1、編輯ppt編輯ppt 研習(xí)內(nèi)容n一、二叉樹(shù)模型n 1.單步二叉樹(shù)模型n 2.多步二叉樹(shù)模型n二、Black-Scholes模型n 1.股票價(jià)格變動(dòng)n 2.二叉樹(shù)方法到B-S模型n 3.B-S期權(quán)定價(jià)模型n三、B-S期權(quán)定價(jià)模型的檢驗(yàn)n四、小結(jié)編輯ppt一、二叉樹(shù)模型 - 單步單步二叉樹(shù)模型（一個(gè)實(shí)例）單步二叉樹(shù)模型（一個(gè)實(shí)例） 股價(jià)股價(jià)S S100100美元美元 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r r0.06 0.06 執(zhí)行價(jià)格執(zhí)行價(jià)格X X100 100 假設(shè)該股價(jià)一年后將會(huì)變?yōu)榧僭O(shè)該股價(jià)一年后將會(huì)變?yōu)?090美元（美元（D D0.90.9） 或或110110美元（美元（U U1.11.1） 則該股票，

2、且一年到期的看漲期權(quán)則該股票，且一年到期的看漲期權(quán) c=?c=? 考慮兩個(gè)組合考慮兩個(gè)組合 組合組合：一份看漲期權(quán)多頭：一份看漲期權(quán)多頭 組合組合：N N股股票多頭和初始資金為股股票多頭和初始資金為B B美元的空頭美元的空頭 一年后，一年后，如果股價(jià)上漲如果股價(jià)上漲 組合組合價(jià)值價(jià)值1010美元，組合美元，組合價(jià)值價(jià)值N N* *110-B110-B* *（1+0.061+0.06） （1 1） 如果股價(jià)下跌如果股價(jià)下跌 組合組合 價(jià)值價(jià)值0 0， 組合組合價(jià)值價(jià)值N N* *90-B90-B* *（1+0.061+0.06） （2 2） 編輯ppt一、二叉樹(shù)模型 - 單步令到期時(shí)組合和組合的

3、價(jià)值相等，有 股票N0.5股 初始資金B(yǎng)42.45美元顯然組合和組合在期初的價(jià)值也應(yīng)相等，否則存在套利機(jī)會(huì) 因此，看漲期權(quán)的價(jià)值 c = N*S-B=0.5*100-42.45=7.55美元v v 股票 期權(quán)110100901101009010C010C04542.454545454545107.550107.550107.550編輯ppt一、二叉樹(shù)模型 - 單步n概率的作用n 上述分析沒(méi)有使用概率的概念，即沒(méi)有考慮股票價(jià)格升降的可能行。 事實(shí)上，在風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)下，所計(jì)算的期權(quán)價(jià)格同上述無(wú)套利條件下的結(jié)果是一樣的。n 同上述分析的推導(dǎo)，用字母代替數(shù)字，可得期權(quán)價(jià)格n c=(R-D)/(U-D

4、)*c上+ (U-R)/(U-D)* c下/R （3）n 其中R1+r c上、c下分別為股價(jià)上漲和下跌時(shí)期權(quán)的價(jià)格n 風(fēng)險(xiǎn)中性條件下：n 股價(jià)上升的概率p上(R-D)/(U-D) p下(U-R)/(U-D) n 對(duì)上文的例子，我們有p上(1.06-0.9)/(1.1-0.9)0.8， p下0.2n 期權(quán)價(jià)格 C（0.8*10+0.2*0）/1.067.55美元編輯ppt一、二叉樹(shù)模型 - 單步單步二叉樹(shù)模型的缺陷 1、僅適用與單個(gè)時(shí)期，我們需要能夠估價(jià)多期后到期的期權(quán)。 2、關(guān)于股價(jià)變動(dòng)的假設(shè)不現(xiàn)實(shí)，顯然我們無(wú)法知道股價(jià)在一個(gè)時(shí)期內(nèi)如何變動(dòng)。編輯ppt一、二叉樹(shù)模型 多步多步二叉樹(shù)模型 n個(gè)時(shí)

