1、教 學(xué) 系：專 業(yè)：年 級：姓 名：學(xué) 號：導(dǎo)師及職稱：摘要定積分是數(shù)學(xué)中十分重要的工具，其中求圖形的面積正是它的運用之一，它的思想就是切割求和，在不同的坐標(biāo)系下可采用特定的方法求解面積。本文介紹了幾種運用定積分來求面積的方法，其中列舉了特殊的例題以及重要的問題解決方法。如果實際問題中的所求量與某一區(qū)間有關(guān)且在該區(qū)間上具有可加性，我們就可以用函數(shù)的定積分來表示這個所求的量，因此我們就可以運用定積分來解決一些實際問題。同時利用定積分求不規(guī)則平面圖形的面積，是定積分在幾何中的重要應(yīng)用之一。如何靈活地運用定積分的定義及有關(guān)公式,巧妙地將求不規(guī)則圖形的面積問題等價轉(zhuǎn)化為求定積分的數(shù)值問題就是一大關(guān)鍵，

2、本文結(jié)合實例，介紹幾種常用的轉(zhuǎn)化方法與求解策略。從而充分的體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。關(guān)鍵詞：定積分；封閉圖形；曲面域；對稱性Research of square in definite integralABSTRACTA definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its application, its thought is to cut and, under different coordinate systems can use specifi

3、c method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we can use the definite

4、 integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the definite integral to solve some practical problems.At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geometry. How to flexibly u

5、se definite integral is defined and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivalent transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, introduces several commonly used transformation method and solution strategy. In order to ful

6、ly reflect the combination of the mathematical thought and method.Keywords:definite integral; closed graph; surface area; symmetry目錄一、引言1二、相關(guān)概念11.1 定積分的定義11.2 定積分的常用計算方法11.2.1 直接利用公式及性質(zhì)計算11.2.2 利用定積分的區(qū)間可加性計算2三、定積分在面積問題中的應(yīng)用23.1 直角坐標(biāo)系下求面積23.1.1 平面面積23.1.2 曲面面積53.2極坐標(biāo)63.3求旋轉(zhuǎn)曲面的面積7四、常見方法104.1 巧選積分變量104.

7、2 巧用對稱性114.3 巧用分割計算11五、結(jié)束語12參考文獻12致謝13一、引言積分在自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟管理中有著廣泛的應(yīng)用，比如利用積分求平面圖形的面積、變力做功等都是微積分中定積分的應(yīng)用問題，在數(shù)學(xué)分析中占據(jù)了重要地位。利用定積分求平面圖形的面積是一個重要應(yīng)用,與實際聯(lián)系緊密,有很好的實用性。我們已經(jīng)知道很多規(guī)則的平面圖形的面積計算，如正方形、平行四邊形、三角形、圓的面積等等?？梢园l(fā)現(xiàn)這些規(guī)則圖形一般都是“直邊圖形”，但平時我們在實際中還會遇到求“曲邊圖形”的面積，那我們想到了定積分。定積分的定義是前人用“逼近”的方法總結(jié)歸納定義出來的，是受“以直代曲”的思想而啟發(fā)的1。也就是把

8、“曲邊圖形”采用“逼近、分割”方法進行近似代替而求得。利用定積分求含曲邊的圖形面積問題是在面對在平面幾何中難以用常規(guī)方法加以解決的問題而采用的。定積分知識的引入，為此類問題的解決提供了強有力的工具，也充分體現(xiàn)了創(chuàng)新性及數(shù)形相結(jié)合的典型性。二、相關(guān)概念1.1 定積分的定義一般地，如果有函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式，當(dāng)時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記作，即。這里，和分別叫做積分上限和積分下限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式。1.2 定積分的常用計算方法1.直接利用公式及性質(zhì)計算例求分析被

9、積函數(shù)是不定積分中見過的類型按相應(yīng)的三角恒等變換，先求出原函數(shù)再利用公式計算。解1.利用定積分的區(qū)間可加性計算 設(shè)，求分析 這是一個分段函數(shù)，在不同的區(qū)間對應(yīng)的函數(shù)表達式不同，利用區(qū)間可加性分區(qū)間考慮其計算。解注意針對不定積分中的兩類換元積分法，運用到定積分的計算時要注意的是如何正確選擇積分方法。第一類換元積分法直接可以應(yīng)用到定積分的計算中，只要熟悉不定積分的湊微分，知道如何湊出中間變量的微分就可計算。 求分析 被積函數(shù)是自變量的平方形式，需三角代換才能去根號。解令當(dāng)時，當(dāng)時，三、定積分在面積問題中的應(yīng)用在求區(qū)域的面積當(dāng)中，由于圍成區(qū)域的曲線可用不同的形式表示，一般情況下，曲線的形式分為多種情

