1、構(gòu)造等腰三角形證題吳復(fù) 等腰三角形是一個(gè)特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時(shí)幾何圖形中不存在等腰三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當(dāng)添加輔助線，使之構(gòu)成等腰三角形，然后利用其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。一. 直接連線法 例1. 已知，在五邊形ABCDE中，AB=AE，BC=ED，B=E。求證：C=D。圖1證明：連結(jié)AC、AD因?yàn)锳B=AE，B=E，BC=ED所以ABCAED所以1=2，AC=AD所以3=4即1+3=2+4所以C=D 例2. 已知，DE為ABC的BC邊上的中垂線，交AC于D，垂足為E。求證：AB<AC。圖2證明：連結(jié)BD。因?yàn)锽E=CE，DEBC所以DB=DC因?yàn)锳

2、B<AD+DB所以AB<AD+DC即AB<AC二. 線段延長(zhǎng)法 例3. 已知ABC中，A=Rt，AB=AC，BE平分ABC，且BECE于E。求證：。圖3證明：分別延長(zhǎng)BA、CE交于F。因?yàn)锽ECF，1=2所以BF=BC因?yàn)?=1，AC=BA，4=5=Rt所以RtFCARtDBA所以FC=DB因?yàn)樗?例4. 已知M、N分別為正六邊形ABCDEF的邊CD、DE的中點(diǎn)，BN與AM交于點(diǎn)P，則_。圖4解：延長(zhǎng)AB、DC交于G，延長(zhǎng)ED、AM交于H。因?yàn)锳BCDEF為正六邊形所以BCG為正三角形設(shè)AB=k，則BG=CG=k因?yàn)镈H/AG所以所以所以說(shuō)明：例3延長(zhǎng)圖形中有關(guān)的線段，構(gòu)成

3、等腰三角形的底邊，例4中應(yīng)用了平行線分線段成比例的性質(zhì)。三. 延長(zhǎng)和連結(jié)相結(jié)合法 例5. 已知在ABC中，C=2B。求證：。圖5證明：延長(zhǎng)BC到D，使CD=AC，連結(jié)AD。因?yàn)?=2B，又因?yàn)?=2D，所以D=B所以AB=AD<AC+CD=2AC 例6. 已知ABD=ACD=60°，ADB=90°。求證：ABC為等腰三角形。圖6證明：延長(zhǎng)CD到E，使DE=DB，連結(jié)AE。因?yàn)锳DB=90°所以2ADB=180°所以1=2所以ABDAED所以ABD=E=60°所以ACE為等腰三角形所以AC=AE所以ABC為等腰三角形 例7. 已知ABC中，

4、AB=AC，AD為高，BE為角平分線，EGBC于G，EFBE交BC于F。求證：。圖7證明：延長(zhǎng)FE交BA延長(zhǎng)線于H，取BH的中點(diǎn)M，連結(jié)EM并交AD于N。因?yàn)?=2，BE=BE，BEH=BEF=90°所以BHEBFE所以BH=BF，HE=FE又因?yàn)镠M=BM所以EM/CB所以AMEABC又因?yàn)锳B=AC，ADBC所以AM=AE，ANME所以因?yàn)锽EH=90°，BM=HM所以即因?yàn)樗倪呅蜤NDG為矩形所以說(shuō)明：例5中要解決如問題，構(gòu)造頂角的外角為的等腰三角形，則可用“等腰三角形頂角的外角等于一個(gè)底角的2倍”這一性質(zhì)。例6利用兩腰相等證之。例7用的知識(shí)點(diǎn)較多，關(guān)鍵在于“三線合一

5、”定理的應(yīng)用。四. 作平行線法 例8. 已知ABC中，過BC中點(diǎn)D作直線交AB于E，交CA延長(zhǎng)線于F，且AE=AF。求證：BE=CF。證明：過點(diǎn)C作CG/AB，交FD延長(zhǎng)線于G。圖8因?yàn)镚=2，3=B，DB=CD所以CGDBED所以CG=BE因?yàn)锳E=AF所以1=F所以G=1=F所以CG=CF所以BE=CF 例9. 已知四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別與FE的延長(zhǎng)線交于G、H。求證：BGF=CHF。圖9證明：連結(jié)BD，作EK/AB交BD于K，連結(jié)KF。在DAB中，E為AD中點(diǎn)，EK/AB所以K為BD中點(diǎn)，所以同理因?yàn)锳B=CD所以1=2即3=4

6、所以BGF=CHF說(shuō)明：作平行線構(gòu)成等腰三角形的腰和底。五. 作垂線法例10. 已知ABC中，B=2A，AB=2BC。求證：ABC是直角三角形。圖10證明：作AB的中垂線DE，交AC于D，交AB于E，連結(jié)BD。因?yàn)镈EAB，AE=BE所以AD=BD所以2=A因?yàn)锳BC=2A所以1=2因?yàn)锳B=2BC所以BE=BC所以EDBCDB所以C=3=Rt所以ABC是直角三角形說(shuō)明：作三角形一邊的中垂線，構(gòu)造成等腰三角形的兩腰。六. 作截線法 例11. 已知ABC中，ADBC于D，AB+BD=DC。求證：B=2C。圖11證明：在DC上截取DE=BD，連結(jié)AE。因?yàn)锳DBE，ED=BD所以AD為BE的中垂線所以AB=AE