5、期，到期時(shí)有2n種可能的股票價(jià)格狀態(tài)。 考慮n個(gè)時(shí)期內(nèi)股價(jià)有j期上升，n-j期下降的情況， 1、到期股價(jià)為 ， 因此期權(quán)的價(jià)值為 MAX（0， -X） 2、每次股價(jià)上升和下降的事件是相互獨(dú)立的，因此股價(jià)有j期上升， n-j期下降的概率為 3、股價(jià)有j期上升，n-j期下降的次序顯然不止一種，其不同的次序數(shù) 可用組合數(shù)來(lái)表達(dá)，即 綜合1、2、3，再j從0遍歷到n，最后以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率R貼現(xiàn)，就得到看漲期權(quán)到期期望損益的現(xiàn)值，這也就是期權(quán)的價(jià)格公式：jnjtU DSjn jtU DSjnjUD njnj！00,njn jjn jU DtjtnnM AXU D SXj n jcR ！編輯ppt一、二叉樹(shù)模

6、型 多步多步二叉樹(shù)模型的缺陷 1、n=20時(shí)，220 100萬(wàn)，即有超過(guò)100萬(wàn)種股票價(jià)格的結(jié)果，計(jì)算太繁瑣。 2、雖然通過(guò)調(diào)整時(shí)期的長(zhǎng)度，股票價(jià)格變動(dòng)和利率，可以使模型盡可能的貼近股票市場(chǎng)的真實(shí)情況。然而股價(jià)如果連續(xù)變動(dòng)，將有無(wú)限個(gè)時(shí)期需要考慮，顯然我們無(wú)法對(duì)無(wú)限個(gè)時(shí)期計(jì)算二叉樹(shù)模型的價(jià)值。編輯ppt二、Black-Scholes模型 股價(jià)變動(dòng)n為什么要研究股票價(jià)格的變動(dòng)過(guò)程？期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來(lái)源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。因此期權(quán)定價(jià)使用的是相對(duì)定價(jià)法，即相對(duì)于證券價(jià)格的價(jià)格，因而要為期權(quán)定價(jià)首先必須研究證券價(jià)格。期權(quán)的價(jià)值正是來(lái)源于簽訂合

7、約時(shí)，未來(lái)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價(jià)格總是隨機(jī)變化的。需要了解其所遵循的隨機(jī)過(guò)程。編輯ppt二、Black-Scholes模型 股價(jià)變動(dòng)股票價(jià)格變動(dòng) 任何股價(jià)模型都是偏離股價(jià)變動(dòng)的真實(shí)描述的； 建立一個(gè)股價(jià)變動(dòng)的模型是可能的。 一個(gè)描述股票價(jià)格行為最廣泛使用的模型： 其中， 為預(yù)期收益率， 為股票價(jià)格波動(dòng)率 為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的隨機(jī)抽樣值dtdtSdS/編輯ppt二、Black-Scholes模型 股價(jià)變動(dòng)n 兩個(gè)股票價(jià)格路徑編輯ppt二、Black-Scholes模型 股價(jià)變動(dòng)n股價(jià)變動(dòng)模型回顧1模型有時(shí)也稱(chēng)幾何布朗運(yùn)動(dòng)。其離散形式為S為短時(shí)間

8、t后股票價(jià)格S的變化，顯然，它服從正態(tài)分布。 較長(zhǎng)的時(shí)間t后，股票的價(jià)格變化St服從正態(tài)分布嗎？ 很遺憾， St不服從正態(tài)分布！ 能找到St服從什么分布嗎？ttSS編輯ppt二、Black-Scholes模型 股價(jià)變動(dòng)n股價(jià)變動(dòng)模型回顧2幸運(yùn)的是，我們可以找到St的分布情況，但這需要引入一個(gè) 伊藤定理：若變量：若變量x遵循伊藤過(guò)程，即遵循伊藤過(guò)程，即 ，其中，其中 是一是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。則變量個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。則變量x和和t的函數(shù)的函數(shù)G將遵循如下過(guò)程將遵循如下過(guò)程利用伊藤定理，我們來(lái)推到利用伊藤定理，我們來(lái)推到lnS遵循的過(guò)程。令遵循的過(guò)程。令GlnS，有，有 從而有從而有 零時(shí)刻零時(shí)刻G的

