1、第六章 微分中值定理及其應(yīng)用一、填空題1.若a >0,b >0均為常數(shù)，則Hm -x ix )a +b2,2.若limx.01 acosx bsin x3.曲線y = ex在x = 0點處的曲率半徑 R =4.4x 4,，、出設(shè)y =-2 ,則曲線在拐點處的切線方程為 x5.1.(1 x)x - elim x0x6.設(shè) f (x) =x(x2 -1)(x -4),則 f '(x) =0 有區(qū)間；個根，它們分別位于7.函數(shù)f(x)=xlnx在1,2】上滿足拉格朗日定理條件的:=8.函數(shù)f(x) = x3與g(x)=1+x2在區(qū)間0,2】上滿足柯西定理條件的 1 =9.函數(shù)y

2、= sin x在0,2】上滿足拉格朗日中值定理條件的巴=x. e 10 .函數(shù)f (x) =-2的單調(diào)減區(qū)間是 ；x一 .311 .函數(shù)y =x -3x的極大值點是 ,極大值是 。12 .設(shè)f(x)=xex,則函數(shù)f(n)(x)在x=處取得極小值 。13 .已知 f (x) =x3+ax2+bx ,在 x =1 處取得極小值 -2,則2 =, b=。14 .曲線y=k(x23)2在拐點處的法線通過原點，則 k=。15 .設(shè)f (x) = n*(1 x)n(n = 1,2)，M n是f (x)在。1】上的最大值，則lim M n =。n二16 .設(shè)f (x)在x0可導(dǎo)，則f (x0) =0是f(

3、x)在點x0處取得極值的 條件；217 .函數(shù) f(x)=alnx+bx +x在*=1及* = 2取得極值，則 a =,b =；18.函數(shù)f(x)=x -X3的極小值是2一 .In x 19.函數(shù)f (x)的單調(diào)增區(qū)間為x20.函數(shù) f(x)=x+2cosx在0，： I上的最大值為13. f (x) =x3+2x+q的O點的個數(shù)為()21 .設(shè)點(1,2)是曲線y = (x -a)3 +b的拐點，則a =, b =一一 又一 一、， 22 .曲線y=e"的下凹區(qū)間為 ，曲線的拐點為 23 .曲線y=3x2 x3的上凹區(qū)間為 ；24 .曲線y = ln(1+x2)的拐點為 ；25 .曲

4、線y =ln x在點 處曲率半徑最小。一，1、，“八，26 .曲線y =x ln(e+)的漸近線為 。x二.選擇填空51 .曲線y =(x5)3十2的特點是()。A.有極值點x = 5 ,但無拐點B.有拐點(5,2)，但無極值點C. x = 5是極值點，(5,2)是拐點D.既無極值點，又無拐點2 .奇函數(shù)f(x)在閉區(qū)間一1,1上可導(dǎo)，且f'(x) WM ,則()。A. f(x)| 之 M B. f(x) > M C. f (x)| < M D. f (x) < M2 23 .已知萬程x y +y =1(y a0)確定y為x的函數(shù)，則()。a. y(x)有極小值，但無

5、極大值 b. y(x)有極大值，但無極小值C. y(x)即有極大值又有極小值D.無極值4 .若 f(x)在區(qū)間a,+8)上二階可導(dǎo)，且 f(x) = A>0, f'(a)<0, f 7x)<0 (x>a),則方程f (x) =0在(a,+s )內(nèi)()A.沒有實根B.有兩個實根C.有無窮多個實根D.有且僅有一個實根)。5 .已知f (x)在x = 0處某鄰域內(nèi)連續(xù),lim -“兇一=2 ,則在 x = 0 處 f (x)( x 1 -cosxA.不可導(dǎo) B.可導(dǎo)且f'(0)=2C.取得極大值D.取得極小值6 .設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,y)內(nèi)二階可導(dǎo)，且滿足

