1、高考真題及答案2015年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題，共12小題，每小題5分，共60分1. （5 分）設(shè)集合 M=x|x2=x, N=x| lgx< 0,則 M U N=（）A. 0, 1 B. （0, 1 C. 0, 1） D. （ oo, 12. （5分）某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（）A. 93 B. 123 C, 137 D. 167高考真題解析3. （5分）如圖，某港口一天 6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù) y=3sin（x+（I） +k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（）至視圖左

2、視圖A. 3 7tB. 4兀 C. 2 e4D. 3 tt+46. （5 分）“sin a =c渥a'°'cos2 a =0"（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7. （5分）對任意向量W、b,下列關(guān)系式中不包成立的是（A. |。百 <| a| b| B. | a-b| < | a| - | 而C. （a+b） 2=| l+b| 2 D. （1+b） ? （ a-b） =12-b28. （5分）根據(jù)如圖框圖，當(dāng)輸入x為2006時，輸出的y二（.開始 /輸入X /x=x-2/輸此/結(jié)束A. 2B, 4

3、C, 10 D. 289. （5分）設(shè) f （x） =lnx, 0<a<b,若 p=f （Vab）, q=f （-）, rg （f （a） +f （b）,則下列關(guān)系式中正確的是（）A. q=r<p B. p=r<q C. q=r>p D. p=r>q10. （5分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用 A、B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每 種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示. 如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲 得利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）甲乙原料限額A （噸）3212B （噸）128A. 12萬元B. 16萬元C. 17萬元D. 18萬

4、元11. （5 分）設(shè)復(fù)數(shù) z= （x - 1） +yi （x, y C R）,若| z| 0 1,則 yx 的概率為（）A. + B. -+ C. D.4 2冗2 n 2 7r 4 2冗12. （5分）對二次函數(shù)f （x） =aX2+bx+c （a為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下 列結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是（）A. - 1是f （x）的零點B. 1是f （x）的極值點C. 3是f （x）的極值 D.點（2, 8）在曲線y=f （x）上二、填空題，共4小題，每小題5分，共20分13. （5分）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015,則該數(shù)列的 首項為.

5、14. （5分）若拋物線y2=2px （p>0）的準線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個焦點， 貝 U p=.15. （5分）設(shè)曲線y=ex在點（0, 1）處的切線與曲線y=- （x>0）上點P的切線垂直，則P的坐標(biāo)為.16. （5分）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊 界呈拋物線型（圖中虛線所示） ，則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值三、解答題，共5小題，共70分17. （12分）zABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.向量K （a, V3b）與=（cosA, sinB）平行.（I ）求 A;（H）若 a=/7, b=2,求 ABC 的面積

6、.18. （12 分）如圖，在直角梯形 ABCD中，AD/ BC, /BADq，AB=BC=1 AD=2,E是AD的中點，。是AC與BE的交點，將 ABE沿BE折起至ij AiBE的位置，如圖2.(I)證明：CD，平面AiOC；(H)若平面ABn平面BCDE求平面AiBC與平面AiCD夾角的余弦值.19. (12分)設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T, T只與道路暢通狀況有關(guān)，對其容量為200的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：T (分鐘)25303540頻數(shù)(次)40608020(1)求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET;(2)唐教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即 返回老校區(qū)

7、，求唐教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率.2220. (12分)已知橢圓E:三三=1 (a> b> 0)的半焦距為c,原點。到經(jīng)過兩 / b2點(c, 0), (0, b)的直線的距離為,c.(I )求橢圓E的離心率；(H)如圖，AB是圓M: (x+2) 2+ (y-1) 2=|的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A、B兩點，求橢圓E的方程.21. (12分)設(shè)fn (x)是等比數(shù)列1, x, x2,xn的各項和,其中x>0, nCN, n>2.(I)證明：函數(shù)Fn (x) =fn (x) -2在(9，1)內(nèi)有且僅有一個零點(記為Xn),且 Xn=+X &q

8、uot;1 ； 2 2(n)設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為gn(X),比較fn(X)和gn(X)的大小，并加以證明.四、選修題，請在22、23、24中任選一題作答，如果多做則按第一題計分.選修4-1:幾何證明選講22. (10分)如圖，AB切。于點B,直線AO交。于D, E兩點，BC±DE, 垂足為C.(I )證明：/ CBDW DBA;(H)若 AD=3DC BC=2 求。的直徑.五、選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程23. 在直角坐標(biāo)系XOy中，直線l的參數(shù)方程為, 如(t為參數(shù))，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，O C的極坐標(biāo)方程為

