1、第第5 5章章 靜態(tài)場的解靜態(tài)場的解 靜態(tài)場是指場量不隨時間變化的場。靜態(tài)場包括：靜電靜態(tài)場是指場量不隨時間變化的場。靜態(tài)場包括：靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時變電磁場的特例。分析場、恒定電場及恒定磁場，它們是時變電磁場的特例。分析靜態(tài)場，必須從麥克斯韋方程組這個電磁場的普遍規(guī)律出發(fā)，靜態(tài)場，必須從麥克斯韋方程組這個電磁場的普遍規(guī)律出發(fā)，導(dǎo)出靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組，即描述靜態(tài)場特性的基本導(dǎo)出靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組，即描述靜態(tài)場特性的基本方程。再根據(jù)它們的特性，聯(lián)合物態(tài)方程推導(dǎo)出位函數(shù)的泊方程。再根據(jù)它們的特性，聯(lián)合物態(tài)方程推導(dǎo)出位函數(shù)的泊松方程和拉普拉斯方程。最后，靜態(tài)場問題可歸結(jié)為

2、求泊松松方程和拉普拉斯方程。最后，靜態(tài)場問題可歸結(jié)為求泊松方程和拉普拉斯方程解的問題。通常求解這兩個方程的方法方程和拉普拉斯方程解的問題。通常求解這兩個方程的方法有：鏡像法、分離變量法和格林函數(shù)法，它們屬于解析法，有：鏡像法、分離變量法和格林函數(shù)法，它們屬于解析法，而在近似計算中常用有限差分法。而在近似計算中常用有限差分法。1. 1. 靜電場、恒定電場靜電場、恒定電場 、恒定磁場的基本方程、恒定磁場的基本方程 4. 4. 鏡像法鏡像法重點重點：3. 3. 求解靜態(tài)場位函數(shù)方程的方法所依據(jù)的理論求解靜態(tài)場位函數(shù)方程的方法所依據(jù)的理論： 對偶原理、疊加原理、唯一性定理對偶原理、疊加原理、唯一性定理

3、 2. 2. 靜態(tài)場的位函數(shù)方程靜態(tài)場的位函數(shù)方程 5.1 5.1 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 5.1.1 5.1.1 靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組 對于靜態(tài)場，各場量只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，并不隨時對于靜態(tài)場，各場量只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，并不隨時間而變化，即與時間間而變化，即與時間t t無關(guān)。因此無關(guān)。因此 ，靜態(tài)場的麥克斯韋方，靜態(tài)場的麥克斯韋方程組為：程組為： 00DEBHJ 00svlslsD dsdvE dlB dsH dlJ ds 電流連續(xù)性方程為：電流連續(xù)性方程為： 00J dssJ 由上述方程組可知，靜態(tài)場與時變場最基本的區(qū)別在于靜由上述方程組可

4、知，靜態(tài)場與時變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場和磁場是彼此獨立存在的，即電場只由電荷產(chǎn)態(tài)場的電場和磁場是彼此獨立存在的，即電場只由電荷產(chǎn)生，磁場只由電流產(chǎn)生。沒有變化的磁場，也沒有變化的生，磁場只由電流產(chǎn)生。沒有變化的磁場，也沒有變化的電場。既然如此，我們就可以分別寫出靜電場、恒定電場電場。既然如此，我們就可以分別寫出靜電場、恒定電場和恒定磁場的基本方程。和恒定磁場的基本方程。 1 1、靜電場的基本方程、靜電場的基本方程 靜電場是靜止電荷或靜止帶電體產(chǎn)生的場，其基本方靜電場是靜止電荷或靜止帶電體產(chǎn)生的場，其基本方程為程為 0DE 0svlD dsdvqE dl上式表明：靜電場中的旋度為上式表明

