1、巧思妙構(gòu) 突破難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)是指學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到困難的地方,一般表現(xiàn)于超出學(xué)生已有發(fā)展水平的教學(xué)目標(biāo)和要求。在數(shù)學(xué)教學(xué) 中如何突破難點(diǎn)是擺在每個(gè)數(shù)學(xué)教師面前的重要課題。如果 不能突破這些難點(diǎn) ,會(huì)直接影響學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí) ,造成教學(xué) 上難以彌補(bǔ)的損失。 要突破教學(xué)難點(diǎn) ,應(yīng)該先了解難點(diǎn)形成的 原因 ,這樣才能對(duì)癥下藥 ,化難為易。從學(xué)生的角度分析。首先 ,在學(xué)習(xí)過(guò)程中新知識(shí)的輸入、 同化和操作取決于原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu) ,即原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新 知識(shí)的學(xué)習(xí)具有制約作用。 如果學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不完善 , 對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)缺乏必要的基礎(chǔ) ,就會(huì)使新知識(shí)難以納入到 原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中 ,形成教學(xué)的難點(diǎn)。其次

2、,高中學(xué)生抽象 思維水平尚處于起步階段 ,而數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)往往被形式化 的表達(dá)所掩蓋 ,學(xué)生的抽象概括能力未達(dá)到一定程度 ,就很難 從表象中認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。從教師的角度分析。首先 ,由于教育理論水平的限制 ,一 些教師意識(shí)不到數(shù)學(xué)概念的抽象給學(xué)生帶來(lái)哪些認(rèn)知上的 困惑 ,在教學(xué)中照本宣科、盲目灌輸成分較多,分析引導(dǎo)、激發(fā)思考成分較少 ,從而影響了學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展。 其次 , 由于專業(yè)水平的限制 ,一些教師對(duì)教材理解不深不透 ,處理不 當(dāng),甚至出現(xiàn)偏差 ,造成學(xué)生接受知識(shí)的困難。從數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式分析。為了體現(xiàn)系統(tǒng)性、完 整性及簡(jiǎn)約性等特點(diǎn) ,數(shù)學(xué)教材一般按照演繹方式展開(kāi) ,往往

3、掩蓋了知識(shí)的來(lái)龍去脈及原始的思考過(guò)程,從而使學(xué)習(xí)內(nèi)容顯得突兀和抽象。 現(xiàn)行課標(biāo)教材的編排盡可能解決這一問(wèn)題 但對(duì)一些具有高度抽象性和概括性的數(shù)學(xué)概念,學(xué)生的學(xué)習(xí)仍存在困難。因此 ,在吃透教材、深入研究學(xué)生思維水平的基礎(chǔ)上,采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略 ,把抽象的數(shù)學(xué)概念加以處理 ,充分暴露概 念的形成過(guò)程 ,讓學(xué)生經(jīng)歷提煉和完善定義的抽象歸納過(guò)程。 在突破教學(xué)難點(diǎn)的同時(shí) ,培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力 ,是數(shù)學(xué)教 師用好課標(biāo)教材的必由之路。筆者在優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)案例中摘 錄兩則 ,和大家共同商榷“用好”教材、巧思妙構(gòu)、突破教學(xué) 難點(diǎn)之“道”。案例 1 巧設(shè)疑問(wèn) ,布設(shè)臺(tái)階 ,有效剖析難點(diǎn)知識(shí)的元素。 （人教 B

4、版課標(biāo)教材選修 2-3“條件概率”教學(xué)設(shè)計(jì)摘錄 ）導(dǎo)語(yǔ) :生活中存在著很多優(yōu)美而又奇特的數(shù)學(xué),而數(shù)學(xué)里同樣也蘊(yùn)含著很多生活中的哲理和啟示。 今天 ,讓我們一同進(jìn) 入數(shù)學(xué)殿堂 ,體會(huì)身邊的數(shù)學(xué)。巧設(shè)疑問(wèn) ,布設(shè)臺(tái)階【實(shí)例 1】3張獎(jiǎng)券中只有 1張能中獎(jiǎng) ,現(xiàn)分別由 3名同 學(xué)無(wú)放回地抽取 ,最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是多少?若第一個(gè)同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券 ,則最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是多少 ?為讓學(xué)生充分感受條件概率的特征 ,教者以學(xué)生熟悉的 生活背景為載體編擬實(shí)例 1,通過(guò)淺顯的例子 ,反映生活中的 條件概率 ,與后面實(shí)例 2（教科書(shū)中的引例 ）形成由淺入深 ,層層 遞進(jìn)的探究情境的創(chuàng)