9、p =2r3sin 0(I )寫出。C的直角坐標(biāo)方程；(n) P為直線1上一動點，當(dāng)P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標(biāo).六、選修4-5:不等式選講24.已知關(guān)于X的不等式|x+a| <b的解集為x2<x<4(I )求實數(shù)a, b的值；(U )求嘲at+12+2僅的最大值.2015年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題，共12小題，每小題5分，共60分1. （5 分）設(shè)集合 M=x|x2=x, N=x| lgx< 0,則 M U N=（）A. 0, 1 B. （0, 1 C. 0, 1） D. （ oo, 1【分析】求解一元二次方程化簡 M,求解對數(shù)

10、不等式化簡N,然后利用并集運算【解答】解：由M=x| x （5分）某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（）/海/罵）（女J罵'初中部）（高中部）A. 93 B. 123 C, 137 D. 167【分析】利用百分比，可得該校女教師的人數(shù).【解答】解：初中部女教師的人數(shù)為110X70%=77;高中部女教師的人數(shù)為150X 40%=60,該校女教師的人數(shù)為77+60=137,故選：C.【點評】本題考查該校女教師的人數(shù)，考查收集數(shù)據(jù)的方法，考查學(xué)生的計算能 力，比較基礎(chǔ).=x=0, 1,N=x| lgx<0= （0, 1,得 M

11、 UN=0, 1 U （0, 1 =0, 1.故選：A.【點評】本題考查了并集及其運算，考查了對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題.y=3sin3. （5分）如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)m）的最大值為（Zx+d） +k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位: 6y 水深/mA. 5B. 6 C. 8D. 10【分析】由題意和最小值易得k的值，進而可得最大值.【解答】解：由題意可得當(dāng)sin （x+（|）取最小值-1時， 6函數(shù)取最小值ymin=-3+k=2,解得k=5, . y=3sin （x+（|） +5, 6當(dāng)當(dāng)sin （工x+?。┤∽畲笾?時，6函數(shù)取最大值ymax=3+5=8

12、,故選：C.【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題.4. （5分）二項式（x+1） n （nC N+）的展開式中x2的系數(shù)為15,則n=（A. 7 B. 6 C. 5 D. 4【分析】由題意可得C2=ntn-D =15解關(guān)于n的方程可得. n 2【解答】解：:二項式（x+1） n （nCN+）的展開式中x2的系數(shù)為15,; =15,即=15,解得 n=6,故選：B.【點評】本題考查二項式定理，屬基礎(chǔ)題. （5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（A. 3 7tB. 4兀 C. 2 e4D. 3r+4【分析】由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底

13、面的半圓柱，底面半徑為1高為2,代入柱體表面積公式，可得答案.【解答】解：由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓柱，底面半徑為1,高為2,故該幾何體的表面積 S=2xl：+ （2+tt） X 2=3tt+4, 2故選：D.7.（5分）對任意向量> b,卜列關(guān)系式中不包成立的是（【點評】本題考查的知識點是柱體的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度 中檔. （5 分）“sin a =C渥a'°'cos2 a =0"（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【分析】由cos2 a =cOsa- sin2

14、 a,即可判斷出.【解答】解：由cos2 a =cOSa sin2 a, "sin a =co&"cos2 a =0充分不必要條件.故選：A.【點評】本題考查了倍角公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力，屬于基 礎(chǔ)題.A. | 十目 <| 叫 b| B. | a-b| <| 可-| b|C. ( a+b) 2=| m+切 2D. ( a+b) ? ( a-b) =a2- b2【分析】由向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)逐個選項驗證可得.【解答】解：選項A包成立，.|=|就 加cos<g, b>| ,又 | cos< a, b>|01, |a