5、：靜電場中的旋度為0 0，即靜電場中的電場不可，即靜電場中的電場不可能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場的通量源。能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場的通量源。 另外：電介質(zhì)的物態(tài)方程為另外：電介質(zhì)的物態(tài)方程為 E 靜電場是一個有源無旋場，所以靜電場可用電位函數(shù)來描靜電場是一個有源無旋場，所以靜電場可用電位函數(shù)來描述，即述，即 DE 2 2、恒定電場的基本方程、恒定電場的基本方程 載有恒定電流的導(dǎo)體內(nèi)部及其周圍介質(zhì)中產(chǎn)生的電場，載有恒定電流的導(dǎo)體內(nèi)部及其周圍介質(zhì)中產(chǎn)生的電場，即為恒定電場。當(dāng)導(dǎo)體中有電流時，由于導(dǎo)體電阻的存在，即為恒定電場。當(dāng)導(dǎo)體中有電流時，由于導(dǎo)體電阻的存在，要在導(dǎo)體中維持恒定電流，必須

6、依靠外部電源提供能量，要在導(dǎo)體中維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內(nèi)部的電場也是恒定的。其電源內(nèi)部的電場也是恒定的。若一閉合路徑經(jīng)過電源，則：若一閉合路徑經(jīng)過電源，則： ElE dle0sJ ds即電場強度即電場強度 的線積分等于電源的電動勢的線積分等于電源的電動勢 EEe若閉合路徑不經(jīng)過電源，則：若閉合路徑不經(jīng)過電源，則： 0lE dl這是恒定電場在無源區(qū)的基本方程積分形式，其微分形式為這是恒定電場在無源區(qū)的基本方程積分形式，其微分形式為 00EJ 從以上分析可知，恒定電場的無源區(qū)域也是一個位場，也從以上分析可知，恒定電場的無源區(qū)域也是一個位場，也可用一個標(biāo)量函數(shù)來描述?？捎靡粋€

7、標(biāo)量函數(shù)來描述。 另外：導(dǎo)體中的物態(tài)方程為另外：導(dǎo)體中的物態(tài)方程為 E JE 3 3、恒定磁場的基本方程、恒定磁場的基本方程 0slsB dsH dlJ ds這是恒定磁場的基本方程。這是恒定磁場的基本方程。 BH 從以上方程可知，恒定磁場是一個旋渦場，電流是這個旋從以上方程可知，恒定磁場是一個旋渦場，電流是這個旋渦場的源，磁力線是閉合的。渦場的源，磁力線是閉合的。 另外：磁介質(zhì)中的物態(tài)方程為另外：磁介質(zhì)中的物態(tài)方程為 恒定電流的導(dǎo)體周圍或內(nèi)部不僅存在電場，而且存在恒定電流的導(dǎo)體周圍或內(nèi)部不僅存在電場，而且存在磁場，但這個磁場不隨時間變化，是恒定磁場。假設(shè)導(dǎo)體磁場，但這個磁場不隨時間變化，是恒定

8、磁場。假設(shè)導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流為中的傳導(dǎo)電流為I I，電流密度為，電流密度為 , ,則有則有 J 0BHJ 靜電場既然是一個位場，就可以用一個標(biāo)量函數(shù)靜電場既然是一個位場，就可以用一個標(biāo)量函數(shù) 的梯度來表示它的梯度來表示它: :E 5.1.2 5.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 1 1、靜電場的位函數(shù)、靜電場的位函數(shù) 即即式中的標(biāo)量函數(shù)式中的標(biāo)量函數(shù) 稱為稱為電位函數(shù)電位函數(shù)。 0 所以有所以有對于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)，對于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)，為常數(shù)為常數(shù), ()DEE () 即即靜電場靜電場的位函數(shù)的位函數(shù) 滿足的滿足的泊松方程。泊松方程。 2 上式即為在有電

9、荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有“源源”的區(qū)的區(qū)域內(nèi)，靜電場的電位函數(shù)所滿足的方程，我們將這種形式域內(nèi)，靜電場的電位函數(shù)所滿足的方程，我們將這種形式的方程稱為的方程稱為 泊松方程。泊松方程。 如果場中某處有如果場中某處有=0=0，即在無源區(qū)域，則上式變?yōu)?，即在無源區(qū)域，則上式變?yōu)?0我們將這種形式的方程稱為我們將這種形式的方程稱為 拉普拉斯方程。它拉普拉斯方程。它是在不存在電荷的區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)是在不存在電荷的區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù) 應(yīng)滿足的方程。應(yīng)滿足的方程。 2 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中 2222222xyz在圓柱坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中 22222211()

