的重要組成部分，也可以說是核心內(nèi)容它是繼學習了以直線和圓為代表的簡單圖形之后，用平面幾何的方法無法研究的較為復(fù)雜的圖形圓錐曲線能充分體現(xiàn)解析幾何研究方法2 圓錐曲線是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要載體圓錐曲線的研究不是采用邏輯推理的形式，而是運用代數(shù)的方法即以代數(shù)為工具解決幾何問題，用代數(shù)的語言來描述幾何圖形，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，實施代數(shù)運算，求解代數(shù)問題，再將代數(shù)解轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論，這一過程體現(xiàn)了從形到數(shù)的數(shù)形結(jié)合的思想3圓錐曲線是二次曲線非常重要的數(shù)學模型，同時它的幾何性質(zhì)在日常生活，社會生產(chǎn)以及其他科學中都有著重要而廣泛

2、的應(yīng)用，宇宙天地的運動，光學儀器，建筑學等等因此圓錐曲線的學習對學生進一步理解數(shù)學模型的意義，樹立觀念都非常有價值本節(jié)課的內(nèi)容是選自北師大出版社高中數(shù)學選修2-1 第三章知識的引言部分，屬于策略性和介紹性為主的起始課2 【教學目標設(shè)置】1 知識與技能目標本節(jié)課的主線為圓錐曲線的發(fā)展史，從中參插各種情景通過用平面對圓錐面的不同的截法，產(chǎn)生三種不同的圓錐曲線，經(jīng)歷概念的形成過程，從整體上認識三種圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)系，通過具體情境，從中抽象出橢圓、雙曲線、拋物線模型的過程，理解它們的定義（主要是橢圓）2過程與方法目標初步了圓錐曲線研究的內(nèi)容；通過動手試驗、互相討論等環(huán)節(jié)，使學生形成自主學習以及相互協(xié)作

3、的團隊精神；通過對具體情形的分析，歸納得出一般規(guī)律，讓學生具備初步歸納能力；借助實物模型，通過整體觀察、直觀感知，使學生形成積極主動、勇于探索的學習方式，完善思維結(jié)構(gòu)，體會解析幾何的研究方法3情感、態(tài)度與價值觀目標通過以圓錐曲線的發(fā)展史為主線，設(shè)立多種情景引入方式，讓學生激發(fā)學習圓錐曲線的興趣，能夠自主學習、自我探索，形成注重實踐、熱愛科學、勇于創(chuàng)新的情感、態(tài)度與價值觀4重難點重點：圓錐曲線的發(fā)展史及定義，橢圓的定義難點：用Dandelin 雙球發(fā)現(xiàn)橢圓的定義，通過橢圓的定義類比雙曲線定義3 【學生學情分析】1 這節(jié)課的授課對象是高中二年級的學生，他們有較好的學習習慣，有一定的口頭和書面表達的

4、能力在知識層面上，高一階段已學習了立體幾何空間旋轉(zhuǎn)體中的圓錐，學生具有一定的空間想象能力，學生還學習了解析幾何中的直線和圓，具有一定的用解析方法處理問題的能力在方法的層面，學生在高一、高二年級的學習中基本掌握了數(shù)形結(jié)合的思想與類比與轉(zhuǎn)化思想2學生在學習過程中, 也可能會遇到諸多困難：從空間的圓錐截出平面圖形的轉(zhuǎn)化問題，特別是通過Dandelin 雙球發(fā)現(xiàn)橢圓的定義；還有理解橢圓，雙曲線定義時點的軌跡及動態(tài)問題4 【教學策略分析】各種情景，讓學生很自然進入學習圓錐曲線的學習，為后面采用解析的方法學習埋下了伏筆.2 .由于是起始課，因此多采取直觀的演示幻燈片、動畫、實驗和使用實物模型，直觀 感知、

