1、龍文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義課 題圓（一） 圓的基本性質(zhì)、圓中的相關(guān)計(jì)算、幾何作圖教學(xué)目標(biāo)1. 理解圓的有關(guān)概念和圓的對稱性，會判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，過不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓及這個(gè)圓的畫法；理解圓心角，弧、弦、弦心距及圓周角之間的關(guān)系，掌握垂徑定理以及它們的逆定理和推論，并能利用它們進(jìn)行證明和計(jì)算；2. 掌握圓的周長、弧長的公式，并會應(yīng)用；掌握并靈活應(yīng)用圓、扇形及簡單圖形面積的計(jì)算；了解圓錐的側(cè)面展開圖，能進(jìn)行圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算。3. 熟悉幾何作圖題的解法，題型。重點(diǎn)、難點(diǎn)1. 在做題時(shí)能把直徑和90°角聯(lián)系起來，這是圓中角的一個(gè)重點(diǎn)，垂徑定理的證明也是個(gè)重點(diǎn)。而垂徑定理

2、的逆運(yùn)用是個(gè)難點(diǎn)。2. 圓中一些計(jì)算公式是個(gè)重點(diǎn)，如：周長、面積、側(cè)面積、底面積等。而求圓中一些不規(guī)則圖形面積是個(gè)難點(diǎn)，要注意轉(zhuǎn)化。3. 作圖題運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去觀察、分析、抽象、概括所給的實(shí)際問題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問題是個(gè)難點(diǎn)?？键c(diǎn)及考試要求教學(xué)內(nèi)容一、圓的基本性質(zhì)【復(fù)習(xí)目標(biāo)】1、理解圓的有關(guān)概念和圓的對稱性，會判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，過不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓及這個(gè)圓的畫法；2、理解圓心角，弧、弦、弦心距及圓周角之間的關(guān)系，掌握垂徑定理以及它們的逆定理和推論，并能利用它們進(jìn)行證明和計(jì)算；【知識要點(diǎn)】1.與圓有關(guān)的概念 正確理解弦、劣弧、優(yōu)弧、圓心角等與圓有關(guān)的概念,

3、并能正確分析它們的區(qū)別與聯(lián)系.2.與圓有關(guān)的角 掌握圓周角和圓心角的區(qū)別與聯(lián)系,將圓中的直徑與90°的圓周角聯(lián)系在一起,一般地,若題目無直徑,往往需要作出直徑.3.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理 定理和結(jié)論是在圓的旋轉(zhuǎn)不變性上推出來的,需注意“在同圓或等圓中”中這個(gè)關(guān)系.4.與圓有關(guān)的位置關(guān)系 了解點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,并能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)量關(guān)系來判斷位置關(guān)系是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.【典型例題解析】 例1 選擇題 ：（1）O的半徑為10cm，圓心O到直線l 的距離OM=8cm,在直線l上有點(diǎn)P，且PM=6cm,如圖所示，則點(diǎn)P （ ）A、在O 內(nèi) B、在O 上 C、在O 外I D、可能在O內(nèi)，也可

4、能在O外。（2）已知O的半徑是10，點(diǎn)P到圓心的距離是8，經(jīng)過點(diǎn)P且長 為整數(shù)的弦共有（ ）A、16條 B、14條 C、12條 D、19條分析：第1小題是判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系關(guān)鍵是準(zhǔn)確地比較點(diǎn)到圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系。第2小題是利用垂徑定理求弦長，需要構(gòu)造直角三角形利用勾股定理。 例2 如圖,AB是半圓O的直徑,AC=AD,OC=2,CAB=30°,則點(diǎn)O到CD的距離OE=_. 解析:本題主要考查圓的有關(guān)知識和等腰三角形的性質(zhì)和判定.由題意可知COD=60°,ADC=75°,所以O(shè)CE=45°,所以O(shè)CE為等腰直角三角形,所以O(shè)E=.例3 如圖，

