1、“球的體積”教學(xué)編者按：馬明先生的這篇用“祖暅原理”來推導(dǎo)“球的體積公式” 的教案，風(fēng)行全國久矣。然現(xiàn)行高中立幾教材對(duì)“球的體積公式” 已不用“祖暅原理”來推導(dǎo)，而采用 “分割，求近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和”的方法。本書之所以再次轉(zhuǎn)載，是因?yàn)檫@篇教案魅力不減，仍極具教學(xué)參考和鑒賞階值。一、教案描述：通過“球的體積”的教學(xué)，不僅要求學(xué)生熟記球的體積公式，更要培養(yǎng)學(xué)生觀察、估算、猜想、構(gòu)造和論證能力，并注意完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu). 假設(shè)只要求學(xué)生記住有關(guān)公式，剩下的就是反復(fù)練習(xí)解幾個(gè)一元方程：已知半徑求體積；已知體積求半徑，這是降低教學(xué)要求，把高中課降為初中課的做法師:板書已知球的半徑為R，求V球=？出示小黑板

2、圖23思維從問題開始 師:為了計(jì)算半徑為R球的體積，可以先計(jì)算半球的體積V半球 .觀察圖23，你一定能在V圓柱、V半球、V圓錐這三個(gè)量之間正確地寫上不等符號(hào)學(xué)生完成得V圓柱V半球V圓錐.提供類比,讓學(xué)生目測(cè)大小,溫故而知新,用以強(qiáng)化認(rèn)識(shí)過程師:由于 是已知的，便得雙重不等式板書:V圓柱 = V圓錐= 向“量化”過渡你能猜測(cè)V半球=?引誘學(xué)生猜想.猜想是發(fā)現(xiàn)的開始生:誘導(dǎo)一下師:(R3的系數(shù)“1”改寫為“”,得師:可以大膽一些,準(zhǔn)許猜錯(cuò).生: V半球 = 對(duì)嗎?此答案不一定出自成績(jī)最好的學(xué)生,而是膽大者,思維活躍者師:有一定理由,因?yàn)?/32/31/3嘛!然而,這太冒險(xiǎn)了.既鼓勵(lì),又提出更高要求

3、,使學(xué)生仍處于激奮境地用行動(dòng)支持敢于大膽猜想的學(xué)生師:我們不妨做一個(gè)試驗(yàn),用以驗(yàn)證這個(gè)猜想.理、化有實(shí)驗(yàn),數(shù)學(xué)也可以有實(shí)驗(yàn),美國盛行“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)法”,這對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力都十分有利取一個(gè)半徑為R的半球面,再取半徑和高都是R的圓桶和圓錐各一個(gè),都是鐵皮制成的容器.將圓錐放入圓桶內(nèi)(圖24),再將半球容器裝滿細(xì)沙,然后把半球內(nèi)的細(xì)沙倒入圓桶內(nèi),發(fā)現(xiàn)圓桶恰好被裝滿師:你能將實(shí)驗(yàn)結(jié)果用一個(gè)等式表達(dá)出來嗎?鼓勵(lì)學(xué)生將實(shí)驗(yàn)結(jié)果“量化”(構(gòu)造一個(gè)等式)是十分重要的數(shù)學(xué)方法生1:板書 V圓柱V圓錐=V半球生2:板書 V半球=V圓柱 V圓錐=師:于是得(板書) V球= 且V圓柱: V半球: V圓

4、錐=3:2:1師:中學(xué)數(shù)學(xué)是建立在推理的基礎(chǔ)上的,實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否可靠?還要進(jìn)行論證才行.中學(xué)理、化是建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的用數(shù)學(xué)工具去證明實(shí)驗(yàn)結(jié)果,學(xué)生興趣盎然師:我們現(xiàn)在的任務(wù)是證明這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果,或者說,是要證明圖23右邊充滿細(xì)沙的幾何體與左邊充滿細(xì)沙的半球是等積形.而右邊幾何體的體積是已知的.板書該幾何體的體積=.如果再能證明它又符合祖暅原理中的“條件”.我們就可以將它做為半球的參照體; 為了運(yùn)用祖暅原理,所引入的幾何體必須符合兩個(gè)條件:它的計(jì)算公式是已知的它符合祖暅原理的條件;該幾何體與原幾何體要夾在兩個(gè)平行平面之間,且用平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面去截時(shí),截得的截面面積總相等.符合以上兩個(gè)