5、操作確認，避免過度抽象 .思辯論證、度量計算等手段在后續(xù)課程中再采用.3 .在處理橢圓定義的環(huán)節(jié)，創(chuàng)造條件讓學生親自動手畫出橢圓，并安排了一系列情節(jié) 引導(dǎo)學生在操作過程中注意細節(jié)，鼓勵學生通過動手實驗、獨立思考、相互討論等手段得出 結(jié)論，鼓勵學生表達自己的見解.4 .從多種具體情形出發(fā)，引導(dǎo)學生歸納出一般規(guī)律，培養(yǎng)學生的歸納總結(jié)能力.采用 模型和軟件，使學生的想法能夠即時得到實現(xiàn)，所想即所見，快速形成正確認知，提高教學 實效性.五.【教學過程】環(huán)節(jié)1.課題引 入2.復(fù)習和 準備教學過程和師生活動通過生活中的一系列圖片讓學生在認知的曲線.師生活動：讓學生踴躍發(fā)言.意圖，理念與備注1.從實際生活出

6、 發(fā)，直觀感知各種 圓錐曲線的存在， 使學生在頭腦中 產(chǎn)生各種曲線的 初步印象，為下一 步的數(shù)學抽象做 準備.2.特別是“憤怒 的小鳥”這個拋物 線段片讓學生馬 上產(chǎn)生興趣，積極 參與發(fā)現(xiàn)與探索， 加深直觀印象.1.復(fù)習圓錐的形成2.由圓錐的形成過 程引入圓錐面注：這里還要提出圓錐的軸截面是等腰三角形，并引入頂角的一半«,為后面軸截面和旋轉(zhuǎn)軸所成的角的大小截出不同的曲線留下知識.師生活動：教師引導(dǎo)學生回憶知識，盡量讓學生口述其過程。1 .對以前知識回 顧，教師引導(dǎo)，學 生回顧。2 .注意新舊知識 的聯(lián)系與發(fā)展，注 重知識的系統(tǒng)性， 使學生帶著為什 么要復(fù)習這個知 識的疑惑走入課 堂。

7、3.新介紹圓錐曲線的發(fā)展史本課以圓錐曲線課傳 1.最初發(fā)現(xiàn)授PPT播放結(jié)合教師的介紹:圓錐曲線的發(fā)展史：1 .最初發(fā)現(xiàn)早在公元前5世紀-公元前4世紀，古希臘巧辯學派的數(shù) 學家提出了 “化圓為方”、“立方倍積”和“三等分任意 角”三大不可能尺規(guī)作圖問題.化圓為方問題一一作一個正方形使其具有給定圓的面積. 立方倍積問題一一作一個立方體使其具有給定立方體兩倍體積. 三等分任意角問題一一把一個給定的角分為三個相等的角.歐幾里得（公元前330-公 高斯（1777年-1855年， 元前275,古希臘數(shù)學家）德國數(shù)學家，物理學家）I教師附加介紹：這些問題在兩千多年的時間里，有多數(shù)學大師研究過，比如早到歐幾里

8、得，晚到高斯.直至 19世紀，這三個作圖問 題才被最終證實為不可能只用圓規(guī)和直尺作出.不知什么緣故，數(shù)學的美不在乎它的答案而在于它的方法，“不可解”似乎像是一個令人失望的答案，然而得到這一結(jié)論的思維過程卻是極具魅力的， 人們屢遭失敗之后， 一方面是從反面懷疑它是否可作；另一方面就很自然地考慮跳出尺規(guī)作圖的框框，而是借助于另外一些曲線，是不是可解決這些問題呢？我們今天學習的圓錐曲線，就是從這里開始被發(fā)現(xiàn)的。圓錐曲線的發(fā)展史:1 .最初發(fā)現(xiàn)一 一”公元前4世紀古希臘數(shù)學家梅內(nèi)克繆斯在在研究“立方倍積”問題 ，用平面截不同的圓錐，發(fā) 現(xiàn)了圓錐曲線.梅內(nèi)克繆斯（公兀前當時，希臘人對平面曲線還缺乏認識，