5、已知ABC內(nèi)接于O，D是O上一點(diǎn)，連接BD，AC，AC，BD交于點(diǎn)E。(1)請找出圖中的相似三角形，并加以證明；(2)若D=45°,BC=2,求O的面積。解析：利用圓周角定理進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換，構(gòu)造直角三角形是圓中非常常見的問題。例5 如圖，已知AB是O的一條弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，CD是O的直徑，過C點(diǎn)的直線l交AB所在直線于點(diǎn)E，交O于點(diǎn)F。(1)判定圖中CEB與FDC的數(shù)量關(guān)系，并寫出結(jié)論；（2）將直線l繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（與C，D不重合），在旋轉(zhuǎn)過程中，E點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)的位置也隨之變化，請你在下面兩個(gè)備用圖中分別畫出在不同的位置時(shí) ，使（1）的結(jié)論仍然成立的圖形，標(biāo)上相應(yīng)的字母，選其中的一個(gè)圖形給予

6、證明。 【例題練習(xí)】1、如圖1,已知圓心角BOC=100°,則圓周角BAC的度數(shù)為( ).A.100° B.130° C.50° D.80° (1) (2) (3) 2、過O內(nèi)一點(diǎn)M的最長弦長為10cm,最短弦長為8cm,那么OM的長為( ) A.3cm B.6cm C. cm D.9cm3、如果O的周長為10cm,那么它的半徑為( ) A.5cm B. cm C.10cm D.5cm4、如圖2,AB為O的直徑,CD為弦,CDAB于E,則下列結(jié)論中錯誤的是( ) A.COE=DOE B.CE=DE C.AE=DE D. 5、下列圖中:線段;正方

7、形圓;等腰梯形;平行四邊形是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形有( ). A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)6、如圖3,在O中,AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦,ODAB,OEAC,垂足分別為D、E,若AC=2cm,則O的半徑為_cm.7、D是半徑為5cm的O內(nèi)的一點(diǎn),且OD=3cm,過點(diǎn)D的所有弦中最短弦AB=_cm.8、如圖4,AB是O的直徑,C、D、E都是O上的點(diǎn),則1+2=_. (4) (5) (6) (7)9、如圖5,AB為O的直徑,弦AC=4cm,BC=3cm,CDAB,垂足為D,那么CD的長為_cm.10、如圖6,有一圓弧形門拱的拱高AB為1m,跨度CD為4m,則這個(gè)門拱的半徑

8、為_m.11、如圖7,在O中,AB=AC,CBD=30°,BCD=20°, 則ABC=_.【鞏固練習(xí)】1、下列敘述中最正確的是( ) A、半圓是最大的弧 B、弧是圓上兩點(diǎn)間的曲線 C、在同圓中直徑是最大的弦 D、弧一定大于弦2、如圖，O的直徑為10，弦AB=8，P是弦AB上一動點(diǎn)，則OP長的取值范圍 為 ；3、如圖,AB、CD是O的直徑,DF、BE是弦,且DF=BE.求證:D=B.4、如圖,C經(jīng)過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A到點(diǎn)B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),M是圓上一點(diǎn),BMO=120°,求:C的半徑和圓心C的坐標(biāo).5、已知:如圖,BE是ABC的外接圓O的直徑,CD

9、是ABC的高. (1)求證:AC·BC=BE·CD; (2)已知CD=6,AD=3,BD=8,求O的直徑BE的長. 二、圓的有關(guān)計(jì)算【復(fù)習(xí)目標(biāo)】1、掌握圓的周長、弧長的公式，并會應(yīng)用；2、掌握并靈活應(yīng)用圓、扇形及簡單圖形面積的計(jì)算；3、了解圓錐的側(cè)面展開圖，能進(jìn)行圓錐的側(cè)面頰和全面積的計(jì)算。【知識要點(diǎn)】1、圓的周長公式：C=2R； 圓的面積公式：S=R22、圓的半徑為R，n°的圓心角所對的弧長公式為，半徑為R， n°的圓心角所對的扇形面積公式為3、大于半圓的弓形的面積為 小于半圓的弓形的面積為4、圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，若設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的