6、條件f(1) = f'(1)=0 , X>1時 f "(x) <0 ,則 g(x)=上兇在 1,+ co )內(nèi)()xA .必存在一點S ,使f (名)=0B .必存在一點£ ,使f '(8) = 0C.單調(diào)減少 D.單調(diào)增加f (x)7 .設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f'(0)=0, 歿)=1，則()A. f(0)是f(x)的極大值B. f (0)是f(x)的極小值C. (0, f (0)誕曲線y = f (x)的拐點d. f (0)不是f(x)的極值，(0, f (0)也不是曲線y= f(x)的拐點8 .若f(x)和g(x)在x = x

7、0處都取得極小值，則函數(shù) F(x) = f(x) + g(x)在x= x0處 ()A.必取得極小值B.必取得極大值C.不可能取得極值D.是否取得極值不確定9 .設(shè) y = y(x)由方程 x3 -ax2y2 +by3 =0確定，且 y(1) =1, x = 1 是駐點，則(),C3,53,1A. a=b=3 B. a=,b= C. a= ,b= D. a-2,b-3 222210 .曲線y =(x1)2(x3)2的拐點的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.311 . f(x),g(x)是大于 0 的可導(dǎo)函數(shù)，且 f'(x)g(x) f (x)g'(x) <0,則當(dāng) a <

8、; x< b 時 有()A. f(x)g(b) > f (b)g(x)B. f (x)g(a) > f(a)g(x)C. f(x)g(x) f (b)g(b)D. f (x)g(x) f (a)g(a)1 2x2 x 1 ,12.曲線 y =ex arctan-的漸近線有()x-1 x 2A. 1條 B.2條 C.3條 D.4條A. 1B.2C.3d.個數(shù)與q有關(guān)1x 二一14.曲線t則曲線（）b =-t 1A.只有垂直漸近線B.只有水平漸近線C.無漸近線D.有一條水平漸近線和一條垂直漸近線sinx15 .設(shè) y = f （x）為 y +y e =0的解，且 f （沏）=0,

9、則 f （x）有（）A. Xo的某個鄰域內(nèi)單調(diào)增加B. X0的某個鄰域內(nèi)單調(diào)減少C. x0處取得極小值D. X0處取得極大值16 .羅爾定理中的三個條件；f （x）在a,b上連續(xù)，在（a, b）內(nèi)可導(dǎo)，且f （a） = f （b）是f（x）在（a,b）內(nèi)至少存在一點 之使得f'）= 0成立的（）.（A）必要條件（B）充分條件（C）充要條件（D）既非充分也非必要17 .下列函數(shù)在1,e上滿足拉格朗日中彳1定理條件的是().,八 1(A) ln(ln x);(B) ln x ;(C);(D) ln2-x);ln x18 .若f (x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且Xi,X2是(a,b)內(nèi)任意

10、兩點，則至少存在一點 上使得下 式成立().(A) f(x2) -f(x1)=便 Ff ( )(a,b);(B) f(x1)一 f(X2)=(Xi -X2)f()Xi：二：二X2(C) f(X1) - f (X2)= (X2 - Xi) f()XiX2(D) f(X2) - f (Xi)= (X2 ")f()Xi二，：X219 .設(shè)y = f （x）是（a,b）內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，x,x+Ax是（a,b）內(nèi)的任意兩點，則（）.(A) y = f (x) x(B)在x,x+Ax之間恰有一個 之使得Ay =K)Ax(C)在x,x +Ax之間至少存在一點 J使得Ay = f t)Ax(D)對于x

11、與x + Ax之間的任一點，均有y=f«)Ax20 .若f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且對(a,b)內(nèi)任意兩點不？2恒有 f(x2) -f(xi) W(x2 xi)2,則必有().(A) f(x)=0(B) f(x)=x(C) f(x)=x(D) f(x)=c (常數(shù))21 .已知函數(shù) f (x) =(x 1)(x 2)(x 3)(x4)，則方程屋)=0有().(A)分別位于區(qū)間(1,2),(2,3),(3,4)內(nèi)的三個根； (B)四個根，它們分別為xi =1,x2 =243 =3x4 = 4;(C)四個根，分別位于(0,1), (1,2),(2,3),(3,4);(D)分別位于

