1、一 判斷題1 曲線不是正則曲線。 ( ) 2 圓柱螺線的切線與z軸成固定角。( ) 3 空間曲線r = r (t), 當常數(shù)時,該空間曲線是圓。 ( ) 4 若兩個曲面間的變換是保角變換,則該變換也是等距變換。 ( ) 5 曲線(c)是曲線(c*)的漸縮線,則曲線(c*)是曲線(c)的漸伸線。 ( ) 6 可作為曲面的第一基本形式。( ) 7 若則方向是正交方向。( )8 羅德里格定理實際上是主方向判定定理。( )9 曲面的曲紋坐標網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的充分必要條件是。( )10 曲面的歐拉公式為。( )11 等距交換一定是保角變換。( )12 空間曲線的形狀由曲率與撓率唯一確定。( )13 曲面之間

2、的一個變換，如果伎曲面上對應曲線的交角相等則稱為變換。( )14 兩個曲面之間的一個變換是保角變換的充要條件是它們的第一成比例。( )15 如果曲面上有直線，則它一定是曲面的漸近曲線。( )二 填空題1 向量函數(shù)r (t)具有固定長的充要條件是對于t的每一個值，都與r (t)_。2 設r ( t )為可微分的向量函數(shù)，且（a為常向量，），則曲線r = r ( t )的圖形是_。3 螺線r = cost,sint,t上點（1，0，0）的切線方程是_。4 正螺線r = u cos v , u sin v , b v 坐標曲線的方程是_。5僅由曲面的第一基本形式出發(fā)所能建立的幾何性質，稱為曲面的_性

3、質。6 已知，=_,=_=_=_,=_。7 曲面在漸近曲線上一點處的切平面一定是_曲線。8 曲面的曲紋坐標網(wǎng)是漸近網(wǎng)的_條件是L=N=0。9 曲面的曲紋坐標網(wǎng)是共軛網(wǎng)的_條件M=0。10 主方向的判別定理（羅德里格定理），如果方向是主方向則：_。11 曲面上的曲紋坐標網(wǎng)是率線網(wǎng)的充分必要條件是_。12 曲面的第三基本形式為_。13 每一個可展曲面或是柱面、或是錐面、或是_曲面。14 一個曲面為可展曲面的充分必要條件是它的_恒等于零。15 設；則：=_。16 沿曲面上一條曲線平行移動時，保持_不變。17 如果曲面的平行移動與路徑無關，則_曲面。18 測地線是它的切線沿自身平行的曲線，即_曲線。1

4、9 當向量沿測地線平移時，它與測地線的_保持不變。20 正規(guī)曲線（c）：r = r ( t )稱為簡單的，如果向量函數(shù)r ( t )在_是_；_的。21若函數(shù)，則22設需求量q對價格的函數(shù)為，則需求彈性為 23 24設是三個事件，則發(fā)生，但至少有一個不發(fā)生的事件表示為 25設為兩個階矩陣，且可逆，則矩陣方程的解26.已知共線四點A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，則(CA，BD)=_.27.對合由_唯一決定.28.二階曲線就是_的全體.29.證明公理體系的和諧性常用_法.30.羅巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的兩直線叫做_直線.31._，稱為仿射不變性和仿射不變量.32.共線三點的簡比

5、是_不變量.33.平面內三對對應點(原象不共線，映射也不共線)決定唯一_.34.點坐標為(1，0，0)的方程是_.35. =0代表點_的方程.36函數(shù)的定義域是3738函數(shù)f (x) = -sin3x的原函數(shù)是39設均為階矩陣，則等式成立的充分必要條件是40齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為.三 選擇題單選題1 曲線，從到的弧長是。（ ） A 、1 B、 2 C、D、2 若空間曲線r ( t )與都平行于固定平面，則該曲線的撓率為。（ ） A。1 B。-1 C。2 D。03 拋物線y = x2在x = 0點的相對曲率是。（ ） A。1 B。2 C。-1 D。1/24 曲面上的點根據(jù)