10、半徑為r,那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積為5、求陰影部分的面積的幾種常用方法：（）直接利用面積公式；（）割補(bǔ)法：把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和或差；（）拼湊法：把分散的圖形集中拼成大塊來求；（）等積變形法：利用同（等）底或同（等）高的面積比轉(zhuǎn)化為高或底的比。【典型例題解析】例1 如圖,一塊邊長為8cm的正方形木板ABCD,在水平桌面上繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至ABCD的位置,則頂點(diǎn)C從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為( ) A.16cm B.16cm C.8cm D.4cm 解析:在旋轉(zhuǎn)過程中,AC的長度不變,所以頂點(diǎn)C從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長,是以A為圓心,AC長為半徑的90°的弧長,

11、AC=8,L=4.例2 如圖,A、B、C、D相互外離,它們的半徑都是1,順次連結(jié)四個(gè)圓心得到四邊形ABCD,則圖形中四個(gè)扇形(陰影部分)的面積之和是( ) A.2 B. C. D. 解析:根據(jù)題設(shè)條件,無法求出四個(gè)扇形的圓心角,因而從整體上考慮,可以發(fā)現(xiàn)四個(gè)扇形的圓心角分別是四邊形的四個(gè)內(nèi)角,從而可求出陰影部分的面積.例3 用一個(gè)半徑長為6cm的半圓圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面,則此圓錐的底面半徑為( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm解析:圓錐的底面周長即開展圖是扇形的弧長.設(shè)圓錐底面半徑為R,則2R=×2×6,R=3,故選B. 點(diǎn)評:正確理解圓錐與側(cè)面展開圖各種量

12、之間的關(guān)系是解決此類題目的關(guān)鍵.【例題練習(xí)】1. 如圖，糧倉頂部是圓錐形，這個(gè)圓錐的底面圓的周長為36m，母線長為8m為防雨需在糧食頂部鋪上油氈，需要鋪油氈的面積是_好.如圖是小芳學(xué)習(xí)時(shí)使用的圓錐形臺燈燈罩的示意圖，則圍成這個(gè)燈罩的鐵皮的面積為_cm2 (不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果用表示).小芳在為班級辦黑板報(bào)時(shí)遇到了一個(gè)難題，在版面設(shè)計(jì)過程中需將一個(gè)半圓面三等分，請你幫助她設(shè)計(jì)一個(gè)合理的等分方案要求用尺規(guī)作出圖形，保留作圖痕跡，并簡要寫出作法.已知扇形的圓心角為120°，弧長為10，則這個(gè)扇形的半徑為_cm.如果圓錐的高為8cm，母線長為10cm，則它的側(cè)面展開圖的面積為_.有一弓

13、形鋼板ACB，ACB的度數(shù)為120o，弧長為，現(xiàn)要用它剪出一個(gè)最大的圓形板料，則這一圓形板料的周長為_ .已知RtABC的斜邊AB=5，一條直角邊AC=3，以直線BC為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（ ）A8 B12 C15 D20.圓錐的母線長為5cm，高線長為4cm，則圓錐的底面積是（ ）A3cm2 B9cm2 C16cm2 D25cm2【鞏固練習(xí)】基礎(chǔ)訓(xùn)練：一、選擇題：1. 如圖1,A、B、C兩兩不相交,且半徑都是0.5cm,圖中的三個(gè)扇形(即三個(gè)陰影部分)的面積之和是( )A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 筆 (1) (2) (3)2. 半徑的3cm

14、、圓心角為120°的扇形的面積為( ) A.6cm2 B.5cm2 C.4cm2 D.3cm2 3. 如圖2,在同心圓中,兩圓半徑分別為2、1,AOB=120°,則陰影部分的面積為( ) A.4 B.2 C. D. 4. 已知圓錐的側(cè)面展開圖的面積是15cm2,母線長是5cm,則圓錐的底面半徑為( ) A. cm B.3cm C.4cm D.6cm5. 如圖3,扇形AOB中,AOB=60°,AD=3cm,CD=3cm,則圖中陰影部分的面積為( ) A. cm2 B. cm2 C. cm2 D.21cm26. 一個(gè)圓錐的底面半徑為,母線長為6,則此圓錐側(cè)面展開圖的圓