10、rr rrrz在球坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中 22222222111()(sin)sinsinRRRRRR2拉普拉斯算符拉普拉斯算符 在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)形式：在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)形式： 2 2、恒定電場的位函數(shù)、恒定電場的位函數(shù) 則有則有20 在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，恒定電場是一個位場，即有恒定電場是一個位場，即有 0E這時同樣可以引入一個標(biāo)量位函數(shù)這時同樣可以引入一個標(biāo)量位函數(shù) 使得使得 E這說明，在無源區(qū)域，恒定電場的位函數(shù)滿足拉普拉斯這說明，在無源區(qū)域，恒定電場的位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。方程。 根據(jù)電流連續(xù)性方程根據(jù)電流連續(xù)性方程 及物態(tài)方程及物態(tài)方程 并設(shè)電導(dǎo)率并設(shè)電導(dǎo)率

11、為一常數(shù)（對應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有為一常數(shù)（對應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有 0J JE 2()()0JE 3 3、恒定磁場的位函數(shù)分布、恒定磁場的位函數(shù)分布 2()AAAJ 人為規(guī)定人為規(guī)定 0A (1) 磁場的矢量位函數(shù)磁場的矢量位函數(shù)這個規(guī)定被稱為庫侖規(guī)范這個規(guī)定被稱為庫侖規(guī)范 2AJ 于是有于是有此式即為矢量磁位的泊松方程。此式即為矢量磁位的泊松方程。 恒定磁場是有旋場，即恒定磁場是有旋場，即 , ,但它卻是無散場，但它卻是無散場， 即即 BJ 0B ABA 引入一個矢量磁位引入一個矢量磁位 后，由于后，由于 ，可得，可得 20A在沒有電流的區(qū)域在沒有電流的區(qū)域 , , 所以有所以有 0J

12、 在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程變?yōu)樵跊]有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程變?yōu)?0BH (2) 磁場的標(biāo)量位函數(shù)磁場的標(biāo)量位函數(shù)m這樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性這樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，因此，像靜電場一樣，我們可以引入一個標(biāo)量函數(shù)，質(zhì)，因此，像靜電場一樣，我們可以引入一個標(biāo)量函數(shù)，即標(biāo)量磁位函數(shù)即標(biāo)量磁位函數(shù) 注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應(yīng)用。注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應(yīng)用。Hm 即令即令 此式即為矢量磁位此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程的拉普拉斯方程以上所導(dǎo)出的三個靜態(tài)場的基本方程表明：靜態(tài)場可以用以上所導(dǎo)出的三

13、個靜態(tài)場的基本方程表明：靜態(tài)場可以用位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域滿足泊松方程，在無位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域滿足泊松方程，在無源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。因此，靜態(tài)場的求解問題就源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。因此，靜態(tài)場的求解問題就變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的問題。這兩個變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的問題。這兩個方程是二階偏微分方程，針對具體的電磁問題，不可能完方程是二階偏微分方程，針對具體的電磁問題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。在介紹具體的求解方法之前，我們要全用數(shù)學(xué)方法求解。在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方先介紹幾個重要

14、的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據(jù)。程的理論依據(jù)。 當(dāng)媒質(zhì)是均勻、線性和各項同性時，由當(dāng)媒質(zhì)是均勻、線性和各項同性時，由 和和 可得可得 0BBH0HHm 由于由于 20m5.2 5.2 對偶原理對偶原理 如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并且有相似的邊界條件或?qū)?yīng)的邊界條件，那么它們的數(shù)并且有相似的邊界條件或?qū)?yīng)的邊界條件，那么它們的數(shù)學(xué)解的形式也將是相同的，這就是對偶原理。具有同樣數(shù)學(xué)解的形式也將是相同的，這就是對偶原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個方程稱為對偶性方程，在對偶性方程中，處學(xué)形式的兩個方程稱為對偶性方程，在對偶