9、375-公兀前325,古上述三種曲線須以“圓錐曲面為媒介得希臘數(shù)學家）至ij,這就是圓錐曲線的“雛形”.教師附加介紹：不同的圓錐是軸截面頂角分別為直角， 銳角和鈍角， 但都是拿和母線垂直的平面截圓錐， 從而形成不同的曲線，這就是 圓錐曲線的“雛形” .2.奠基工作的發(fā)展史為主線， 在其中創(chuàng)設(shè)各種 情景，引導(dǎo)學生進 入圓錐曲線的學 習1 .由第一個環(huán)節(jié) “最初發(fā)現(xiàn)”中的古老問題的提出 來介紹圓錐曲線 的發(fā)現(xiàn)，即增加了 學生的興趣和探 索欲望，又能讓學 生感受到數(shù)學發(fā) 展過程中的魅力.2.引出圓錐曲線 的“雛形”為了 讓學生明白探知 的過程，進一步激 發(fā)學生的好奇和 興趣.為下一步的“圓錐曲線”的

10、 定義做好鋪墊.3.總結(jié)古希臘對圓錐曲線的發(fā)展史:阿波羅尼的著作圓錐曲線論與歐幾 里得的幾何原本同被譽為古希臘幾 何登峰造極之作，它將圓錐曲線的性 質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余 地.2 .奠基工作圓錐曲線的認識， 說出不足，為學生 以后用解析的方 法進一步學習圓 錐曲線的理由順 理成章.阿波羅尼（約公元前 262190年，古希臘數(shù) 學家，與歐幾里得、阿 基米德齊名.）總而言之，在古希臘對圓錐曲線的 研究就有一個十分清楚的輪廓，只是由 于沒有坐標系統(tǒng)，所以在表達形式上存 在著不容忽視的缺陷.4.創(chuàng) 設(shè)情 景，突 破概 念（一）1.實驗：利用手機中的閃光燈，繞線筒和紙板，把光線投影到紙板觀察

11、影子的變化師生活動：讓學生參與，看到現(xiàn)象，探究原因.這里學生很容易認識到這個模型 ，把圓和橢圓說出，但是對于拋物 線和雙曲線的形成和位置的判別不太清楚 .這沒有關(guān)系，等下還有 定性分析.2.探討問題1:用過頂點的平面截圓錐面，可能得到哪些曲線？師生活動：學生很容易回答 “點”，容易忽視“兩條相交直線”問題2:用不過頂點的平面截圓錐面，可能得到哪些曲線？師生活動：學生也很容易回答出“圓”思考：當改變截面與圓錐面的軸的相對位置時，還能得到哪些不同的截線？師生活動：通過學生上臺來控制動畫，直觀認識不同平面截圓錐 得出的曲線1 .學生對手機和 繞線筒非常熟悉， 這個試驗馬上能 引起學生注意，也 定會感

12、嘆設(shè)計的 巧妙和數(shù)學的無 處不在.2 .利用身邊的實 物來做個試驗，揭 示三種曲線的形 成，但對拋物線和 雙曲線的顯示不 足,這為我們下面 的定性分析做了 鋪墊3.從特殊位置考 慮，培養(yǎng)學生分類 討論的思想，提高 數(shù)學的嚴密性.4.學生先有直觀 感受，讓學生動手 實驗，通過自主探3.定性的分析總結(jié)： 圓錐曲線的定義索活動，讓學生參 與到教學活動的 全過程中來，體現(xiàn) 學生參與的主體探討用一個不過圓錐面頂點的平面去截一個圓錐面，當平面與圓錐面的所成角 e與軸截面頂角的半角 a大小關(guān)系不 同時，截線的不同情況如下： 一%（1）橢圓（2）雙曲線（3）拋物線橢圓、雙曲線及拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線.教師的講解