6、杜邦指標線Lx2+2Mxy+Ny2=進類，當LN - M2<0時，稱點P為。 A。橢圓點 B。雙曲點 C。拋物點 D。平點 （ ）5 已知曲面上一點P的高斯曲率K=2，平均曲率H=3/2，該曲面在點P處的兩個主曲率為 A。 2、1 B。2、0 C。1、1/2 D。-1、1 （ ）多選題 7 空間曲線（C）滿足下列條件之一，均是平面曲線。（ ） A。 B、 C、k=0 D、 8 下列關系式中表示曲線相對曲率的有（ ） A。 B。x y x y C。 D。9 下列曲線為一般螺線的有（ ） A。曲線的主法線與固定方向成固定角 B。曲線的切線與固定方向成固定角 C。曲線的副法線與固定方向成固定角

7、 D。曲線的曲率與撓率之比為定值。 10線性方程組滿足結論（ ）A無解 B有無窮多解C只有解 D有唯一解11下列各函數(shù)對中，（）中的兩個函數(shù)是相等的A， B，C，D，12設函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = ( ) A-2 B-1 C1 D213. 函數(shù)在處的切線方程是（ ）A. B.C. D. 14下列函數(shù)在區(qū)間上單調減少的是（ ）A B2 x Cx 2 D3 - x15.若，則=（ ）. A. B. C. D. 16下列等式中正確的是（ ）A .B.C.D.17設23，25，22，35，20，24是一組數(shù)據(jù)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A. B. C. D. 18設隨機變量X的期望，方差D(X

8、)= 3，則=( ) A. 36 B. 30C. 6D. 919設為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. （其中為非零常數(shù)）20設，則（ ） A B C D21曲線y = sinx+1在點(0, 1)處的切線方程為（ ）A.y = x+1 B.y = 2x+1 C.y = x-1 D.y = 2x-122. 若，則f (x) =（ ）A-BCD -23設為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ ）A. B.C.D.24. 線性方程組 解的情況是（ ）A. 有無窮多解B. 只有0解C. 有唯一解D. 無解四 計算題1 求圓柱螺線在；點的三個基本向 Y和密切平面、主法線方程。2

9、 求曲線曲率與撓率。3 已知曲面的第一基本形式為 求坐標曲線的測地曲率。4 求球面上的第一、第二基本形式及法曲率。5 求曲面z = xy2的漸近曲線。6 計算懸鏈面的第一、第二基本形式。7 計算拋物面2x3=5x12+4x1x2+2x22 在原點的第一、第二基本形式。8 計算位于半徑為R的球面上半徑為a的圓的測地曲率。9 計算球面的第一基本形式10 求正螺面上的測地線。 1112設函數(shù)由方程確定，求1314求微分方程的通解15.求直線x-2y+3=0上無窮遠點的坐標。的不變點.17.求四點(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)順這次序的交比.18.試求二階曲線的方

10、程，它是由兩個射影線束x1-x3=0與x2-x3=0 (=)所決定的.19.求二次曲線2x2+xy-3y2+x-y=0的漸近線.20求微分方程的通解21設矩陣，求. 22求線性方程組 的一般解五 證明題1證明：如果空間曲線的所有切線都經過一個空點則此空間曲線是直線。2 在曲面上一點，含du ; dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2確定兩個切方向和()證明這兩個方向垂直的充要條件是：ER-2FQ+GD=03 問曲面上曲線的切向量沿曲線本身平行移動的充要條件是曲面上的曲線是測地線嗎？為什么？4 證明一條曲線的所有切線不可能同時都是另一條曲線的切線。5 證明一條曲線為一般螺線的充要條件是)

11、。6 證明：在曲面Z=f (x)+g (y)上曲線族 x=常數(shù)；y=常數(shù)構成共軛網(wǎng)。7 證明：命題1 K2=Kg2+Kn2。8 曲面的第一基本形式為I=E（u）du2+G(u)dv2求證：u-曲線是測地線。9設是矩陣，試證明是對稱矩陣10.過二次曲線的焦點F，引兩條共軛直線l,l，證明ll. 證明：11試證：若均與可交換，則也與可交換12試證：若均與可交換，則也與可交換六 綜合題1 如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面交成空角,則它是平面曲線。2 給出曲面上一條曲率線,設是一條平面曲線。3 證明曲面上曲紋坐標網(wǎng)是曲線網(wǎng)的充分必要條件是F=M=0。4 求證平面族a2x+2ay+2=2a的包絡5

