1、3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義棗莊一中 蘇增傳一、教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：理解和掌握切線的新定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、以直代曲的思想方法.難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)、理解及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及對(duì)曲線切線方程的求解.能力點(diǎn)：通過(guò)探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義和曲線的切線方程的求法，體會(huì)“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法和培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力教育點(diǎn)：通過(guò)設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地參與探究活動(dòng)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情.自主探究點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義和“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法.考試點(diǎn)：求曲線的切線方程. 易錯(cuò)易混點(diǎn)： “以直代曲”的思想容易誤解的是用直線去代替某

2、一段曲線.拓展點(diǎn)：當(dāng)切點(diǎn)不在曲線上求曲線的切線方程.二、復(fù)習(xí)引人前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率.問(wèn)題1： 求導(dǎo)數(shù)的步驟有哪幾步？學(xué)生回答：第一步：求平均變化率；第二步：求瞬時(shí)變化率.（即，平均變化率趨近于的確定常數(shù)就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)）問(wèn)題2：觀察函數(shù)的圖象，平均變化率 在圖形中表示什么？x1x2Oxx2-x1=xf(x2)-f(x1)=yPyf(x1)y=f(x)f(x2)學(xué)生回答：平均變化率表示割線的斜率.這就是平均變化率（）的幾何意義，那么瞬時(shí)變化率()在圖中又表示什么呢？今天我們就來(lái)探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【設(shè)計(jì)意圖】突破平均變化率的幾何意義，后面在表示割線斜率時(shí)能直接

3、聯(lián)系此知識(shí).同時(shí)引出本節(jié)課的研究問(wèn)題導(dǎo)數(shù)幾何意義是什么？三、探究新知 1.切線的新定義：要研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念，即要探究，割線的變化趨勢(shì).問(wèn)題1：初中平面幾何中圓的切線的定義是什么？學(xué)生回答：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做圓的切線，唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)問(wèn)題2：曲線在點(diǎn)處的切線能用直線與切線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)定義嗎？你能否用你已經(jīng)學(xué)過(guò)的函數(shù)曲線的切線舉出反例？回答：正弦函數(shù)的曲線與直線可能相切時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)圓是一種特殊的曲線，這種定義并不適用于一般曲線的切線如圖曲線，直線雖然與曲線有惟一公共點(diǎn)，但它與曲線不相切；而另一條直線，雖然與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)和，但與曲線相切于點(diǎn)因此，直線與曲線的

4、公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能用來(lái)定義一般曲線的切線，我們必須用新的方法來(lái)定義曲線的切線【設(shè)計(jì)意圖】概念的辨析有助于學(xué)生準(zhǔn)確理解概念，避免了學(xué)習(xí)的負(fù)向遷移.通過(guò)普通曲線的切線與圓的切線對(duì)比，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到曲線的切線不能以直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定.由此提出：如何定義曲線上某點(diǎn)的切線呢？激發(fā)學(xué)生的求知欲望，進(jìn)入本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容的探索過(guò)程.用多媒體演示動(dòng)畫（幾何畫板）（1）圓中割線逼近切線：ABTxyO圓上點(diǎn)A處的切線AT和割線AB，演示點(diǎn)B從右邊沿著圓逼近點(diǎn)A ,然后再?gòu)淖筮呇刂鴪A逼近點(diǎn)A ，即，割線AB的變化趨勢(shì).思考：觀察割線與切線是否有某種內(nèi)在聯(lián)系呢？結(jié)論：（先感知后發(fā)現(xiàn)）當(dāng)，隨著點(diǎn)B沿著圓逼近點(diǎn)A，割線AB

5、無(wú)限趨近于點(diǎn)A處的切線AT.【設(shè)計(jì)意圖】帶著問(wèn)題觀察動(dòng)畫，借助熟悉的圓中的某點(diǎn)處的割線和切線，學(xué)生更易感知當(dāng)，割線的變化趨勢(shì)，同時(shí)用逼近的方法體會(huì)割線逼近切線，消除學(xué)生對(duì)極限的神秘感.（2）把割線逼近切線的結(jié)論從圓推廣到一般曲線：OxyP割線切線Ty=f(x)多媒體動(dòng)態(tài)演示教材77頁(yè)，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線趨近點(diǎn)時(shí)，割線的變化趨勢(shì)圖. 引導(dǎo)學(xué)生類比（1），分析當(dāng)點(diǎn)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，即，研究割線的變化趨勢(shì).【設(shè)計(jì)說(shuō)明】教師用多媒體動(dòng)畫演示，學(xué)生觀察并討論.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)多媒體動(dòng)畫的演示，探索一般曲線中的切線定義，讓學(xué)生借助直觀的圖象感知和發(fā)現(xiàn)，得出：，割線趨于確定位置的直線定義為切線.結(jié)論：點(diǎn)趨近于點(diǎn)