13、要清地位，使學生手， 腦，口并用，主動 地獲取知識，培養(yǎng) 學生自主探究學 習的能力5.重點的突破在 這里顯得很自然， 但是對于學生理 解上還是有f 難度，教師要注意 好這個環(huán)節(jié).師生互動：這里對學生而言埋解會有一定的困難 晰，細致，不要著急.5.創(chuàng)1.回到圓錐曲線的發(fā)展史，闡述阿波羅尼對橢圓的研究發(fā)現(xiàn)1.利用史料和傳設(shè)情 景，突 破概 念 （二）圓錐曲線的發(fā)展史：橢圓：1,橢圓上任意一點M有|MF1| 十|MF2| =數(shù),（F1,F2 為定點，阿波羅尼約/日?后人稱為焦點，常數(shù)FF2|）262190年，古希臘數(shù)1 21學家，與歐幾里得、阿基米德齊名.）說小故事，弓1出橢 圓的畫法，能提高 學生

14、學習的興趣 和積極性，又能普 及數(shù)學史培養(yǎng)正 確的價值觀.2.聯(lián)系中國古代的事物和數(shù)學家的介紹 ,用一個劉徽傳授橢圓畫法 的傳說故事和自述的 “木工師傅做橢圓鏡框” 一小故事來引出橢圓 的畫法.2.在處理畫橢圓 的環(huán)節(jié)，創(chuàng)造條件 讓學生親自動手 回出橢圓，并安排 了一系列情節(jié)引 導(dǎo)學生在操作過 程中注意細節(jié)，鼓劉徽（約公元225295, 魏晉期間偉大的數(shù)學家， 他的杰作九章算術(shù)和海島算經(jīng)，是中國最 寶貴的數(shù)學遺產(chǎn).）勵學生通過動手 實驗、獨立思考、 相互討論等手段 得出結(jié)論，鼓勵學 生表達自己的見 解.3.有意安排畫出 不同的橢圓為隨 后的橢圓的性質(zhì) 研究累計素材.還 安排一種特殊情 況讓學生

15、自己發(fā) 現(xiàn)并提出問題，加 深學生的印象，培 養(yǎng)學生思維的嚴 密性.3 .畫橢圓學生分組利用紙板，釘子和繩子來動手自己畫橢圓.引導(dǎo)學生在畫的過程中要注意的細節(jié)，如繩子要繃直，兩個釘子要穩(wěn)定等細節(jié).安排其中一個組領(lǐng)到的紙板上兩個釘子的繩子已經(jīng)是繃直的.在教師展示其他組畫的不同形狀的橢圓時，這個組的成員會提出問題：老師，我們組的畫不出橢圓，而是畫出了一條線段.借此教師那那組的紙板加以解釋，當繩子的長度和兩個定點距離相 等時，畫出的只是一條線段，繼續(xù)提問，當繩子的長度小于兩個定點的距離呢？學生馬上反應(yīng)過來，這時應(yīng)該畫不出任何圖形.4 .總結(jié)：橢圓的定義：4.學會有數(shù)學語 言來描述定義.一般地，平面內(nèi)到

16、兩個定點 F1 , F2的距離的和等于常數(shù)（大于 F1 F2）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點 F1 , F2叫做橢圓的焦點， 兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 .用數(shù)學表達式體現(xiàn)：MF1 - MF2 =2a（2a . F1F2）對為什么用2a的表示常數(shù)，我們后面會知道它的作用 （為求標準方 程打下基礎(chǔ)）5 .論證：論證在圓錐截出的橢圓就是我們畫出來 的橢圓5.這個環(huán)節(jié)對學 生而言有一定難 度，對空間立體幾 何的認知要求頗 高，是本節(jié)課的一 個難點.在圓錐曲線的眾多研究者中，19世紀的法國數(shù)學家 Dandelin是非常著名的一位.19世紀初，法國數(shù)學家Dandelin利用與圓錐面和截面均相切的兩個球

17、（Dandelin雙球），給出了研究橢圓定義 的一種巧妙的方法.Dandelin在截面的兩側(cè)分別放置一個球，使它們都與截面相切（切點分別為Fi , F2）,且與圓錐面相切，兩球與圓錐面的公共點分別構(gòu)成圓。和圓O.設(shè)點Ml是平面與圓錐面的截線上任一點，過M點作圓錐面的一條母線分別交圓O和圓O于P, Q兩點.問題1:圖中所示線段之間的長度有什么關(guān)系？學生：因為過球外一點所作球的切線的長相等，所以MF=MPMF=MQ故 MF+MF=MP+MQPQ問題2: PQ長有什么特點.（學生思考，教師展示 M點在截線上運動時的動畫.）學生：PQ常數(shù).總結(jié)：截線上任意一點到兩個定點 Fi , F2的距離的和等于常