12、區(qū)間(1,2),(1,3), (1,4)內(nèi)的三個根；22 .若f(x)為可導(dǎo)函數(shù) J為開區(qū)間(a,b)內(nèi)一定點，而且有f(U) >0,(x )f'(x)至0,則 在閉區(qū)間a,b上必總有().(A) f (x) < 0(B) f (x) < 0(C) f (x) - 0(D) f (x) 0232._23 .若 a -3b <0,則萬程 f(x) = x +ax +bx + c=0().(A)無實根 (B)有唯一實根 (C)有三個實根 (D)有重實根24 .若 f(x)在區(qū)間a,收上二次可微，且 f(a) = A>0, f'(a) <0, f“

13、(a)E0 (xa),則 方程 f (x) =0在a,+-c±().(A)沒有實根 (B)有重實根(C)有無窮多實根(D)有且僅有一個實根25 .設(shè)lim 3 為未定型，則1而 *1存在是1而上區(qū) 也存在的().x 吸 g(x)x >x° g (x)x >x° g(x)(A)必要條件 (B)充分條件 (C)充要條件(D)既非充分也非必要條件26.指出曲線3 -x2的漸近線().(A)沒有水平漸近線，也沒有斜漸近線(B) x = J3為垂直漸近線，無水平漸近線 (C)既有垂直漸近線，又有水平漸近線27曲線y = e：1x2(D)只有水平漸近線x2，x T

14、 .，一 .arctan的漸近線有().(x-1)(x 2)(A) 1 條；(B) 2 條；(C) 3 條；(D) 4 條1二28.函數(shù) f(x) = acosx cos2x在 x= 取得極值，貝U a =( 231(A) 0 ；(B)2 ；(C) 1 ;(D) 2 。29.下列曲線集郵水平漸近線，又有垂直漸近線的是()。(A)si r2xf (x);x x(B)f(x)x -1e2(C) f (x) =l r3-) ;(D) f(x)=xej。x30. lim x1。=()。x 1(A) 1 ;(B) e,；(C) e ；(D)二三、計算題1.試討論下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)是否存在一點士使得f&

15、#39; (E )=0：1 c，、 xsir 一 ,0 :(1) f(x)= x x0, x = 0;(2) f(x)=|x|,-|<x<|.2.求下列不定式極根：ex -1網(wǎng)sirx1-2sinx(2) lim；x >x cosx61r(1 x) -x(3) lim Lx 0 cosx -1tgx - x(4) ximd3.(5)(9)limx)2tgx-6Jsecx 5lim (tgx) sinx; x”12工lim (1 x )x ；x,11 、(6)呼丁一);1(8) lim x1-x；x ：1(10)lim sin xln x ；x_0 -1) xime一系);(1

16、2)則(號產(chǎn)求下列不定式極限：.lncos(x -1)(1) lim；x 1x1 sin2(2) im ( 冗-2arctgx)ln x ；(4)sin xlim xx 0 -limx(tgx產(chǎn)xx ,4ln(1x)(1 x) 1(6)、. ， ，1、粵(Ctgx -x31(1 x)x -e lim x 0 x(8)JIlim (- -arctgx)1lnx4 .求下列函數(shù)在提定點處帶拉格朗日型余項的泰勒公式(1) f(x)=x 3+4x2+5,在 x=1 處；1 »(2) f(x)=,在 x=0 處；1 x(3) f(x)=cosx的馬克林公式.5 .求下列函數(shù)帶皮亞諾型余項的馬克