5、設(shè)?！緦?shí)例2】拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子的實(shí)驗(yàn)。記事件 A= “藍(lán) 骰子的點(diǎn)數(shù)為 3或6”,事件 B=“ 兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和大于 8”, 當(dāng)藍(lán)骰子的點(diǎn)數(shù)為 3或 6時(shí),兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和大于 8的概率 是多少 ?學(xué)生將拋擲紅藍(lán)兩顆骰子的所有結(jié)果用數(shù)對(duì)一一枚舉 , 在教師引導(dǎo)下適當(dāng)排列 ,借助圖示的直觀性 ,探求基本事件空 間下事件 A、 B 發(fā)生的概率。 （剖析難點(diǎn)知識(shí)的元素 ）問(wèn)題1:在小組范圍討論事件 B在“事件A已發(fā)生”這個(gè) 附加條件下的概率與沒(méi)有這個(gè)附加條件的概率之間的區(qū)別 和聯(lián)系。學(xué)生通過(guò)相互交流 ,得出“事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率等價(jià)于局限在事件 A發(fā)生的范圍內(nèi)考慮事件 A和

6、事件 B 同時(shí)發(fā)生的概率” 這一結(jié)論 ,從而將條件概率問(wèn)題與古 典概型的概率問(wèn)題相聯(lián)系 ,為用古典概型的概率公式推導(dǎo)條 件概率的計(jì)算公式設(shè)下伏筆。 在剖析條件概率內(nèi)涵的基礎(chǔ)上 , 師生共同歸納條件概率定義。以上過(guò)程 ,學(xué)生在研究實(shí)例 1 的基礎(chǔ)上 ,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)條件 概率所涉及的知識(shí)元素 P(A)、P(AQ B)、P(B|A)的意義親歷概 念發(fā)生過(guò)程。歸納定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件 A和B,在已知事件A發(fā)生的 條件下,事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)"P(B|A) “來(lái) 表示。【練習(xí)】判斷下列概率問(wèn)題是否為條件概率。(略)判斷事件的類型對(duì)選擇概率公式起著決定性作用,在引入定義后讓學(xué)生完

7、成一組判斷練習(xí),對(duì)鞏固概念的理解十分必要。問(wèn)題 2：條件概率和我們學(xué)過(guò)的古典概型有怎樣的區(qū)別與 聯(lián)系?請(qǐng)就實(shí)例 2 的研究過(guò)程給出條件概率計(jì)算方法(小組討論)教者提出進(jìn)一步的合作探究任務(wù),引導(dǎo)學(xué)生深入研究條件概率的結(jié)構(gòu)特征。學(xué)生在得出條件概率計(jì)算公式 P(B|A)= 的同時(shí) ,又總結(jié)出 ：“條件概率相當(dāng)于隨機(jī)試驗(yàn)及隨機(jī)試驗(yàn) 的基本事件空間發(fā)生了變化，事件A發(fā)生的條件下事件 B發(fā)生 的概率可以看成在事件 A發(fā)生情形下的基本事件構(gòu)成基本事 件空間時(shí)，事件B發(fā)生的概率”，從而得到求條件概率的另一 種方法縮減基本事件空間法。學(xué)生通過(guò)對(duì)條件概率的結(jié)構(gòu)特征的深入探索,進(jìn)一步完善了對(duì)概念的理解 ,使新知識(shí)水

8、到渠成地納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。案例 2類比遷移 ,分散難點(diǎn) ,巧妙揭示形式化表述下的知識(shí)內(nèi)涵 (人教 B 版課標(biāo)教材選修 2-1 “曲線與方程的概念” 教 學(xué)設(shè)計(jì)摘錄 )新課導(dǎo)入問(wèn)題 1、圓是如何定義的 ?說(shuō)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 學(xué)生回顧相關(guān)知識(shí) ,教師分析圓的定義所反映 “形”與“數(shù)” 的兩個(gè)方面 ,在引導(dǎo)學(xué)生研究概念內(nèi)涵與外延的同時(shí),為導(dǎo)入曲線與方程的概念做好鋪墊。方程 x2+y2=1類比遷移 問(wèn)題 2、試將以上討論抽象到一般情形。 曲線:滿足某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡;方程 :f(x,y)=0。教者選擇學(xué)生最為熟悉的曲線圓作為特例,從數(shù)與形角度的分析 ,引發(fā)曲線與方程概念的思考。 合理利用學(xué)生已 有數(shù)