18、數(shù).就是我們剛剛畫的橢圓的定義 .例.已知？ABC中，B （-3, 0）, C （3, 0）,且 AB, BC, AC成等差數(shù) 列.試問：點A在一個什么樣的圓錐曲線上運動？說明理由教師巡視學生作答情況，并要學生作答，注意答題細節(jié)6 .類比學習思考：當平面上的點M滿足MF1 -MF2 =常數(shù)（F1, F2為平面上的兩個定點）時，M將是什么樣的軌跡呢？/L人引入拉鏈和雙曲線繼續(xù)以動畫為載體，演示拉拉鏈這個實驗，在這個過程讓學生發(fā)現(xiàn) 問題，并加以總結(jié).例1.如圖,取 一條拉錯.打 開它的一部 分,在一邊減 掉一段.赭后 把兩頭分別固 定在點兩點, 隨著拉血逐漸 粒開或者閉 桂，莊城頭所 經(jīng)過的點就畫

19、 出一條曲線一6.這個環(huán)節(jié)能讓 學生體會到從空 間事物抽象到平 面的一個過程，有 利于培養(yǎng)學生的 轉(zhuǎn)化能力.小試牛刀，熟悉定 義下一 步8.這里安排利用 拉鏈實驗類比推 理出雙曲線的定 義，不但加深了橢 圓定義的理解和 記憶，也為以后由 橢圓類比學習其 他曲線埋下伏筆 和打下基礎(chǔ).9.再次利用動態(tài) 事物幫助學生理引導(dǎo)學生從實驗抽象出數(shù)學性質(zhì)解軌跡的形成10.注意雙曲線的 兩支.培養(yǎng)學生 的學習能力，讓他 們學會歸納，學會 學習。7.由學生類比總結(jié)出雙曲線定義：一般地，平面內(nèi)到兩個定點 F1 , F2的距離的差的絕對值等于常數(shù) （小于F1 F2的正數(shù)）的點的軌跡叫做雙曲線，兩個定點F1 ,6.回

20、歸數(shù) 學史叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距 用數(shù)學表達式體現(xiàn):|MFi - MF2 |= 2a（0 ：二 2a :二 F F?）提示學生同樣要注意這個定義成立的條件圓錐曲線的發(fā)展史:PPT展示結(jié)合教師的講評3 .長期停滯又經(jīng)過了 500年，到了 3世紀，希臘數(shù)學家帕普斯在他的著作匯 篇中，才完善了關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定理進行了 證明。這時，圓錐曲線的定義和性質(zhì)才比較完整地建立起來了在這之后的13個世紀里，整個數(shù)學界對圓錐曲線的研究幾乎沒有 什么進展.4 .有所突破有兩件事促使人們對圓錐曲線的進一步研究1.感受數(shù)學發(fā)展 的漫長和艱辛.圓錐曲線的發(fā)展史：2.鼓勵學生敢于

21、 探索，敢于突破.4,有所突破德國數(shù)學家開普勒繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道繞圓錐曲線的發(fā)展史:4.有所突破5.別開生面伽利略得出斜拋運動的軌道是拋物線， 突破了靜態(tài)圓錐曲線的觀念.人們開始感到古 希臘人的證明方法太缺乏一般性，幾乎每個 定理都是要想出一個特殊的證明方法.于是,對圓錐曲線的處理方法開始有了變化.伽利略 （1564-1642, 意大利數(shù)學家、物理 學家、天文學家）圓錐曲線的發(fā)展史：5 .別開生面解析幾何的創(chuàng)立，使人們對圓錐曲線的 研究方法不同于以前，而是朝著解析方法的 方向發(fā)展.即建立坐標系，得出圓錐曲線的方 程，再利用方程研究圓錐曲線的性質(zhì)，以擺 脫幾何直觀而達到抽