15、心角是( ) A.180° B.150° C.120° D.90°7. 已知圓錐形模具的母線長和底面圓的面積均是10cm,求得這個(gè)模具的側(cè)面積是( ) A.50cm2 B.75cm2 C.100cm2 D.150cm2二、填空題:1. 一個(gè)扇形如圖4,半徑為10cm,圓心角為270°,用它做成一個(gè)圓錐的側(cè)面,那么圓錐 的高為_cm.2. 半徑為R,圓心角為36°的扇形面積是_.3. 已知圓錐的底面直徑為4,母線長為6,則它的側(cè)面積為_.4. 一個(gè)扇形的弧長為20cm,面積為240cm2,則該扇形的圓心角為_度.5. 如果把人的頭頂和腳

16、底分別看作一個(gè)點(diǎn),把地球赤道看做一個(gè)圓,那么身高2m的湯姆沿著地球赤道環(huán)行一周,他的頭頂比腳底多行_m.三、解答題:1、李明同學(xué)和馬強(qiáng)同學(xué)合作,將半徑為1m、圓心角為90°的扇形薄鐵板圍成一個(gè)圓錐筒,在計(jì)算圓錐的容積(按縫忽略不計(jì))時(shí),李明認(rèn)為圓錐的高就等于扇形的圓心O到弦AB的距離OC(如圖),馬強(qiáng)說這樣計(jì)算不正確.你同意誰的說法?把正確的計(jì)算過程寫在下面.2、如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上,連結(jié)AC、BC,AB=10,tanBAC=,求陰影部分的面積.3、如圖1-18-28,等腰直角ABC的斜邊AB=4,O是AB的中點(diǎn),以O(shè)為圓心的半圓分別與兩腰相切于點(diǎn)D、E,求圖中陰影部分的

17、面積.(結(jié)果用表示)4、在半徑為50cm的圓形鐵皮上剪去一塊扇形鐵皮,用剩余部分制做成一個(gè)底面直徑為80cm,母線長為50cm的圓錐形煙囪帽(如圖),則剪去的扇形的圓心角的度數(shù)為( ) A.288° B.144° C.72° D.36°三、幾何作圖操作性試題是指具有較強(qiáng)實(shí)踐性與思辨性，能夠有效考查學(xué)生的實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識和直覺思維能力、發(fā)散思維能力等綜合素質(zhì)的一類問題，通稱為實(shí)踐操作性試題。解決實(shí)踐操作性試題一般需要經(jīng)歷觀察，操作，思考，想像，推理，交流，反思等實(shí)踐活動過程，利用自己已有的生活經(jīng)驗(yàn)、感知與發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而解決問題。這類問題能夠更好地促進(jìn)學(xué)生

18、對數(shù)學(xué)的理解，幫助他們提高用數(shù)學(xué)的語言、符號進(jìn)行表達(dá)交流的能力。在解決這類問題的過程中，學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情趣與價(jià)值，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的過程，不斷提高自己的創(chuàng)新意識與綜合能力，是全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)的基本要求之一。近年來，實(shí)踐操作性試題受到各命題單位的重視。解答操作性試題，關(guān)鍵是要學(xué)會自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去觀察、分析、抽象、概括所給的實(shí)際問題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問題。適合學(xué)生現(xiàn)有知識水平和實(shí)踐能力。近幾年中考中的操作性試題大致可分為畫圖、圖形的拼合、圖形的分割、方案設(shè)計(jì)、猜想探索等幾種類型。1、畫圖型操作題例1.請以給定的圖形“ ”（兩個(gè)圓、

19、兩個(gè)三角形、兩條平行線）構(gòu)建盡可能多的構(gòu)思獨(dú)特且有意義的圖形，并寫一兩句詼諧的解說詞。分析：本題的答案千變?nèi)f化，如：朋友兩盞電燈等式兩把鐵鍬機(jī)器人北京好運(yùn)本題開放性、動手操作性強(qiáng)，答案多種多樣。其構(gòu)思之巧妙，想象之豐富、語言之詼諧使人耳目一新。 例2.用四塊如下圖所示的瓷磚拼成的一個(gè)正方形，使拼成的圖案成軸對稱，請你在圖、圖、圖中各畫出一種拼法（要求三種拼法各不相同，所畫圖案中的陰影部分用斜線表示）分析：本題的拼法很多，只要符合要求即可。下面給出三種拼法。評注：本題主要考查軸對稱知識，要求明確，結(jié)論開放，使學(xué)生手腦結(jié)合，考查了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。例3.如圖，在四個(gè)正方形拼接成的圖形中，以