17、勞林公式：(1) f(x)=arctgx 到含 x5 的項;(2) f(x)=tgx 到含 x5 的項.6 .求下列極限：exsinx - x(1 x) 呵h一;21021n(1?;1,1,、(3)ximo x (x -ctgx).7 .估計下列近似公式的絕對誤差x3、“1(1) sin x 忠 x ，當(dāng) | x|E一；622 x x(2)小 +x 之 1 + ,當(dāng) xC 0,1.288 .計算：數(shù)e準確到10-9;(2)lg11 準確到 10-5.1 .確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1) f(x)=3x-x 3;(2) f(x)=2x 2-lnx; f(x)= 2x - x2x2 -1(4) f(

18、x)=x9.求下列函數(shù)的極值.(1) f(x)=2x 3-x4;2x(2) f(x)=V;(3)f(x)=3-;x(4) f(x)=arctgx - ln(1+x2).210 .求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值(1) y=x5-5x4+5x3+1,-1,2;(2) y=2tgx-tg 2x, 0,;2 y= Vx lnx, (0,+ 川.11 .把長為1的線段截為兩段，問怎樣截法能使以這兩段線為邊所組成的矩形的面積為最大？12 . 一個無蓋的圓柱形容器，當(dāng)給定體積為 V時，要使容器的表面積為最小，問底的半徑與 容器的高的比例應(yīng)該怎樣 ？13 .設(shè)用某儀器進行測量時，讀得n次實驗數(shù)據(jù)為a1

19、,a2,，an.問以怎樣的數(shù)值x表達所要測量 的真值，才能使它與這 n個數(shù)之差的平方和為最?。?4 .求下列函數(shù)的極值：2(1) f(x)=|x(x 2-1)|;x(x 1)23(2) f(x)=-2； (3) f(x)=(x-1) (x+1).x -x 115 .設(shè)f(x)=alnx+bx 2+x在x1=1,x2=2處都取得極值；試定出a與b的值;并問這時f在x1與x2 是取得極大值還是極小值 ？16 .求正數(shù)a,使它與其倒數(shù)之和為最小.17 .要把貨物從運河邊上 A城運往與運河相距為 BC=a千米的B城(見圖7-1).輪船運費的單 價是a元/千米.火車運費的單價是 3元/千米(3 >

20、 a ),試求運河邊上的一點 M,修建鐵路 MB, 使總運費最省.18 .確定下列函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點 y=2x 3-3x2-36x+25;(2) y=x+ -; x y=x 2+ 1; x(4) y=ln(x 2+1);19.問a和b為何值時，點(1,3)為曲線y=ax3+bx3的拐點？四、證明題1.證明：(1)方程(2)方程x33x+c=0 (這里C為常數(shù))在區(qū)間0, 1內(nèi)不可能有兩個不同的實根； xn+px+q=0(n為自然數(shù)，p, q為實數(shù))當(dāng)n為偶數(shù)時至多有兩個實根；當(dāng) n為奇數(shù)時至多有三個實根。2.3.證明：(1)若函數(shù) f 在a, b上可導(dǎo)，且 f'(x)>m,則

21、f(b) >f(a)+m(b-a); (2)若函數(shù) f 在a,b上可導(dǎo)，且 |f'(x)|WM,則 |f(b)-f(a)| w M(b-a)； (3)對任意實數(shù) x1,x2，都有 |sinx-sinx2|w |x1-x2|.應(yīng)用拉格朗日中值定理證明下列不等式：(1)(2)b - abh1 h2(b b -a<1n <,其中 0<a<b;a a<arctgh<h ,其中 h>0.4.f在a,b上可導(dǎo)。證明：存在 W C (a,b),使得 2E f(b)-f(a)=(b 2-a2)f % ).5.設(shè)函數(shù)在點a具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。證明:lhmo