22、象化的目標，也可以求 得對圓錐曲線研究的高度概括與統(tǒng)一.在這方面，笛卡兒等解析幾何的鼻祖作出了巨大的 貢獻.笛卡爾 （ 1596-1650 ,法國數(shù)學家、物理學家，解析幾何創(chuàng)始人）4.由“別開生面” 這個階段，介紹我 們?yōu)槭裁磳W習解 析幾何，了解其由 來，為后面建立坐 標系到求標準方 程，再來研究其性 質(zhì)這個過程做了 個很好的鋪墊.5.這個是離我們 實際最近的一個 階段，也是和我們 生活最緊密的一 個階段，再次拿出 一些我們現(xiàn)實生 活中的圓錐曲線 讓學生再次體會 數(shù)學的實際應(yīng)用圓錐曲線的發(fā)展史:6 .系統(tǒng)總結(jié)18世紀，牛頓、伯努力和等先后提出不同的坐標系，尤其影 響深刻的是極坐標系，隨著坐標系

23、的系統(tǒng)化，關(guān)于圓錐曲線性質(zhì) 研究逐漸系統(tǒng)化起來.牛頓（1643-伯努利 （1623-1727,英國物理學1708,瑞士數(shù)學家，數(shù)學家）家）6.這里還講了個 關(guān)于歐拉的小故 事，培養(yǎng)學生學習 數(shù)學的意志品質(zhì)圓錐曲線的發(fā)展史:歐拉 （ 1707-1783 ,瑞士數(shù)學家、自然科學家）歐拉1745年發(fā)表的分析引 論，被譽為解析幾何發(fā)展史 上的重要著作，系統(tǒng)地研究了 圓錐曲線的各種情形，并證明 通過坐標變換，一定可以把任 何圓錐曲線化為某種標準形式歐拉之后，三維解析幾何的研究 蓬勃開展，由圓錐曲線導(dǎo)出了圓 錐曲面.至此，關(guān)于圓錐曲線的理 論被廣泛應(yīng)用，直至今天.“嫦娥一號"探月變軌軌道圖,二

24、_ 二”工2叫、n火電廠及核電站的冷卻塔冷卻塔的軸截面是 雙曲線，從底部到中部直徑變小，是將 蒸汽抽到塔內(nèi)，防止底部逸出，而上部直徑變大，可以降 低上升到頂部熱氣的流動速度，從而降低抽力，使蒸汽盡 可能的留在塔內(nèi)，提高冷卻回收率 .7 .小結(jié)8 .作業(yè)小結(jié):和學生一起小結(jié)通過本節(jié)課的學習，你了解到什么？1 .在AABC中，BG2, | AB AC |=1 ,那么點 A在怎樣的曲線 上運動？2 .已知 MBC中，BC長為6,周長為16,那么頂點A怎樣的曲線 上運動？3 .如圖，圓F1在圓F2的內(nèi)部，且點F1, F2 不重合.求證：與圓F1外切，且與圓F2內(nèi)切的圓的圓 心C的軌跡是橢圓.4 .（探究題）將一個半徑為 R的籃球放在地進一步鞏固課題 的重，難點。讓學 生在作業(yè)中中發(fā) 現(xiàn)不足、彌補不 足，加深對知識理 解，真正把學到的 知識轉(zhuǎn)化成能力。面上，被陽光斜照留下的影子是橢圓 .如果將光源換成電光源， 那 么影子可能是拋物線嗎？精美句子1、善思則能“從無字句處讀書”。讀沙漠，讀出了它坦蕩豪放的胸懷；讀太陽，讀出了它普照萬物的無私；讀春雨，讀出了它潤物無聲的柔情。讀大海，讀出了它氣勢磅礴的豪情。讀石灰，讀出了它粉身碎骨不變色的清白。2、幸福幸福是“臨行密密縫，意恐遲遲歸”的牽掛； 幸福是“春種一粒粟，秋收千顆子”的收獲 . 幸福是“采菊東籬下，悠然見南山”的閑適；