9、值為的值為lnS，t時(shí)刻時(shí)刻G的值為的值為lnSt，顯然，顯然G服從正態(tài)分布，且服從正態(tài)分布，且 dztxbdttxadx),(),(dtdzbdzxGdtbxGtGaxGdG)21(2220/,/1/,/1/222tGSSGSSGdzdtdG)2/(2,)2/(lnln2ttSSt編輯pptn股價(jià)變動(dòng)模型回顧3事實(shí)上，股票價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)，就是股價(jià)S的對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。下面我們用這點(diǎn)來(lái)證明，適當(dāng)選取參數(shù)，二叉樹(shù)模型的極限就是幾何布朗運(yùn)動(dòng)。實(shí)際股價(jià)行為的研究表明股價(jià)的對(duì)數(shù)確實(shí)接近正態(tài)分布，因此我們對(duì)股價(jià)的假設(shè)是一個(gè)很好的近似。另一方面，它的優(yōu)勢(shì)是在數(shù)學(xué)上是可處理的，可以直接推出歐式

10、看漲期權(quán)價(jià)值的解。二、Black-Scholes模型 股價(jià)變動(dòng)編輯ppt二、Black-Scholes模型 二叉樹(shù)到BS二叉樹(shù)模型：假定在每個(gè) 時(shí)間里，股價(jià)或以概率p上漲u倍，或以概率（1-p）下跌d倍，選取： 可以證明，當(dāng) 趨近于0時(shí)，相應(yīng)的價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即股價(jià)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。證明思路：記第i期股價(jià)上漲，則Yi1,否則Yi0。然后寫(xiě)出t時(shí)刻的股價(jià)St，lnSt，當(dāng) 趨近于0時(shí)，根據(jù)中心極限定理，推出lnSt服從正態(tài)分布。再算出它的期望和方差，可知它的期望和方差與我們上面假定的幾何布朗運(yùn)動(dòng)的期望和方差完全一樣。tteuud/1)/1 ( 2/ 1tptt編輯ppt二、Black-Sc

11、holes模型 BS公式nBS微分方程的推導(dǎo)n假設(shè)：n1、證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即 和 為常數(shù)；n2、允許賣(mài)空標(biāo)的證券；n3、沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是高度可分的；n4、衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒(méi)有紅利支付；n5、不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；n6、證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；n7、衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。編輯ppt二、Black-Scholes模型 BS公式nBS微分方程的推導(dǎo)n 假設(shè)f是依賴(lài)于S的衍生證券的價(jià)格，構(gòu)造證券組合：n -1份衍生證券，+ 份股票n 顯然，組合證券的價(jià)值n 利用幾何布朗運(yùn)動(dòng)和伊藤定理的離散形式，得到 時(shí)間后證券組合價(jià)值的變化n 這個(gè)方程不

12、含 隨機(jī)項(xiàng)，因此它肯定等于組合的短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，否則就存在套利機(jī)會(huì)，即n 把相關(guān)方程帶入上式，化簡(jiǎn)得：n 這就是著名的Black-Scholes微分方程，對(duì)應(yīng)不同的邊界條件，可得到特定的衍生證券的解。歐式看漲期權(quán)的邊界條件為:f=max(S-X,0)當(dāng)t=T時(shí)。sf /ssfftssftf)21(2222trrfsfssfrstf222221zt編輯ppt二、Black-Scholes模型 BS公式n風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)很遺憾，上面的微分方程，我解不出來(lái)。但仔細(xì)觀察BS微分方程，我們發(fā)現(xiàn)，該方程不包括任何受投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好影響的變量。方程中出現(xiàn)的變量是股票當(dāng)前價(jià)格，到期時(shí)間，股價(jià)方差和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，而不獨(dú)