12、證明的曲面是柱面。6求半徑為R的球面上測地三角形三內角之和。7 證明曲率恒等于零的曲線是直線。8 證明撓率恒等于零的曲線是平面曲線。經濟數(shù)學練習題答案一 判斷題1×2 3 4 ×5 6 ×7 8 9 10 ×1112 13 ×14 ×15 二 填空題1.垂直 2.直線 3. 4. 5. 內在 6.7 。漸近 8 。充分必要 9。充分必要 10。 11。F=M=0 12。 III=ds*2=dn2=edu2+2fdudv+gdv2 13。 一條曲線的切線 14。 高斯曲率 15。 16 。向量的內積 17。紋曲面一定是可展 18。 測地

13、線是自平行 19。夾角 20。 一個周期內21.22.23.24.2526. -1 27. 兩對不同的對應元素28. 兩個射影線束對應直線交點 29. 模型 30. 分散31. 經過一切透視仿射不改變的性質和數(shù)量 32. 仿射 33. 仿射變換34. u1=0 35. (1，1，0)、(1，-1，0) 36. -5，2）37.038.cos3x + c (c是任意常數(shù))39.可交換40(其中是自由未知量)三 選擇題1。A 2。D 3。A 4。B 5。A 7。ABD 8。ACD 9 。BCD10. D 11D 12. C13. A 14. D 15.B16. C17. A 18. C 19. B

14、 20C 21. A22.B 23.C24.D四 計算題1解：三個基本向量密切平面：所求密切平面方程為= 0，即 主法線方程為：法平面方程為。即 ,即Y=Z=02.解：于是， 所以曲率為， 撓率為，3已知曲面的第一基本形式為求坐標曲線的測地曲率。解 E=G=v，F(xiàn)=0，Gu=0 , Ev=1u-線的測地曲率 u-線的測地曲率：4解：， 由此得第一類基本量因而 。 又 ，故因而法曲率。5 解： ，, 故漸進曲線方程為。6 見教材77頁。7 見教材86頁。8見教材158頁。9 解：由可得出 由此得到曲線面的第一類基本量 因而10見教材150頁。11解 （6分）12解 （3分）故 （6分）13 解：

15、=-（ 4分） = （ 6分）14解 ， 用公式 （2分） （6分）15.解：化為齊次式x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入得 x1-2x2=0， x1=2x2 或 x2= 無窮遠點坐標為(2，1，0)16.解：由 得 解此方程，得不變點為17.解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)為基底，則(2，1，-1)+1(1,-1,1)相當于(1，0，0)得 1=1又 (2，1，-1)+2(1,-1,1)相當于(1，5，-5)得 2=-所求交比為 18.解：= (1)將x1-x3=0, x2-x3=0中的，代入(1)得 得 x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0，化簡，即得所求的二階曲線方

16、程19.解： 系數(shù)行列式 A31=, A32=, A33=-,因此中心坐標 =-,=- .由 2X2+XY-3Y2=0，即 (2X+3Y)(X-Y)=0.得 2X+3Y=0 X-Y=0. (1)將 X=x+ Y=y+ 代入(1)得 2x+3y+1=0 x-y=0即為所求的漸近線方程20解 將原方程分離變量 兩端積分得通解 21解 因為= = 所以=22解 因為 一般解為：， 其中，是自由未知量 五 證明題1證明：如果空間曲線的所有切線都經過一個定點，則此空間曲線是直線 證明：設空間曲線方程為 切線方程為 t0為任意值。 若空間曲線的所有切線都經過一個定點，則對任意的t0，切線方程有公共解，易見

17、該曲線的曲率恒為0，即，因而，由此（常向量），積分得r = at +b, b也為常向量，這是直線參數(shù)方程。2 在曲面上一點，含du , dv的二次方程： 確定兩個切方向和，證明這兩個方向互相垂直的充要條件是： 證明：設曲面方程為則 是曲面S的第一類基本量。若與互相垂直。 則易見若 則3答：曲面上曲線的切向量沿曲線本身平行移動的充要條件是曲面上的曲線是測地 線。事實上，設，則的切向量為 記 則曲線的切向量沿平行移動為測地線4 見教材38頁5 見教材41頁6 見教材93頁7 證明：8 證明：u-曲線的方程為由得到所以 代入劉維爾公式得 因此得到u-曲線是測地線。9、解證 因為，所以是對稱矩陣。 10、.證明：已知F為焦點，l，l為由F所引的二共軛直線，按其點定義，兩迷向直線FI，F(xiàn)J是二次曲線的切線.從而 (FI，F(xiàn)J，l，l)=-1，所以 ll11. 證 因為，且（