5、條件的幾何體可叫做原幾何體的參照體,在前面推導(dǎo)柱、錐的體積的多次教學(xué)中應(yīng)該引用這個(gè)術(shù)語，讓學(xué)生熟悉祖暅原理與該術(shù)語的關(guān)系該幾何體與半球同高(R),這說明它與半球可以夾在兩個(gè)平行平面之間,剩下的問題是要證明它與半球的等距截面的面積相等.用與底面平行的任一平面去截圖24的兩個(gè)幾何體,截面分別是圓面和圓環(huán)面(圖25).如果截面與平面的距離為l,那么圓面半徑,圓環(huán)面的大圓半徑為R,小圓半徑為l,因此S圓=r2=(R2 l2),S圓環(huán)=R2l2=(R2 l2),所以S圓=S環(huán)根據(jù)祖暅原理,這兩個(gè)幾何體的體積相等,即V半球= 所以V球 = 由此,“猜想”得到證明,可以寫成定理形式:從猜想到證明是“質(zhì)”的升

6、華!是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最重要的素質(zhì)定理:如果球的半徑是R,那么它的體積是V球 =師:你準(zhǔn)備怎樣記憶這個(gè)結(jié)論呢?不管是意義識(shí)記或是機(jī)械識(shí)記,在這里都是有效的,都是可行的.根據(jù)各個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣,不必強(qiáng)求一律生1:根據(jù)“細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”V半球=V圓柱 V圓錐= V球 =生2:我保要記住 V圓柱: V半球: V圓錐=3:2:1就行了.師:還有其它的記憶方法嗎?例如,把球體視為擬柱體,采用擬柱體的體積公工試試看.數(shù)學(xué)教師要不要培養(yǎng)學(xué)生的記憶能力?這是有爭(zhēng)議的.看來,數(shù)學(xué)教師有可能,也有必要去培養(yǎng)學(xué)生的記憶能力生:板演V擬柱體=對(duì)于球,所以V球= =隨時(shí)復(fù)習(xí)與應(yīng)用擬柱體公式師:這能作為球體積公式的證明嗎?生:球體不

7、是擬柱體,不能作為證明,但可以作為一種記憶方法.師:還有其它的記憶方法嗎?例如,將球體分割成許多小的錐體,球心是這些小錐體的頂點(diǎn),錐的底面不是平面,而是球面的一小部分(是曲面)請(qǐng)看圖26.是可貴的數(shù)學(xué)思想 于是V球=許多小錐體之和,而這許多小錐體的高可視為球半徑R，又因?yàn)樗行″F體的底面之和=球面積=4R2，所以V球=發(fā)展學(xué)生的空間想象能力同樣，這也不能作為球體積公式的證明.但是,使人感到興趣的是,擬柱體小錐體與球體的這種“默契”,這種內(nèi)部的一致,給人們和諧的感覺,它不僅可以幫助人們記憶,還給人以和諧美的感受!升華了師:現(xiàn)在再請(qǐng)大家自己解答一個(gè)問題板書不十分困難的例題由學(xué)生自己解答,然后再對(duì)照

8、課本并進(jìn)行議論,有時(shí)比教師直接講解要收效大些,不妨一試有一種空心鋼球,重142g,測(cè)得外徑等于5.0cm , 求它的內(nèi)徑(鋼比重是7.9g/cm3).師:這是課本的例題,解完后自行對(duì)照課本.同時(shí)由一位學(xué)生板演議論: (略)師:今天這堂課的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)球的參照體,而“細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”幫助我們解決了這個(gè)問題.你能離開實(shí)驗(yàn),經(jīng)過分析直接構(gòu)造這個(gè)參照體嗎?代替小結(jié),將課內(nèi)效果引向課外直接構(gòu)造參照體二、教案分析這份教案顯然是寫給別人看的,如果只是為了自己教學(xué),我想,只要記下教學(xué)過程就行了:1 提出問題V求=?2 目測(cè)圓柱、半球、圓錐這三者之間的大小關(guān)系3 得猜想：V半球4 細(xì)沙實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證“猜想”5 構(gòu)造參照體