22、f (a h) f(a -h) -2f (a)h2f''(a).6.試討論函數(shù)f(x)=x 2,g(x)=x 3在閉區(qū)間-1 , 1上能否應(yīng)用柯西中值定理得到相應(yīng)的結(jié)論，為什么?7.設(shè) 0< a <3<：,試證明存在0 C (a,b),使得sin a -sin : xcosP-cosa=Ctge.8 .設(shè)h>0,函數(shù)f在a-h,a+h上可導(dǎo)。證明：(1) f(a 4h) 7a h) =f'(a+8h)_f (a -8h) ， 9C (0, 1)；h(2) f(a+h)-f(a)+f(a -h) =f-(a+0h)-f'(aflh), 3(

23、0 h9 .以S(x)記由(a,f(a) ,(b,f(b),(x,f(x)三點組成的三角形面積，試對證明拉格朗日中值定理。10 .若函數(shù)f, g和h在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，證明存在實數(shù)1).S(x)應(yīng)用羅爾中值定理士£ (a,b),使得f(a) f(b) f()g(a) g(b) g'G)h(a)h(b) =0.h'(9再從這個結(jié)果導(dǎo)出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。11 .設(shè)f為a,b上二階可導(dǎo)函數(shù)，且 f(a)=f(b)=0,并存在一點cC ( a,b)使得f(c)>0.證明至少 存在一點 七C (a,b),使得f飛七)<0.12 .證明達

24、布定理：若f在a,b上可導(dǎo)，且f'(a)w f'(b),k為介于f'與f'(b)之間的任一實 數(shù)，則至少存在一點七C (a,b),使得f'(E )=k.13 .設(shè)函數(shù)f在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 V單調(diào)。證明在(a,b)內(nèi)連續(xù)。14 .證明：設(shè)f為n階可導(dǎo)函數(shù)，若方程 f (x) =0有n+1個相異實根，則方程f(x)=0至少 有一個實根。15 .設(shè)p(x)為多項式，a為p(x)=0的r重實根。證明 ：a必定是p/ (x)=0的r-1重實根。16 .證明：(1)設(shè) f 在(a,+8)上可導(dǎo)，若 lim f(x)和 lim f (x)都存在，則 lim f (

25、x) =0； x j 二x j ;x_.k(2)設(shè)f在(a,+8)上n階可導(dǎo).若Jimf；x)和J (x)者B存在，則k ,、lim f (x) =0,(k=1,2,，n)。x_)二f(a h) f(a -h)-2f(a)=f'(a)17 .設(shè)函數(shù)f在點a的某個鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，試應(yīng)用羅比塔法則證明h218.對函數(shù)f在區(qū)間f(x)-f(0)=f0,x上應(yīng)用拉格朗日中值定理有試證對下列函數(shù)都有l(wèi)imx 019.20.(1) f(x)=ln(1+x);(9 x)x, 9 e (0,1).1;2(2) f(x)=e x.設(shè)f(0)=0,f /在原點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且V (0)=0.證

26、明:lim xf(x) = 1.x 0 -證明定理6.5中x取的=0-場g(x)=°情形時的羅比塔法則若(i)lim 僅=0, lim (x) = 0x )二二x 二二(ii)存在Mo>0,使得f與g在(M0,+ 0°)內(nèi)可導(dǎo)，且g/ (x) w 0;(iii)lim f (x) = lim f (x) =A (A為實數(shù) 也可為±8或oo，則 二二g'(x)-二g'(x)lim 叱=lim -XT , g(x)x-1 '(f(x)g'(x)21 .證明:f(x) =x3e為有界函數(shù).22 .應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明下列不等式3“、

27、x -小冗、(1) tgx>x- -,x (0,-);33_ 2x_ 冗、(2) :二 sinx :二 x,x (0 )；冗222x -(3) x -：；| n(1 x) ： x - ,x . 022(1 x)23.設(shè)x4sin2 , x = 0, f(x) = x.0,x u0(1)證明:x=0是函數(shù)f的極小值點；(2)說明在f的極小值點x=0處是否滿足極值的第一充分條件或第二充分條件24 .證明：設(shè) f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f(x)在 x=b 連續(xù)，則當(dāng) f 1r(x) R0(a<x<b)時，對一切 xC (a,b)有 f(x) <f(b),當(dāng) f '(