13、立于風(fēng)險(xiǎn)偏好的預(yù)期收益 則不在其中。這說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)偏好不會(huì)對(duì)f的解產(chǎn)生影響。因此我們可以假定：所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。通過(guò)上述假定得到的解，也適用于其它風(fēng)險(xiǎn)偏好世界。一個(gè)有啟發(fā)性的例子：二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)時(shí)，我們一直沒(méi)用股價(jià)上漲下跌的概率，這意味著期權(quán)價(jià)格是獨(dú)立于股票的預(yù)期收益的。編輯ppt二、Black-Scholes模型 BS公式nBS公式的推導(dǎo) 風(fēng)險(xiǎn)中性定理是說(shuō)，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有證券的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r。此時(shí)，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格c可以表示為： 我們已知ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，只需將 換成r即可，對(duì)上式求解就是一個(gè)積分過(guò)程，比較復(fù)雜，最后得到： 其中， N（x）為

14、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即小于）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即小于x的概率）的概率）0),max(XSEecTrt)()(21dNXedSNcrtttrXSd/ ) 2/()/ln(21tdd12編輯ppt二、Black-Scholes模型 BS公式n對(duì)BS公式的理解在B-S公式中，N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說(shuō)是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， Xexp-rtN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值 。這個(gè)公式與我們一直考慮的一般形式-看漲期權(quán)的價(jià)值必定不小于股價(jià)減去行權(quán)價(jià)的現(xiàn)值：cS-Xexp-rt類(lèi)似。為了適用

15、于描述風(fēng)險(xiǎn)，分別給股價(jià)和行權(quán)價(jià)乘以一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子，并把不等號(hào)變成了等號(hào)。N(d1)是期權(quán)價(jià)格c對(duì)股價(jià)S的偏導(dǎo)數(shù)，也就是我們常說(shuō)的Delta。根據(jù)期權(quán)平價(jià)公式：c+Xexp-rt=p+S，可以很容易推出看跌期權(quán)的公式。編輯ppt三、B-S期權(quán)定價(jià)模型的檢驗(yàn)n實(shí)證研究顯示：n1、B-S期權(quán)定價(jià)公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低的期權(quán)。n2、高估實(shí)值期權(quán)的價(jià)格，低估虛值期權(quán)的價(jià)格。n3、改變波動(dòng)率估計(jì)的方式會(huì)提高B-S期權(quán)定價(jià)公式在預(yù)測(cè)實(shí)際價(jià)格時(shí)的表現(xiàn)。n4、當(dāng)考慮交易成本時(shí)，大多數(shù)期權(quán)價(jià)格偏離所造成的套利機(jī)會(huì)將消失。n5、目前所有的期權(quán)定價(jià)模型中，還不能得出這樣一個(gè)結(jié)論：某一期權(quán)定價(jià)模型優(yōu)于B-S模型。編輯pptn造成B-S公式計(jì)算的期權(quán)價(jià)格偏離市場(chǎng)價(jià)格的原因主要有以下幾點(diǎn)：n1、期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格偏離均衡位置。n2、使用了錯(cuò)誤的參數(shù)。n3、B-S公式建立在眾多的假定基礎(chǔ)之上，而實(shí)際情況并不完全滿(mǎn)足。如可以賣(mài)空、股價(jià)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)等。n4、錯(cuò)誤套用公式。如沒(méi)考慮分紅、股本稀釋時(shí)沒(méi)做出相應(yīng)的調(diào)整等。三、B-S期權(quán)定價(jià)模型的檢驗(yàn)編輯pptn 四、小結(jié)簡(jiǎn)單入手（離散）簡(jiǎn)單入手（離散）單步二叉樹(shù)單步二叉樹(shù)改進(jìn)，改進(jìn)，多步多步二叉