9、，證明“猜想”6 得定理談?dòng)洃? 例題小結(jié)作業(yè)我為什么要采取上面這幾個(gè)環(huán)節(jié)？理由如下：目前的數(shù)學(xué)教材是從少數(shù)公理和原理出發(fā)，通過演繹，將知識(shí)展開.于是,過程14都可以省略.并且,“參照體”也是由教材直接給出的(不需要構(gòu)造).師生的任務(wù)只是用演繹法推得V半球.這就是“內(nèi)化”過程.由于教材總是把知識(shí)和方法用定論的形式直接呈現(xiàn)在學(xué)生面前,新、舊知識(shí)的銜接點(diǎn)直接給出,內(nèi)化任務(wù)很快就完成.因此,這種做法的優(yōu)點(diǎn)是直截了當(dāng),節(jié)約時(shí)間;缺點(diǎn)是學(xué)生缺乏一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)過程,把知識(shí)或方法不是作為“過程”而是作為“結(jié)果”直接拋給學(xué)生.長(zhǎng)此以往,越“拋”越多,學(xué)生頭腦中很難形成一個(gè)有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu),結(jié)果成績(jī)分化,出現(xiàn)大量

10、差生.反之,插入環(huán)節(jié)14,則環(huán)節(jié)5的“構(gòu)造參照體”(這是全課的關(guān)鍵)就十分自然.從“目測(cè)”到“實(shí)驗(yàn)”, 這是強(qiáng)化“發(fā)現(xiàn)”,而環(huán)節(jié)5則是內(nèi)化.這種先發(fā)現(xiàn)后內(nèi)化的過程又是在教師指導(dǎo)下進(jìn)行的,教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性十分融洽.“目測(cè)”、“大膽猜想”、“實(shí)驗(yàn)”等環(huán)節(jié)，所有差生都有發(fā)言權(quán),優(yōu)生也不乏味;從“實(shí)驗(yàn)”到“構(gòu)造參照體”, 隨流而下,直闖關(guān)鍵(出現(xiàn)參照體),終達(dá)此岸(得定理).最后“談?dòng)洃洝?生動(dòng)活潑,乃至升華; “小結(jié)提問”,余味不盡.數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是思維過程的教學(xué), “直截了當(dāng)”則掩蓋了“思維過程”,把知識(shí)和方法不是作為思維過程暴露在學(xué)生面前,而是作為結(jié)果拋給學(xué)生,這種“奉送”的做法

11、勢(shì)必回避了教學(xué)思想的培養(yǎng).長(zhǎng)此以往,學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)很難得到提高.最后,還要說明一點(diǎn), “構(gòu)造參照體”是本課的難點(diǎn),本教案采用了“細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”,也就回避了“構(gòu)造性困難”,因此本教案是為普通班設(shè)計(jì)的,而“好班”就不應(yīng)該回避構(gòu)造困難,何況“構(gòu)造參照體”是運(yùn)用祖暅原理的關(guān)鍵,也是學(xué)習(xí)這一段教材(從柱體開始)的關(guān)鍵所在.因此,建議根據(jù)學(xué)生情況補(bǔ)充下述內(nèi)容:參照體與祖暅原理為了利用祖暅原理計(jì)算某個(gè)幾何體的體積,常要構(gòu)造另一個(gè)幾何體,此幾何體必須符合兩個(gè)條件(1)它的計(jì)算公工是已知的;(2)它符合祖暅原理的條件,即該幾何體與原幾何體能夾在兩個(gè)平行平面之間,且用平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面去截它們時(shí),截得的截面面積總相等.為了下面的表達(dá)方便起見,把符合這兩個(gè)條件的幾何體叫做原幾何體的參照體,或簡(jiǎn)稱參照體.例1 旋轉(zhuǎn)體的母線是拋物線的一部分,其方程為y=x2(0yH),y軸為旋轉(zhuǎn)軸,求該旋轉(zhuǎn)體的體積解