10、況，每種情況下的求區(qū)域面積的方法各有所不同，因而定積分求面積的具體用法通過下列問題分下面四種情況進行探討。3.1 直角坐標(biāo)系下求面積平面面積一般地，由上下兩條連續(xù)曲線與以及兩條直線與所圍成的平面圖形（圖31），它的面積計算公式為：0圖31(3-1)例3.1 求兩條曲線與圍城的平面區(qū)域（圖32）的面積。分析 由圖可知選取對積分，便于計算。110圖32解兩條曲線的交點是與，則此區(qū)域的面積：圖34例拋物線把圓分成兩部分，求(圖34)中陰影部分的面積.分析 由得交點坐標(biāo)：，.由圖可知選取為積分變量。解總之，由函數(shù)圍成的圖形(其中)，選取為積分變量，則面積為；由函數(shù),圍成的圖形(其中，選取為積分變量，則

11、面積為1-10圖33以上可簡記為：“上減下，右減左，總之大減小，積分小到大”。在平面圖形的面積求解中，除了以上方法外，還可以運用二重積分，將面積問題轉(zhuǎn)化為求二重積分值的問題。例求由拋物線與所圍圖形的面積。分析 設(shè)所圍圖形如（圖33）面積為.解方程組，解得兩曲線的交點坐標(biāo)為，.解 圖形面積為：當(dāng)曲線是參數(shù)方程時，其中與在上連續(xù)。若函數(shù)在上嚴(yán)格增加，從而.有,則函數(shù)存在反函數(shù), 曲線：、軸和兩條直線圍成區(qū)域的面積 （3-2）若函數(shù)在嚴(yán)格減少，從而,有,則函數(shù)存在反函數(shù),曲線：、軸和兩條直線所圍成的區(qū)域面積：=（33）如果由參數(shù)方程所表示的曲線是封閉的，既有,且在內(nèi)曲線自身不在相交，那么由曲線自身所

12、圍成圖像的面積為： (或) （34）a12aA圖35 66666666例3.4求由擺線的一拱與軸所圍成的平面圖形（圖35）的面積。解 擺線的一拱可取所求面積為：例3.5求橢圓：的面積。分析參數(shù)方程所表示的曲線是封閉的，既有,且在內(nèi)曲線自身不在相交。于是便可由公式（34）求解。解橢圓的面積為：顯然，當(dāng)時，這就等于圓面積例3.6求由曲線所圍成的平面圖形的面積。解令則在此變換下積分區(qū)域變換為則區(qū)域的面積 曲面面積在一元函數(shù)積分學(xué)中，定積分是某種確定形式的和的極限，這種和的極限的概念推廣到定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)情形，便得到二重積分，即區(qū)域面積的和。因此便可采用二重積分求解面積2。如果曲面由方程確定

13、，在面上的投影區(qū)域為則面積為： （35）如果曲面由方程確定，在面上的投影區(qū)域為則面積為：如果曲面由方程確定，在面上的投影區(qū)域為，則面積為：例求錐面被柱面截下的部分的面積。解 聯(lián)立方程組消去，得，曲面在面上的投影區(qū)域為，由，得，由公式（32）得 極坐標(biāo)設(shè)曲線由極坐標(biāo)方程給出，其圖36中在上連續(xù)，。由曲線與兩條射線所圍成的平面圖形，通常也稱為扇形（圖36）。此扇形的面積的計算公式為 (36)0圖37這仍可由定積分分的基本思想而得。如（圖37）所示，對區(qū)間作任意分割射線 把扇形分成個小扇形。由于是連續(xù)的，因此當(dāng)很小時，在每一個上的值變化也很小。任取便有這時，第個小扇形的面積為于是由定積分的定義和連續(xù)

14、函數(shù)的可積性，當(dāng)時，上式右邊的極限即為公式(36)中的定積分。圖38例3.8求雙扭線所圍成的平面圖形的面積。解如圖（38）所示，因為所以的取值范圍是與由圖形及公式(36)，得到：例3.9求三葉玫瑰線()圍成區(qū)域（圖39）的面積。解三葉玫瑰線圍成的三個葉是全等圖形，只須計算第一象限那部分面積的6倍。三葉玫瑰線在第一象限中，角的變化范圍是到 于是三葉玫瑰線圍成區(qū)域的面積為：圖39令則原式可化為： 求旋轉(zhuǎn)曲面的面積定積分的所有應(yīng)用問題，一般總可以按“分割，近似求和，取極限”三個步驟導(dǎo)出所求量的積分形勢，但為了簡便實用，也常采用“微元法”。若令,則當(dāng)為連續(xù)函數(shù)時，或,且，現(xiàn)在恰好把問題倒過來：如果所求