15、b|&|a|b| 包成立；選項B不包成立，由三角形的三邊關(guān)系和向量的幾何意義可得| a-b|君| -I而；選項C包成立，由向量數(shù)量積的運算可得（a+b） 2=| a+b|2;選項D包成立，由向量數(shù)量積的運算可得（a+b） ? （ a-b） =a2-b2.故選：B.【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積，屬基礎(chǔ)題.8. （5分）根據(jù)如圖框圖，當(dāng)輸入x為2006時，輸出的y=（）開始1*/輸入工7x=x-2>=3V1/輸沏/A. 2 B. 4C. 10 D. 28【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 x的值，當(dāng)x=- 2時不滿 足條件x> 0,計算并輸出y的值為10.【解

16、答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得x=2006,x=2004滿足條件x> 0, x=2002滿足條件x> 0, x=2000 滿足條件x> 0, x=0滿足條件x> 0, x=- 2不滿足條件x>0, y=10輸出y的值為10.故選：C.【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.,r=7 (f (a) +f9. (5分)設(shè) f (x) =lnx, 0<a<b,若 p=f (Vab), q=f（b）,則下列關(guān)系式中正確的是（A. q=r<p B. p=r<q C. q=r>p D. p=r>q【分析】由題意可得 p= (l

17、na+lnb), q=ln (總也)>ln (/ab) =p, r,(lna+lnb), 222可得大小關(guān)系.【解答】 解：由題意可得若 p=f (Vab) =ln (Vab) =1-lnab=i- (lna+lnb),二p,q=f(個)=in( J±k)> in (Vab) (f (a) +f (b) (lna+lnb),:p=r< q, 故選：B.【點評】本題考查不等式與不等關(guān)系，涉及基本不等式和對數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題.10. （5分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用 A、B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每 種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示. 如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)

18、品可獲 得利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）甲乙原料限額A （噸）3212B （噸）128A. 12萬元B. 16萬元C. 17萬元D. 18萬元【分析】設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為 x, y噸，利潤為z元，然后根據(jù)題目 條件建立約束條件，得到目標(biāo)函數(shù)，畫出約束條件所表示的區(qū)域，然后利用平移 法求出z的最大值.【解答】解：設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為 x, y噸，利潤為z元， '3k+2y<12則，什2y<8,目標(biāo)函數(shù)為z=3x+4y.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（陰影部分）即可行域.由 z=3x+4y 得 y= x+,4 4平移直線y=-旦

19、x+三由圖象可知當(dāng)直線y=-Jlx+L經(jīng)過點B時，直線y=-Jlx旺的 4 44 44 4截距最大，此時z最大，解方程組產(chǎn)+?尸£解得產(chǎn)I "2y = 8I y=3即B的坐標(biāo)為x=2, y=3, .zmax=3x+4y=6+12=18.即每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為 2, 3噸，能夠產(chǎn)生最大的利潤，最大的利潤是18萬元,故選：D.【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用， 建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.11. (5分)設(shè)復(fù)數(shù)z= (x - 1) +yi (x, y C R),若| z| 0 1,則yx的概率為(A. + B. -+ C. D.4 2n 2 n

20、 2 n 4 2冗【分析】由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比，分別求面積可得.【解答】解：二,復(fù)數(shù) z= (x- 1) +yi (x, yC R)且|z| 01,.|z|=J(ki 產(chǎn)+尸1,即(x-1) 2+y2<1,點(x, y)在(1, 0)為圓心1為半徑的圓及其內(nèi)部, 而yx表示直線y=x左上方的部分，(圖中陰影弓形) 所求概率為弓形的面積與圓的面積之比,兀1得乂 1X1.二所求概率P='故選：D.【點評】本題考查幾何概型，涉及復(fù)數(shù)以及圓的知識，屬基礎(chǔ)題.12. (5分)對二次函數(shù)f (x) =ax2+bx+c (a為非零整數(shù))，四位同學(xué)分別給出下 列結(jié)論，其中

21、有且只有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是()A. - 1是f (x)的零點B. 1是f (x)的極值點C. 3是f (x)的極值 D.點(2, 8)在曲線y=f (x)上【分析】可采取排除法.分別考慮 A, B, C, D中有一個錯誤，通過解方程求得 a,判斷是否為非零整數(shù)，即可得到結(jié)論.【解答】解：可采取排除法.若A錯，則B, C, D正確.即有f (x) =ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f' (x) =2ax+b, 即有 f'(1) =0,即 2a+b=0,又 f (1) =3,即 a+b+c=3,又f (2) =8,即4a+2b+c=8,由解得，a=5, b=T0, c=8.符