15、性方程中，處于同等地位的量稱為對偶量。于同等地位的量稱為對偶量。 有了對偶原理后，我們就能把某種場的分析計算結(jié)果，有了對偶原理后，我們就能把某種場的分析計算結(jié)果，直接推廣到其對偶的場中，這也是求解電磁場的一種方法。直接推廣到其對偶的場中，這也是求解電磁場的一種方法。 1 1、=0=0區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對偶區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對偶 0E 20qI 對偶量對偶量恒定電場恒定電場靜電場靜電場0E EEE E 0J0D DJDE JE 20qD dss IJ dss0E 20m 對偶量對偶量恒定磁場恒定磁場靜電場靜電場0HEH0B0D DBDE BH20mq qD d

16、ss Bsds 2 2、=0=0區(qū)域的靜電場與區(qū)域的靜電場與 區(qū)域的恒定磁場的對偶區(qū)域的恒定磁場的對偶 0J 5.3 5.3 疊加原理和唯一性定理疊加原理和唯一性定理 在研究具體的工程電磁場問題時，無論是靜電場、恒在研究具體的工程電磁場問題時，無論是靜電場、恒定電場、還是恒定磁場，都需要根據(jù)實際工程中給定的邊定電場、還是恒定磁場，都需要根據(jù)實際工程中給定的邊界條件，通過求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到標(biāo)量電界條件，通過求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到標(biāo)量電位函數(shù)或矢量磁位函數(shù)。位函數(shù)或矢量磁位函數(shù)。 5.3.1 5.3.1 邊界條件的分類邊界條件的分類 給定位函數(shù)的邊界條件通常有三類：給定位函

17、數(shù)的邊界條件通常有三類： 第一類邊界條件第一類邊界條件 直接給定整個場域邊界上的位直接給定整個場域邊界上的位函數(shù)值函數(shù)值 ( )f s為邊界點為邊界點S S的位函數(shù)，這類問題稱為第一類邊界條件。的位函數(shù)，這類問題稱為第一類邊界條件。 ( )f s因為因為 ( )fsn故上式相當(dāng)于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強度的故上式相當(dāng)于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強度的法向分量，這類問題稱為第二類邊界條件。法向分量，這類問題稱為第二類邊界條件。 snnDEn 第二類邊界條件第二類邊界條件 只給定待求位函數(shù)在邊界上的只給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值法向?qū)?shù)值 第三類邊界條件第三類邊界條件 給定邊

18、界上的位函數(shù)及其法向給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合導(dǎo)數(shù)的線性組合 ( )( )12fsfsn這是混合邊界條件，稱為第三類邊界條件。這是混合邊界條件，稱為第三類邊界條件。 5.3.2 5.3.2 疊加原理疊加原理 若若 和和 分別滿足拉普拉斯方程，即分別滿足拉普拉斯方程，即 和和 , ,則則 和和 的線性組合：的線性組合：必然也滿足拉普拉斯方程：必然也滿足拉普拉斯方程：式中式中a a、b b均為常系數(shù)。均為常系數(shù)。122102201212ab212()0ab5.3.3 5.3.3 唯一性定理唯一性定理 唯一性定理可敘述為：對于任一靜態(tài)場，在邊界條件給定唯一性定理可敘述為：對于任一靜態(tài)場

19、，在邊界條件給定后，空間各處的場也就唯一地確定了，或者說這時拉普拉后，空間各處的場也就唯一地確定了，或者說這時拉普拉斯方程的解是唯一的。斯方程的解是唯一的。 5.4 5.4 鏡象法鏡象法 鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷來鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷來代替或等效實際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個相似的電荷代替或等效實際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)稱為鏡象電荷，然后通過計算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)生的合成電場，而得到源電荷與實際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的生的合成電場，而得到源電荷與實際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合成電場，這種方法稱