28、x) w 0(a<x<b)時對一切 xC (a,b)有 f(x) >f(b).25 .證明:若函數(shù)f在點x°處有f,+(x0)<0(>0),f (x0)>0(<0),則x0為f的極大(小)值點.26 .證明：若函數(shù)f,g在區(qū)間a,b上可導(dǎo)，且f'(x)> g'(x), f(a)=g(a),則在(a,b】內(nèi)有f(x)>g(x).27 .證明：tgx A x , xef0,；x sinx2 J28 .證明：(1)若f為凸函數(shù)，入為非負實數(shù)，則入f為凸函數(shù)；(2)若f、g均為凸函數(shù)，則f+g為凸函數(shù)；(3)若f為區(qū)間I上

29、凸函數(shù),g為Jn f(I)上凸的遞增函數(shù)，則gof為I上凸函數(shù).29 .設(shè)f為區(qū)間I上嚴格凸函數(shù) 證明:若XoC I為f的極小值點，同x0為f在I上唯一的極小值 與 八、.30 .應(yīng)用凸函數(shù)概念證明如下不等式：a b/一11a b(1)對任意實數(shù)a,b,有e2 <-(e+e);2(2)對任何非負實數(shù)a,b,有c , Q + b+上2arctg ? arctga+arctgb.31 .證明:若f.g均為區(qū)間I上凸函數(shù)，則F(x)=maxf(x),g(x)也是I上凸函數(shù).32 .證明:(1)f為區(qū)間I上凸函數(shù)的充要條件是對I上任意三點x1<x2<x3,恒有1x1f(x1) =1x

30、2f(x 2)>0.1x3f(x 3)(2)f為嚴格凸函數(shù)的充要條件是對任意x1<x2<x3,A >0.33.應(yīng)用詹禁不等式證明：a1a2 -an(1)設(shè) a>0(i=1,2,n),有1蘆1三n 艇an三12na a a(2)設(shè) ai,bi>0(I=1,2,n),有P 1 J q 1a )一(二.bi )-P P i4811其中 P>0,q>0,=1.五、考研復(fù)習(xí)題1.證明：若f(x)在有限開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且lim f(x)= 項f(x)，則至少存在一點E ex_a _x_b _a,2.b),使 f'(E )=0.證明：若x>

31、;0,則.1.12 Kx Xx)淇中一HXx) ;421.1叫Mx)=4,!im(x)=2.3.設(shè)函數(shù)f在a,b上連續(xù)設(shè)(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且ab>0證明存在 工£ (a,b),使得a -b f(a) f(b)=f( ) - f ().4.設(shè)f在a,b上三階可導(dǎo)，證明存在 七C(a,b),使得f(b) = f(a) 1(b -a)f (a) f (b) -1(b- a)3f ().2125.對f(x)=ln(1+x)應(yīng)用拉格朗日中值定理，證明對x>0有6.0 :二 1ln(1 x) x1 :： 1 .證明：若函數(shù)f在區(qū)間a,b上恒有f "(x)>0,則對(a,b)內(nèi)任意兩點xi,x2，都有f(x1) f(x 2) fI2Xi x22其中等號僅在Xi=X2時才成立.7.證明：第6題中對(a,b)內(nèi)任意n個點X1,X2，Xn也成立1 /f(x k) -f n 7f 1乙Xkn其中等號也僅在 X1=X2=Xn時才成立。8.應(yīng)用第7題的結(jié)果證明：對任意 n個正數(shù)X1,X2，,Xn恒成立x1 x2，xn > QXiX2，,. Xn ,即算術(shù)平均值不小于幾何平均值。9.設(shè)a1,a2,，an為n個正實