15、量是分布在某區(qū)間上的，即，,而且當(dāng)時，適為最終所求的值。再任意小區(qū)間上，若能把的微小增量近似表示為的線性形式： (36)其中為某一連續(xù)函數(shù)，而且當(dāng)時，,亦即 (37)那么只要把定積分計算出來，就是該問題所求的結(jié)果。圖310設(shè)平面光滑曲線C的方程為(不妨設(shè))這段曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)曲面（圖310）下面用微元法導(dǎo)出它的面積公式。通過軸上點與分別作垂直于軸的平面，它們在旋轉(zhuǎn)曲面上截下一條狹帶。當(dāng)很小時，此狹帶的面積近似于一圓臺的側(cè)面積，即其中由于， =因此由的連續(xù)性可以保證所以得到 (38)如果光滑曲線由參數(shù)方程給出，且，那么由弧微分知識推知曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積為(39)0計算圓在區(qū)間

16、上的弧段繞軸旋轉(zhuǎn)所得球的面積。解對曲線在區(qū)間上應(yīng)用公式(38) ,得到注意當(dāng)時，則地球的表面積計算由內(nèi)擺線（圖311）繞軸旋轉(zhuǎn)所得到旋轉(zhuǎn)曲面的面積。解由曲線關(guān)于軸的對稱性及公式(39)，得圖311運用曲面的第一基本形式也可以計算曲面的面積，首先把曲面域用坐標(biāo)曲線與剖分成完整的和不完整的曲邊四邊形，取以點，為定點的曲邊四邊形，近似地?fù)Q成切平面上的一個平行四邊形。這個平行四邊形是以切于坐標(biāo)曲線的向量與為邊，我們把曲邊四邊形的面積認(rèn)為近似地等于以，為邊的平行四邊形的面積。由于平行四邊形的面積等于兩邊之積再乘以它們交角的正弦，即：上述平行四邊形的的面積為，因此，曲面區(qū)域的面積可由二重積分來表示：這里的

17、區(qū)域是曲面域相對應(yīng)得平面上的區(qū)域。由于，其中,為曲面的第一類基本量所以由于正螺面是直紋面，它是直線沿著圓柱螺線連續(xù)變動形成的33 求螺旋面，的面積。分析由于正螺面是直紋面，它是直線沿著圓柱螺線連續(xù)變動形成的，這個過程中直線的方向是已知的且垂直于軸方向。因此，正螺面也是旋轉(zhuǎn)曲面。解 分別關(guān)于和求導(dǎo)得：，即：，,注意 利用二重積分法求旋轉(zhuǎn)曲面的面積問題，關(guān)鍵在于尋找中間變量，進而轉(zhuǎn)化為用定積分來求解。四、 常見方法4.1 巧選積分變量圖410933例求拋物線與所圍成的平面圖形的面積.分析 該平面圖形（圖41）。先求出拋物線與直線的交點與用把圖形分成左、右兩部分。解應(yīng)用公式（31）分別求的它們的面積

18、為：=所以注意 在有些定積分求解問題中，選為積分變量，需要將圖形分割運算較繁瑣。這時把作為積分變量，并求出兩相交點的縱坐標(biāo)，確定出被積函數(shù)的積分上下限，便可利用牛頓萊布尼茲公式求解4。例4.2求拋物線與直線所圍成的平面圖形的面積。840-4圖42分析 本題考查了利用定積分的幾何意義求圖形的面積，可以通過對積分、對積分兩種方法求解（圖42）。解法一 選取橫坐標(biāo)為積分變量.解法二 選取縱坐標(biāo)為積分變量注意這兩種解法，顯然對積分比對積分計算簡捷。因此在應(yīng)用定積分求平面圖形面積時，積分變量的選取非常重要。選取時對積分，積分函數(shù)應(yīng)是,不管選用哪種積分變量去積分，面積是不會變的，即定積分的值不變。4.2

19、巧用對稱性例5求由三條曲線所圍成的面積。分析因為是偶函數(shù)，根據(jù)對稱性，總面積為軸右邊圖形的面積的兩倍。解由方程組和得交點坐標(biāo)，.選擇為積分變量，則4.3 巧用分割計算例求由拋物線及其在點和點處兩條切線所圍成的圖形的面積。解由得則過點的切線方程為，過點的切線方程為，又可求得兩切線交點的橫坐標(biāo)為故所求面積注意當(dāng)函數(shù)時，定積分在幾何上表示：由曲線、直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積,即.五、結(jié)束語求圖形的面積，轉(zhuǎn)化為求定積分，適當(dāng)?shù)姆指?、積分變量的選取至關(guān)重要，同時選擇適當(dāng)?shù)姆椒墒褂嬎愫啽?。用定積分求面積，其關(guān)鍵是確定出被積函數(shù)和積分的上、下限。一般是應(yīng)先畫出它的草圖，借助圖形的直觀性確定被積函數(shù)，求出兩條曲的交點的坐標(biāo)確定積分的上、下限，進而由定