20、這十個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，共能組成個(gè)等腰直角三角形。你愿意把得到上述結(jié)論的探究方法與他人交流嗎？若愿意，請?jiān)谙路胶喴獙懗瞿愕奶骄窟^程。 A9 A8 A9A8 A10A7A6A10 A7 A6 A1 A1 A2A3A4A5A2A3A4 A5解：設(shè)小正方形的邊長為1，則可將等腰直角三角形的腰長分為四類，即1，2，求解。當(dāng)腰長為1時(shí)的直角三角形有：18個(gè)，每一個(gè)小正方形有4個(gè)，四個(gè)正方形有16個(gè)，加上A1A10A9、A6A7A8。當(dāng)腰長為2時(shí)的直角三角形2個(gè)：A2A4A8、A9A3A5。當(dāng)腰長為時(shí)的直角三角形10個(gè)：A1A3A7、A2A10A4、A3A7A5、A10A4A6、A1A9A7、A1A3A9、A10

21、A8A6、A8A6A4、A10A8A4、A9A7A3。當(dāng)腰長為時(shí)的直角三角形2個(gè)：A9A2A6、A8A1A5綜上所述共能組成32個(gè)等腰直角三角形。2、圖形的拼合圖形的拼合問題，目的是通過對圖形拼合的操作，考查學(xué)生的動手實(shí)踐能力、畫圖能力以及計(jì)算能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性。解這類問題的要領(lǐng)是：針對給出的實(shí)際問題，結(jié)合數(shù)學(xué)中的分類討論思想，畫出所符合的圖形。例4.下圖1是兩個(gè)由同樣大的小方格組成的圖形，我們可以用不同的方法把這兩塊圖形拼成一個(gè)軸對稱圖形，例如圖2就是這樣的軸對稱圖形，沿某條直線折疊后，直線兩邊的圖形能夠完全重合。請問：符合要求的拼法一共有種。圖1 圖2 圖3分析：由軸對稱的性質(zhì)和分

22、類討論思想可以得到以上3種拼法(如上圖3).例5.如圖，已知：ABC中，ABAC，ADBC，垂足為在D，且ADBC4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個(gè)三角形，在平面上把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎？畫出所拼四邊形的示意圖（標(biāo)出圖中的直角），并分別寫出所拼四邊形的對角線的長.(不要求寫計(jì)算過程，只須寫出結(jié)果) AB D C剪開 A AB D D C分析：本題通過圖形的拼接，考查了學(xué)生的動手能力，經(jīng)過拼圖可以組成以下四種不同形狀的四邊形(如圖5).是矩形。此時(shí)對角線的長相等，均為 是平行四邊形，此時(shí)兩條對角線的長分別為4和， 是平行四邊形，此時(shí)兩條對角線的長分別為2和

23、 是四邊形，此時(shí)兩條對角線的長分別為和。 3、圖形的分割例6.正方形通過剪切可以拼成三角形，方法如下：仿上用圖示的方法，解答下列問題：操作設(shè)計(jì)：如圖，對直角三角形，設(shè)計(jì)一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)與原三角形等面積的矩形。如圖，對任意三角形，設(shè)計(jì)一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)與原三角形等面積的矩形。圖1 圖2分析：由于學(xué)生生活背景和思考的角度不同，因而思維方式是多種多樣的，解決問題的策略也是多種多樣的，學(xué)生將前文正方形的拼圖仔細(xì)讀懂有關(guān)信息后，就能有效地考查出學(xué)生獲取、應(yīng)用知識的能力。圖1的解答如下， 圖2的解答如下：作為練習(xí)，請將一個(gè)三角形（銳角三角形）剪成三塊，然后拼接成一個(gè)長