20、為鏡象法。合成電場，這種方法稱為鏡象法。 一般可以考慮采用標(biāo)量位函數(shù)來計算這個由電荷一般可以考慮采用標(biāo)量位函數(shù)來計算這個由電荷所產(chǎn)生的合成電場，這樣可以避免復(fù)雜的矢量運算。所產(chǎn)生的合成電場，這樣可以避免復(fù)雜的矢量運算。當(dāng)然，這就需要假設(shè)鏡象電荷與源電荷共同產(chǎn)生了一當(dāng)然，這就需要假設(shè)鏡象電荷與源電荷共同產(chǎn)生了一個總的電位函數(shù)，它既能滿足給定的具體邊界條件，個總的電位函數(shù)，它既能滿足給定的具體邊界條件，又在一定區(qū)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程。那么，根據(jù)唯一又在一定區(qū)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程。那么，根據(jù)唯一性定理，所假設(shè)的位函數(shù)就是該區(qū)域上的唯一的電位性定理，所假設(shè)的位函數(shù)就是該區(qū)域上的唯一的電位函數(shù)。因此，用

21、鏡象法求解靜電場問題的關(guān)鍵是尋找函數(shù)。因此，用鏡象法求解靜電場問題的關(guān)鍵是尋找合適的鏡象電荷，然后再引出位函數(shù)并求解，這是分合適的鏡象電荷，然后再引出位函數(shù)并求解，這是分析很多電磁問題的一種有效方法。析很多電磁問題的一種有效方法。5.4.1 5.4.1 點電荷與無限大的平面導(dǎo)體的合成場計算點電荷與無限大的平面導(dǎo)體的合成場計算 如圖所示，設(shè)有一無限大平面導(dǎo)體，距平面如圖所示，設(shè)有一無限大平面導(dǎo)體，距平面h處有處有一點電荷一點電荷+q，周圍介電常數(shù)為，周圍介電常數(shù)為， 取直角坐標(biāo)系，使取直角坐標(biāo)系，使z=0的平的平面與導(dǎo)體平面重合，并將面與導(dǎo)體平面重合，并將+q電電荷放在荷放在z軸上。這時整個電場

22、是軸上。這時整個電場是靜電場，是由電荷靜電場，是由電荷q和導(dǎo)體平面和導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的。上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的。用唯一性定理可以驗證，這個假設(shè)的電位函數(shù)就是我們所要用唯一性定理可以驗證，這個假設(shè)的電位函數(shù)就是我們所要求的合成場求的合成場 。 如果設(shè)想把無限大導(dǎo)電平板撤如果設(shè)想把無限大導(dǎo)電平板撤去，整個空間充滿同一種介質(zhì)去，整個空間充滿同一種介質(zhì)，并，并在點電荷在點電荷q的對稱位置上，放一個點的對稱位置上，放一個點電荷電荷-q來代替導(dǎo)電平板上的感應(yīng)電來代替導(dǎo)電平板上的感應(yīng)電荷。那么在荷。那么在z0空間里任一點空間里任一點p(x,y,z)的電位就應(yīng)等于源電荷的電位就應(yīng)等于源電荷q與鏡象電荷與鏡

23、象電荷-q所產(chǎn)生的電位之和。這時，所產(chǎn)生的電位之和。這時，p點的點的電位為電位為112221212222221111()444114()()qrqqrrrqxyzhxyzh 點電荷點電荷q q與導(dǎo)體平面之間的電位必須滿足下列與導(dǎo)體平面之間的電位必須滿足下列條件：條件： 1 1、在、在z=0z=0處，處， =0=0，因為無限大的導(dǎo)體平面電位為，因為無限大的導(dǎo)體平面電位為零；零；2 2、在、在z0z0的空間里，除了點電荷所在的點外，處處的空間里，除了點電荷所在的點外，處處應(yīng)該滿足：應(yīng)該滿足： 20注意：注意：1 1、鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討、鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討

24、論的區(qū)域中時將會改變所放置區(qū)域的電位分布，所論的區(qū)域中時將會改變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯方程或泊松方得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯方程或泊松方程。程。2 2、鏡像電荷周圍的介質(zhì)應(yīng)該是與被討論的區(qū)間一、鏡像電荷周圍的介質(zhì)應(yīng)該是與被討論的區(qū)間一致的。致的。3 3、所得電位函數(shù)必須滿足原來的邊界條件。、所得電位函數(shù)必須滿足原來的邊界條件。1、若將源點電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平、若將源點電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電荷可以看成是由無限多個連續(xù)面平行，由于線電荷可以看成是由無限多個連續(xù)分布的點電荷組成的，用鏡象法同樣可計算出在分布的點電荷組成的，