6、時(shí)，割線趨近于確定的位置，為曲線的切線. 一般曲線的切線定義：當(dāng)點(diǎn)沿著曲線逼近點(diǎn)時(shí)，即，割線趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置上的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線.了解“以直代曲”的思想引導(dǎo)學(xué)生觀察：在點(diǎn)的附近，比更接近曲線，比更接近曲線，過(guò)點(diǎn)的切線最貼近附近的曲線因此，在點(diǎn)的附近，曲線可以用過(guò)點(diǎn)的切線近似代替“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法，是微積分學(xué)中的重要思想方法【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)動(dòng)畫演示，讓學(xué)生形象而逼真的直觀感知 “以直代曲”思想.2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：1.已知曲線上兩點(diǎn)：思考1：根據(jù)切線定義可知：，割線趨近于切線PT .那么割線的斜率與切線PT的斜率又有何關(guān)系？學(xué)生回答： 思考2：對(duì)比“時(shí)，平均變化率

7、趨近的確定常數(shù)就是瞬時(shí)變化率”，又割線的斜率對(duì)應(yīng)平均變化率，那么切線的斜率對(duì)應(yīng)什么？學(xué)生回答：切線的斜率對(duì)應(yīng)該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù). 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)兩個(gè)思考：（1）先解決割線斜率與切線斜率的關(guān)系，（2）再對(duì)照平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系，自然得出切線的斜率對(duì)應(yīng)該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率即導(dǎo)數(shù)，增加了鋪墊問(wèn)題為學(xué)生引導(dǎo)思路，便于學(xué)生較好地完成探索活動(dòng)，主動(dòng)獲得知識(shí).2.結(jié)合上面的研究過(guò)程，你能指出導(dǎo)數(shù)的幾何意義嗎？函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，即：【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生自主探究得出結(jié)論，有水到渠成的感覺(jué)，避免硬性拋出抽象概念,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.四、理解新知1.一般曲線切線

8、的定義：（1）當(dāng)點(diǎn)沿著曲線逼近點(diǎn)時(shí)，即，割線趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置上的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線.（2）了解“以直代曲”的思想：某點(diǎn)附近一個(gè)很小的研究區(qū)域內(nèi)，曲線與切線的變化趨勢(shì)基本一致，故可由曲線上某點(diǎn)處的切線近似代替這一點(diǎn)附近的曲線.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：（1）割線的斜率是： （2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，即：【設(shè)計(jì)意圖】梳理本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)，強(qiáng)化記憶，為準(zhǔn)確地運(yùn)用新知，作必要的鋪墊.五、運(yùn)用新知例1如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象.（1）用圖形體現(xiàn)，的幾何意義.（2）導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，反應(yīng)該點(diǎn)附近的曲線有何變化趨勢(shì)？（3）請(qǐng)描述、比較曲線在

9、附近增（減）以及增（減）快慢的情況.在附近呢？(1) (2)分析：函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，也就是導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，作出過(guò)該點(diǎn)的切線，可借助切線的變化趨勢(shì)得到導(dǎo)數(shù)的情況，從而得到曲線的變化情況.解：（1）表示時(shí)，曲線在該點(diǎn)切線的斜率，即：；表示時(shí)，曲線在該點(diǎn)切線的斜率，即：（學(xué)生完成畫線）【設(shè)計(jì)意圖】由具體的導(dǎo)數(shù)入手，熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幫助學(xué)生感知導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系.（2）導(dǎo)數(shù)值為正，則曲線在該點(diǎn)處得切線的斜率為正，曲線在該點(diǎn)附近單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)值為負(fù)，則曲線在該點(diǎn)處得切線的斜率為負(fù)，曲線在該點(diǎn)附近單調(diào)遞減. 【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生感知導(dǎo)數(shù)反映變化率的本質(zhì).(3) 作出曲線在這