22、合a為非 零整數(shù).若B錯，貝U A, C, D正確，則有a - b+c=O,且4a+2b+c=8,且坐二層二3,解得 4aaC ?,不成立；若 C錯，貝 A, B, D 正確，貝有 a- b+c=O,且 2a+b=0,且 4a+2b+c=8,解得 a二-應(yīng)不為非零整數(shù)，不成立；3若D錯，WJ A, B, C正確，則有a-b+c=0,且2a+b=0,且也口一二3,解得a= 4a一旦不為非零整數(shù)，不成立.4故選：A.【點評】本題考查二次函數(shù)的極值、零點等概念，主要考查解方程的能力和判斷 分析的能力，屬于中檔題.二、填空題，共4小題，每小題5分，共20分13. (5分)中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等

23、差數(shù)列，其末項為2015,則該數(shù)列的 首項為 5 .【分析】由題意可得首項的方程，解方程可得.【解答】解：設(shè)該等差數(shù)列的首項為a,由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得 2015+a=1010X 2解得a=5故答案為：5【點評】本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，涉及中位數(shù)，屬基礎(chǔ)題.14. (5分)若拋物線y2=2px (p>0)的準線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個焦點， 貝 U p=2 返.【分析】先求出x2-y2=1的左焦點，得到拋物線y2=2px的準線，依據(jù)p的意義 求出它的值.【解答】解：雙曲線X2-y2=1的左焦點為（-加，0）,故拋物線y2=2px的準線 為x=一班，勺=近，p=2交，故答案為

24、：2版.【點評】本題考查拋物線和雙曲線的簡單性質(zhì)，以及拋物線方程y2=2px中p的意義.15. （5分）設(shè)曲線y=ex在點（0, 1）處的切線與曲線yJ （x>0）上點P的切線垂直，則P的坐標(biāo)為（1, 1）.【分析】利用y=ex在某點處的切線斜率與另一曲線的切線斜率垂直求得另一曲 線的斜率，進而求得切點坐標(biāo).【解答】解：:下（x） =ex, .f （0） =e0=1. y=ex在（0, 1）處的切線與y（x>0）上點P的切線垂直 點P處的切線斜率為-1.又 y'= -3，設(shè)點 P （x0, y。） ' x0=± 1 , x> 0, 二 x0=1 -

25、y0=1.二點 P （1,1）故答案為：（1, 1）【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)在曲線切線中的應(yīng)用，在高考中屬基礎(chǔ)題型，常出現(xiàn)在選擇填空中.16. （5分）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊 界呈拋物線型（圖中虛線所示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為1.2【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，然后利用定積分求出泥沙沉積的橫 截面面積，求出梯形面積，即可推出結(jié)果.【解答】解：如圖：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為：y=a/,因為拋物線經(jīng)過（5, 2）,可得a=2,25所以拋物線方程：y=K2,25橫截面為等腰梯形的水渠，泥沙沉積的橫截面的面積為：2乂 （Tx2-fx

26、2X：2）=2 （會2）=|,等腰梯形的面積為：里世“2=16,當(dāng)前最大流量的橫截面的面積16 -包， 23原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為：V=12故答案為：12【點評】本題考查拋物線的求法，定積分的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力, 合理建系是解題的關(guān)鍵.三、解答題，共5小題，共70分17. （12分）zABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c.向量K （a,相b）與=（cosA, sinB）平行.（I ）求 A;（H）若 a=V7, b=2,求 ABC的面積.【分析】（I）利用向量的平行，列出方程，通過正弦定理求解A;(II)利用A,以及a=/r, b=2,通過余弦定理

27、求出c,然后求解 ABC的面積.【解答】解：(I)因為向量 /(a, V3b)與1=(cosA, sinB)平行，所以 asinB-=：=0»,由正弦定理可知：sinAsinB-三sinBcosA=0 因為 sinB*0,所以tanA=73,可得A=; 3(H) a=J7, b=2,由余弦定理可得：a2=b2+c2 2bccosA,可得 7=4+c2 - 2c,解得 c=3, ABC的面積為： XsinA上區(qū) 22【點評】本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，三角形的面積的求法，考查計算能力.18. (12 分)如圖，在直角梯形 ABCD中,AD/ BC, /BAD4，AB=BC=1