9、學(xué)知識(shí)及學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),準(zhǔn)確把握新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。分散難點(diǎn) ,由特殊到一般 ,逐步抽象概括定義問(wèn)題3、求直角坐標(biāo)系下一三象限的角平分線方程,下列方法是否正確 ?方法1:設(shè)一三象限的角平分線上的點(diǎn)為P(x,y),根據(jù)角平分線的性質(zhì)得： =1,因此一三象限角平分線的方程為： =1。方法2:設(shè)一三象限的角分線上的點(diǎn)為P(x,y),根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：|y|=|x|,因此一三象限角平分線的方程為：|y|=|x|。方法3:設(shè)一三象限的角分線上的點(diǎn)為P(x,y),根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：|y|=|x|?圳y=x,因此一三象限角平分線的方程為：y=x.淺顯的問(wèn)題中 ,蘊(yùn)含著深刻的思辨性,反映出設(shè)計(jì)的科學(xué)、合理。通過(guò)

10、對(duì)上述三種方法的研究,學(xué)生親歷了曲線與方程概念的發(fā)生過(guò)程 ,感悟了曲線的完備性與純粹性之本質(zhì)。接下來(lái) ,教者又通過(guò)下面的分析 ,采用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表述 ,規(guī)范學(xué)生的表 達(dá),讓學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)水平上升到新的層面。問(wèn)題分析 ：集合 A=P|P 為曲線上任一點(diǎn) ,集合B=(x,y)|f(x,y)=O,則方法1:A?埭B且B?奐A;方法2:A?奐B且B?埭A;方法3:A? 哿B且B?哿A.至此 ,學(xué)生已充分感悟曲線與方程概念的本質(zhì),師生共同歸納定義 :在直角直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C與方程F(x, y)=0的 之間具有如下的關(guān)系 :(1) 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x, y)=0的解；(2) 以方程F(

11、x, y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上。那么曲線C叫做方程F(x, y)=0的曲線，方程F(x, y)=0叫做 曲線C的方程。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步剖析定義 :(1)“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解”,說(shuō)明曲線上沒(méi)有不滿足方程的點(diǎn) ,也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)都符合方程 條件而無(wú)一例外。(2)“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”說(shuō)明滿足 方程的所有點(diǎn)都在曲線上而無(wú)一遺漏。以上兩則難點(diǎn)課的教學(xué)設(shè)計(jì)給我們的啟示是:教學(xué)難點(diǎn)具有兩重性 ,一方面 ,它可能成為學(xué)生學(xué)習(xí)上的分化點(diǎn) ;另一方 面,它又可以是學(xué)生智慧的開(kāi)竅點(diǎn)。因此 ,教師若能深入研究 教材 ,深入研究學(xué)生 ,巧思妙構(gòu) ,突破難點(diǎn) ,既可以幫助

12、學(xué)生克 服畏難情緒 ,愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué) ,又可以引導(dǎo)學(xué)生不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu) ,會(huì) 學(xué)數(shù)學(xué) ,從整體上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。有效突破教學(xué)難點(diǎn) ,可以考慮以下策略。1. 幫助學(xué)生尋找恰當(dāng)?shù)?、起支撐作用的新知識(shí)固著點(diǎn) 要突破難點(diǎn) ,首先需要恰當(dāng)確定學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中某個(gè)與 教學(xué)難點(diǎn)最接近的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)作為“固著點(diǎn)” 。由于數(shù)學(xué)內(nèi) 容是按一定的邏輯順序展開(kāi)的 ,因此 ,總可找到合適的“固著 點(diǎn)”作為學(xué)生學(xué)習(xí)的支撐 ,以有效地實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的同化或順 應(yīng)。2. 引導(dǎo)學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展 教師放手讓學(xué)生以合作學(xué)習(xí)的形式探索解決問(wèn)題的多 種方法 ,有助于學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 ,討論中啟迪思維 ,探索 中優(yōu)化思考問(wèn)題的方式 ,使教學(xué)難點(diǎn)在合作