25、用鏡象法同樣可計算出在z0的空間任一點的電位。的空間任一點的電位。 推廣推廣210ln2rrl2、兩相交半無限大導(dǎo)體平面，在角區(qū)內(nèi)的點電荷、兩相交半無限大導(dǎo)體平面，在角區(qū)內(nèi)的點電荷、線電荷的場也可用鏡象法求解線電荷的場也可用鏡象法求解 。 點電荷對于夾角為垂直的接地兩塊點電荷對于夾角為垂直的接地兩塊相連導(dǎo)電平面的鏡像相連導(dǎo)電平面的鏡像: :3、無限長通電直導(dǎo)線在一無限大磁介質(zhì)平面上方、無限長通電直導(dǎo)線在一無限大磁介質(zhì)平面上方在空間中一點在空間中一點P的磁場由電流和鏡象電流共同產(chǎn)的磁場由電流和鏡象電流共同產(chǎn)生生 。 4、當(dāng)天線架設(shè)得比較低時，通常把地面假設(shè)為無、當(dāng)天線架設(shè)得比較低時，通常把地面假

26、設(shè)為無限大的理想導(dǎo)電平面，地面的影響將歸結(jié)為鏡象限大的理想導(dǎo)電平面，地面的影響將歸結(jié)為鏡象天線所起的作用天線所起的作用 。 5.4.3 5.4.3 球形邊界問題球形邊界問題 1 1、如圖，接地導(dǎo)體球，半徑為、如圖，接地導(dǎo)體球，半徑為a a，在球外與球心相距為，在球外與球心相距為d d 的點處有一點電荷的點處有一點電荷q q，點電荷，點電荷q q 將在導(dǎo)體球表面產(chǎn)生感應(yīng)負(fù)將在導(dǎo)體球表面產(chǎn)生感應(yīng)負(fù)電荷，球外任一點的電位應(yīng)等于這些感應(yīng)電荷與點電荷電荷，球外任一點的電位應(yīng)等于這些感應(yīng)電荷與點電荷q q 產(chǎn)生的電位之和。產(chǎn)生的電位之和。 4412qqRR設(shè)想把導(dǎo)體球移開，用一個鏡象電荷代替球面上的感應(yīng)負(fù)

27、設(shè)想把導(dǎo)體球移開，用一個鏡象電荷代替球面上的感應(yīng)負(fù)電荷，為了不改變球外的電荷分布，鏡象電荷必須放在導(dǎo)電荷，為了不改變球外的電荷分布，鏡象電荷必須放在導(dǎo)體球內(nèi)。又由于球?qū)ΨQ性，這個鏡象電荷必然在點電荷體球內(nèi)。又由于球?qū)ΨQ性，這個鏡象電荷必然在點電荷q q與球心所在的同一條直線上。又由于靠近點電荷與球心所在的同一條直線上。又由于靠近點電荷q q的球面的球面部分，感應(yīng)電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在部分，感應(yīng)電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在OM OM 線段線段上，設(shè)在上，設(shè)在 B B 點點,OB=b,OB=b，則位函數(shù)表達(dá)式為，則位函數(shù)表達(dá)式為 aqqd 可求出：可求出： 可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷的位置和電量大小，則位函數(shù)表達(dá)式就確定了。采用鏡象的位置和電量大小，則位函數(shù)表達(dá)式就確定了。采用鏡象法后，球面外區(qū)域的電位函數(shù)相對容易計算。法后，球面外區(qū)域的電位函數(shù)相對容易計算。 2 2、若導(dǎo)體球不接地，導(dǎo)體球上的靜電荷為、若導(dǎo)體球不接地，導(dǎo)體球上的靜電荷為0 0，并且球面電位，并且球面電位不為不為0 0，但仍保持為等位面，為了滿足導(dǎo)體球上靜電荷為，但仍保持為等位面，為了滿足導(dǎo)體球上靜電荷為0 0的的條件，還需加入另一鏡象電荷條