10、些點(diǎn)處的切線，在處切線平行于軸，即，說(shuō)明在時(shí)刻附近變化率為0，函數(shù)幾乎沒(méi)有增減；在作出切線，切線呈下降趨勢(shì)，即，函數(shù)在點(diǎn)附近單調(diào)遞減；直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說(shuō)明曲線曲線在附近比在附近下降得緩慢【設(shè)計(jì)意圖】將本例設(shè)計(jì)多問(wèn)，降低了臺(tái)階分解了難度，使學(xué)生更好的理解掌握.問(wèn)題：如何用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減？結(jié)論：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，說(shuō)明在這點(diǎn)的附近曲線是上升的，即函數(shù)在這點(diǎn)附近是單調(diào)遞增；當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，說(shuō)明在這點(diǎn)的附近曲線是下降的，即函數(shù)在這點(diǎn)附近是單調(diào)遞減；當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，說(shuō)明在該點(diǎn)的附近變化率為0，函數(shù)幾乎沒(méi)有增減.【設(shè)計(jì)意圖】引領(lǐng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性分

11、析，在某點(diǎn)處由切線的“走向”分析曲線的“走向”，滲透“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想變式練習(xí)：函數(shù)上有一點(diǎn)，求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并由此解釋函數(shù)的增減情況.函數(shù)在定義域上任意點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率都是3，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.(此時(shí)任意點(diǎn)處的切線就是直線本身，斜率就是變化率)【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的求法，加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減情況應(yīng)用的認(rèn)識(shí)，也是例題結(jié)論的進(jìn)一步驗(yàn)證.例2.求在點(diǎn)處的切線方程.解： 即切線的斜率，所以，在點(diǎn)處的切線方程為即.【師生活動(dòng)】總結(jié)在曲線上某點(diǎn)切線方程的求解步驟（學(xué)生歸納總結(jié)，教師演示）（1）求出曲線在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)即切線的斜率；（2）利用點(diǎn)斜式求切線方程.練習(xí)：已知曲線上一點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1

12、，求曲線在這點(diǎn)的切線方程.學(xué)生板演，師生共同點(diǎn)評(píng).【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生獨(dú)立應(yīng)用導(dǎo)數(shù)意義求在某點(diǎn)的曲線的切線方程，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索，解決問(wèn)題的能力，并且加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解，熟練掌握幾何意義的應(yīng)用.六、課堂小結(jié)這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和方法？學(xué)生進(jìn)行開放式小結(jié)：（回顧學(xué)習(xí)的兩個(gè)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法）1.切線的定義：當(dāng)點(diǎn)沿著曲線逼近點(diǎn)時(shí)，即，割線趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置上的直線稱為點(diǎn)處的切線.2.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)的圖象在處的切線的斜率. 即：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的變化率，從圖形上來(lái)看，表現(xiàn)為切線的斜率，如果導(dǎo)數(shù)為正，則切線的斜率為正，切線呈上升趨勢(shì)，曲線在該點(diǎn)附近也是上升趨勢(shì)，函數(shù)單調(diào)增；如果導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則切線的斜率為負(fù)，切線呈現(xiàn)為下降趨勢(shì)，曲線在該點(diǎn)附近也是下降趨勢(shì)，函數(shù)單調(diào)減.數(shù)學(xué)思想方法：體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)師生共同反思，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).七、布置作業(yè)必做題：課本79頁(yè)A組1,2,5選做題：B組1,2,3八、教后反思：本節(jié)課的亮點(diǎn)：1.多媒體課件動(dòng)畫演示較好，使抽象的概念變得在圖形的直觀演示下，容易理解；2.知識(shí)得來(lái)讓學(xué)生探究得出，在教學(xué)的過(guò)程中加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生觀察能力，獨(dú)立思考能力，理解歸納能力，及數(shù)形結(jié)合能力的訓(xùn)練；3.及時(shí)對(duì)學(xué)生所取得的成績(jī)進(jìn)行肯定，從而使學(xué)生獲得成就感，增強(qiáng)