1、選擇公理定義：設(shè)X是一個(gè)集合。記為X中的所有非空子集構(gòu)成的集族，即。如果一個(gè)映射：滿足條件：對(duì)于任意，有 ，則此映射稱為集合X的一個(gè)選擇函數(shù)。任何一個(gè)函數(shù)都有選擇函數(shù)就是選擇公理。1.設(shè)X和Y是兩個(gè)集合。證明：cardYcardX當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)從X到Y(jié)的滿射。證：設(shè)cardYcardX，即存在一個(gè)Y到X的一一映射f，定義g：，使其中為Y中一固定元，則g是從X到Y(jié)上的映射。反之，若存在從X到Y(jié)上的映射g，記則是X中非空族，并且中成員兩兩無交，由Zermelo假定存在集合，使得對(duì)于每一，是單點(diǎn)集，所以存在C到Y(jié)上的一一映射，即，又，故。2.設(shè)和是集合X的兩個(gè)拓?fù)洹ＷC明也是集合X的拓?fù)?。舉例說明可

2、以不是X的拓?fù)?。證：若，都是X的拓?fù)?，由于，所以；任?即，所以，任意，即，即，則，所以，因此是X的拓?fù)?。例：設(shè)， ，易見都是X的拓?fù)洌?，而?，因此不是X的拓?fù)洹?.設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，其中是任何一個(gè)不屬于X的元素。令，。證明是一個(gè)拓?fù)淇臻g。證：顯然；任意，若A，B中有一個(gè)為，顯然；若，則，故總有；任意，若，則；若，即，也有，故總有，所以為拓?fù)淇臻g。4.證明實(shí)數(shù)集R有一個(gè)拓?fù)湟约鍨樗囊粋€(gè)基，并說明這個(gè)拓?fù)涞奶攸c(diǎn)。證：記 。因?yàn)?。所以，由定理知，存在R的唯一拓?fù)湟詾樽踊Ｈ我?，因?yàn)?，所以，即R的每一單點(diǎn)集皆為開集，因此T是R的離散拓?fù)洹?.如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)開子集，則Y作為X的子空

3、間時(shí)特別稱為X的開子空間。證明：（1）如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)開子空間，則是Y中的一個(gè)開集當(dāng)且僅當(dāng)A是X的一個(gè)開集。證：設(shè)Y為X的開子空間，則為Y的開集；反之，若A為Y的開集，則存在X的開集B使，而Y為X的開集，所以A為X的開集。有限補(bǔ)空間。設(shè)是一個(gè)集合。首先我們重申：當(dāng)我們考慮的問題中的基礎(chǔ)集自明時(shí)，我們并不是每次提起。因此在后文中對(duì)于的每一個(gè)子集，它的補(bǔ)集我們寫為。令 = 先驗(yàn)證是的一個(gè)拓?fù)洌海?），因?yàn)?；另外，根據(jù)定義便有。（2）設(shè)，如果之中有一個(gè)是空集，則。假定都不是空集。這時(shí)是的一個(gè)有限子集，所以。（3）設(shè)。令。顯然有如果，則,設(shè)。任意選取。這時(shí) 是的一個(gè)有限子集，所以。根據(jù)上述是

4、的一個(gè)拓?fù)洌Q之為的有限補(bǔ)拓?fù)?。拓?fù)淇臻g稱為一個(gè)有限空間?？蓴?shù)補(bǔ)空間。設(shè)是一個(gè)集合。令 通過與例中完全類似的做法容易驗(yàn)證（請(qǐng)讀者自證）是的一個(gè)拓?fù)?，稱之為的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)洹Ｍ負(fù)淇臻g成為一個(gè)可數(shù)補(bǔ)空間。6,、證明：1、從拓?fù)淇臻g到平庸空間的任何映射都是連續(xù)映射。2、從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射。證：1、設(shè)為從拓?fù)淇臻gX到平庸空間Y的映射，因?yàn)?X，而Y為平庸空間，所以Y中任一開集的原像都是X的開集，即為連續(xù)映射。2、設(shè)為從離散空間X到任一拓?fù)淇臻gY的映射，對(duì)Y中每開集U，因?yàn)閄為離散空間，所以是X的開集，即是連續(xù)映射。7、設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，。證明一下兩個(gè)等價(jià)。（1）、f連續(xù)。（2

5、）、對(duì)于Y的任一子集B，B的內(nèi)部的原像包含于B的原像的內(nèi)部，即：。證明：對(duì)于任意，由定理知，有f連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)=。8、證明離散的拓?fù)淇臻g中的序列收斂的充分必要條件是存在NN，使得當(dāng)i,j>N時(shí)。證明：充分性顯然。必要性，設(shè)離散的拓?fù)淇臻gX中的序列收斂于x,因?yàn)閤的開領(lǐng)域，所以存在NN使得當(dāng)iN時(shí)，即當(dāng)i>N時(shí)，=，因此當(dāng)i,j>N時(shí)，=x.9、設(shè)和是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是它們的積空間。證明對(duì)于任何A，B有。證明：設(shè)，對(duì)于任意開領(lǐng)域，U*V，從而 (UA) 即 ，則。故，。反之，設(shè)，。對(duì)任意開領(lǐng)域W,存在，W=U*V,由于(UA) ，=W（）,所以，故。所以得證。10.證明：(

6、1) 且且對(duì)任何，且對(duì)任何。所以。(2) 且且存在，存在，使且存在，使 。所以11.N為自然數(shù)，令，。并令（1）證明T為N的拓?fù)?。?）寫出的所有開鄰域。證：（1）顯然，又，任意，因此T為N的拓?fù)?。?）的唯一的開鄰域?yàn)?。設(shè)和都是拓?fù)淇臻g。證明：1）積空間同胚于積空間；2）積空間同胚于積空間；3）如果空集并且空間同胚于積空間，則同胚于；證明：（1）定義使，顯然為在空間上的一一映射，又皆為連續(xù)映射，故連續(xù)，類似可證也連續(xù)，即是同胚，故同胚于積空間（2）由定理，知同胚于，下證明同胚于；記向的投影分別為，向的投影分別為，將向，投影分別記為，則這些投影皆為連續(xù)映射，定義映射，使得任意，= ,顯然f是在空間上的一一映射。又，都為連續(xù)映射，故連續(xù)，所以f為連續(xù)映射，類似可證也為連續(xù)映射，故f為同胚，即同胚于。（4）由題意知存在同胚,取，則由3.1習(xí)題8（1）是一個(gè)同胚，令，對(duì)任何是一個(gè)同胚。作是一個(gè)同胚，其中是的第二個(gè)投射。3.1證明：離散空間（平庸空間）的任何一個(gè)商空間都是離散空