28、AD=2, 乙E是AD的中點，。是AC與BE的交點，將 ABE沿BE折起至ij AiBE的位置，如圖2.(I)證明：CD,平面AQC;(H)若平面AiBE1平面BCDE求平面AiBC與平面AiCD夾角的余弦值.【分析】(I)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明：CD!平面AQC;(H)若平面AiBE1平面BCDE建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求平面 AiBC 與平面Ai CD夾角的余弦值.【解答】證明：(I)在圖i中，.AB=BC=i AD=2, E是AD的中點，Z BAD= ,2BE! AC,即在圖 2 中，BEXOA, BEXOC,則BEX平面AiOC;v CD)/ BE,；CD±平面

29、 A1OC；(R)若平面AiBEl平面BCDE由(I )知 BEX OA, BEX OC / AiOC為二面角Ai - BE- C的平面角,/AiOC=H,2如圖，建立空間坐標(biāo)系，. AiB=AE=BC=ED=1 BC/ ED B (琴 0, 0), E (-返，0, 0), Ai (0, 0,退)，C (0,返2222前=(-冬冬。)，不=(0，容-冬，CD=BE = (/2>。，0)0),設(shè)平面AiBC的法向量為7= (x, y, z),平面AiCD的法向量為n= (a,b, c),(in*BC=0 f x+v=0“,-» 得 ,令 x=i,則 y=i, z=i,即 n=

30、(1, 1, 1), m%C=0 ly-z=0由、nA1O0/曰 r得WCD 二 0a二 0b-c-0取：二(0, 1,1),則 cos<- 2n巴=一2迎.Mini V3XV2 3平面A1BC與平面A1 CD夾角的余弦值為 坐.建立坐標(biāo)【點評】本題主要考查空間直線和平面垂直的判定以及二面角的求解, 系利用向量法是解決空間角的常用方法.19. (12分)設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T, T只與道路暢通狀況有關(guān)，對其容量為200的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：T (分鐘)25303540頻數(shù)(次)40608020(1)求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET;(2)唐教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)

31、做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即 返回老校區(qū)，求唐教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過 120分鐘的概 率.【分析】(1)由統(tǒng)計結(jié)果可得T的頻率分布，以頻率估計概率得 T的分布列，能 求出T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET.(II)設(shè)T2分別表示往、返所需時間，T1，T2的取值相互獨立，且與T的分 布列相同.設(shè)事件 A表示 簪教授共用時間不超過120分鐘”，由于講座時間為 50分鐘，事件A對應(yīng)于 唐教授在途中的時間不超過70分鐘”.由此能求出唐教 授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過 120分鐘的概率.【解答】解：(1)由統(tǒng)計結(jié)果可得T的頻率分布為T (分鐘)25303540頻率0.20.30

32、.40.1以頻率估計概率得T的分布列為T25303540P0.20.30.40.1從而 ET=25X 0.2+30X 0.3+35X 0.4+40X0.1=32.(分鐘)分)(II)設(shè)，T2分別表示往、返所需時間，T1，T2的取值相互獨立，且與T的分 布列相同.設(shè)事件A表示簪教授共用時間不超過120分鐘”，由于講座時間為50分鐘， 所以事件A對應(yīng)于 唐教授在途中的時間不超過70分鐘”.P (A) =p (T1+T2<70) =P (=25, T2<45) +P (=30, T2<40) +P (=35, T2<35) +P (=40, T2< 30)=1 義 0.

33、2+1 義 0.3+0.9X 0.4+0.5X 0.1=0.91.(10 分)【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率 乘法公式的合理運用.(a> b> 0)的半焦距為c,原點。到經(jīng)過兩2220. (12分)已知橢圓E:三十之二二1 / b2點(c, 0), (0, b)的直線的距離為'c-(I )求橢圓E的離心率;(n)如圖，AB是圓M: (x+2) 2+ (y-1) 2*的一條直徑，若橢圓 E經(jīng)過A、B兩點，求橢圓E的方程.【分析】(I)求出經(jīng)過點(0, b)和(c,

34、0)的直線方程，運用點到直線的距 離公式，結(jié)合離心率公式計算即可得到所求值；(II)由(I)知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2,設(shè)出直線AB的方程，代入 橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，結(jié)合圓的直徑和中點坐標(biāo)公式， 解方程可 得b2=3,即可得到橢圓方程.【解答】解：(I)經(jīng)過點(0, b)和(c, 0)的直線方程為bx+cy- bc=0,則原點到直線的距離為d= h c,即為a=2b,Vbz+cz 22，e=(H)由(I)知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2,由題意可得圓心M (-2, 1)是線段AB的中點，則|人耳二依, 易知AB與x軸不垂直，記其方程為y=k (x+2) +1,代