24、方形。例7.現(xiàn)有一塊形如圖正方形的板材，木工師傅想先把它分割成幾塊，然后拼接，制成特殊形狀的板面（要求板材不能剩余，拼接時(shí)不重疊、無空隙），請你按下列要求，幫助木工師傅分別設(shè)計(jì)一種方案：板面形狀為非正方形的中心對稱圖形；板面形狀為等腰梯形；板面形狀為正方形.請?jiān)诜礁窦堉械膱D形上畫出分割線，在相應(yīng)的下邊的方格紙上畫拼接后圖形 。(答案符合題意都是可以的)四、方案設(shè)計(jì)型操作題例8.在一服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料，如圖.現(xiàn)找出其中的一種，測得C900，ACBC4。今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的弧與三角形ABC的其它邊相切，請?jiān)O(shè)計(jì)出所有可能符合題意的方案

25、示意圖，并求出扇形的半徑（只要求畫出圖形，并直接寫出扇形的半徑）。分析：本題不同于一般的計(jì)算題，它融閱讀理解、方案設(shè)計(jì)和計(jì)算于一身，具有開放性。解決問題的方案有多種，有的方案設(shè)計(jì)需要涉及可行性討論、嘗試反思和優(yōu)化選擇等策略。 4AC B審題時(shí)要緊緊抓住扇形的弧與三角形ABC的其它邊相切，考慮與斜邊、直角邊和兩條直角邊、一條直角邊及斜邊相切。 五、猜想探究型操作題例9.已知：AB為O的直徑，P為AB延長線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作O的切線，設(shè)切點(diǎn)為C。當(dāng)點(diǎn)P在AB延長線上的位置如圖所示時(shí)，連結(jié)AC，作APC的平分線，交AC于點(diǎn)D。請你測量出CDP的度數(shù).當(dāng)點(diǎn)P在AB延長線上的位置如圖和所示時(shí)，連結(jié)A

26、C，請你分別在這兩個(gè)圖形中用尺規(guī)作APC的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）.設(shè)此角平分線交AC于點(diǎn)D，然后在這兩個(gè)圖中分別測量出CDP的度數(shù)。猜想CDP的度數(shù)是否隨點(diǎn)P在AB延長線上位置的變化而變化？請對你的猜想加以證明。 分析：這是一道數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)題，蘊(yùn)含著由特殊到一般的思想。充分考查了學(xué)生的尺規(guī)作圖能力和猜想探索能力，測量得三個(gè)圖中的CDP的度數(shù)都為450，于是可猜想：CDP的度數(shù)不隨點(diǎn)P在AB延長線上的位置的變化而變化.證明略。例10.(1)操作與證明：如圖1，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長、圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。求證：正方形ABC

27、D的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a。(2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或邊長為的正五邊形的中心O 點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。當(dāng)扇形紙板的圓心角為-時(shí)，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a，當(dāng)扇形紙板的圓心角為-時(shí)，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a。(3)探究與引伸。一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí)，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a，這時(shí)正邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值？若為定值，寫出它與正n邊形面積s之間的關(guān)系(不需證明)；若不

28、是定值，請說明理由。 圖1 圖2 圖3解：不妨設(shè)扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD分別交于點(diǎn)M、N，連結(jié)OA、OD。四邊形ABCD是正方形，OA=OD，AOD=900，MAO=ADO，MON=900，AOM=DON， AMODNO，AM=ND， AM+AN=ND+AN=AD=a。特別地，當(dāng)M點(diǎn)與A重合時(shí)，N點(diǎn)必與D點(diǎn)重合，此時(shí)AM+AN仍為定值a。故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a.當(dāng)正三角形的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長度為定值時(shí)，設(shè)半徑與正三角形的邊的交點(diǎn)分別為M、N，連結(jié)OA、OB，則OA=OB，OAN=OBM，AM+MB=AM+AN=a，MB=AN，ANOBMO，AON=BOM，AON+AOM=BOM+AOM，MON=AOB，AOB=1200，MON=1200。同理可以求得，當(dāng)圓心角為720時(shí)，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a.由的方法，不難求得，當(dāng)扇形紙板的圓心角為時(shí)，正n邊形的邊被覆蓋部分的總長度