35、入可得 (1+4k2) x2+8k (1+2k) x+4 (1+2k) 2 - 4b2=0,設(shè) A (xi, yi), B(X2, y2),則 Xi+X2=-8k（l+2k. Xie,"?© 一"，l+4k2l+4k2由M為AB的中點，可得Xi+X2=- 4,得一曲（1+歲）=4,解得k=L, l+4k22從而 X1X2=8 - 2b2,于是 | AB| =1+（1） 2?| x1 - x2| 嚕?«叼+功）2-4 町工 2=Jia”ZW=VT5,解得 b2=3,22則有橢圓E的方程為工+工=1.12 3【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離

36、心率的求法和橢圓方程 的運用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，同時考查直線和 圓的位置關(guān)系，以及中點坐標(biāo)公式和點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題.21. （12分）設(shè)fn（X）是等比數(shù)列1, x, X2,Xn的各項和，其中x>0, nCN, n>2.（I）證明：函數(shù)Fn（X）=fn（X）-2在（, 1）內(nèi)有且僅有一個零點（記為Xn）,且 Xn二+7X n+1 ； 2 2n（n）設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各 項和為gn（X）,比較fn（X）和gn（X）的大小，并加以證明.【分析】（I ）由 Fn（X）=fn（X） 2=1+X+X2

37、+-+Xn 2,求得 Fn （1） >0, Fn （1）<0.再由導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)Fn（X）在得，1）內(nèi)單調(diào)遞增，得到Fn（X）在（J,n+l.-W-乙1）內(nèi)有且僅有一個零點Xn,由Fn （Xn） =0,得到（H）先求出gn（Q二（n+l）（Hxn），構(gòu)造函數(shù) h（X）=fn（X） gn（X）=1+X+X2+Xn（n+l）（l+x ） 當(dāng) X=1 時 fn（X）=gn（X）.當(dāng)XW1時，利用導(dǎo)數(shù)求得h （x）在（0, 1）內(nèi)遞增，在（1, +8）內(nèi)遞減，得 到 fn（X）<gn（X）.【解答】 證明：（I）由 Fn（X）=fn（X） 2=1+X+X2+-+xn 2,貝U Fn

38、（1） =n 1 >0,Fn (1) =1+1i-a)-i,一，二.-二1< c 2.Fn（X）在（工，1）內(nèi)至少存在一個零點，2又 F： （Jt） = l+2x+-"+nK11-1>0，?。╔）在（之，1）內(nèi)單調(diào)遞增,.Fn（X）在（，1）內(nèi)有且僅有一個零點Xn,2丁刈是 Fn（X）的一個零點，F(xiàn)n （Xn） =0,lr .* *即寸E0,故卷當(dāng)n+1.（n）由題設(shè)，。依）=（"+）黑刃,設(shè) h（X）=fn （x） -gn （X）="）產(chǎn),X>0.n-1 工 n"當(dāng) X=1 時，fn（X）=gn（X）.當(dāng) X*1 時，h'

39、; (x)=l+2x+,+nx若 0< X <n-1 口（門+1）n-1 , q n-l,4 ,n-1 n (n+1 )+2x+ +nx 1,=,2, hkl-Mn+lLh'n(n+l) xXn-1=0 n(n+l) xh （x）在（0, 1）內(nèi)遞增，在（1,22+ 0°）內(nèi)遞減，X n-1 二 0 . h（X）< h （ 1 ） =0,即 fn （X）< gn（X）.綜上，當(dāng) X=1 時,fn（X）=gn（X）；當(dāng) X>0 且 XW1 時，fn （X）< gn（X）.【點評】本題考查了函數(shù)零點的判定方法， 考查了等比數(shù)列的前n項和，訓(xùn)練了 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，是中檔題.四、選修題，請在22、23、24中任選一題作答，如果多做則按第一題計分.選修4-1:幾何證明選講22. （10分）如圖，AB切。于點B,直線AO交。于D, E兩點，BC±DE,垂足為C.(I