1、 高一年級數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)研究學(xué)習(xí)主題：平面向量在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用適用年級：高一全級教 師：郝 斌目 錄課題研究背景1研究目標(biāo)1研究方法2研究成果。（小論文）21 平面向量的基礎(chǔ)知識21.1向量的幾何表示21.2平面向量的坐標(biāo)表示31.3向量的運算3加法運算3減法運算4數(shù)乘運算4坐標(biāo)運算4向量的數(shù)量積51.4平面向量的基本定理52 平面向量應(yīng)用舉例62.1平面向量在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用6平面向量在三角公式中的應(yīng)用6向量法在平行問題中的應(yīng)用72.2 應(yīng)用向量法解決一些解析幾何問題10求體積10求點的坐標(biāo)10求直線的方程11平面向量在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用指導(dǎo)老師：郝斌課題組長：王強小組成員：高一全體同學(xué)班級

2、：高一（1）、（3）、（4）、（7）班課題研究背景在高中數(shù)學(xué)新課程教材中，學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量在前，學(xué)習(xí)解析幾何在后，而且教材中二者知識整合的不多，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中就“平面向量”解平面向量題，不會應(yīng)用平面向量去解決解析幾何問題。用向量法解決解析幾何問題思路清晰，過程簡潔，有意想不到的神奇效果。著名教育家布魯納說過：學(xué)習(xí)的最好刺激是對所學(xué)材料的興趣，簡單的重復(fù)將會引起學(xué)生大腦疲勞，學(xué)習(xí)興趣衰退。這充分揭示方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學(xué)，必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，減輕負擔(dān)。平面向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，也是新高考的一個亮點。 向量知識、向量觀點在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，它具

3、有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形與一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的的許多主干知識綜合，形成知識交匯點。而在高中數(shù)學(xué)體系中，解析幾何占有著很重要的地位，有些問題用常規(guī)方法去解決往往運算比較繁雜，不妨運用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則會大大簡化過程。研究目標(biāo)通過研究性學(xué)習(xí)來了解向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用和地位，知道向量這種新的方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，以及學(xué)習(xí)這種方法來更方便簡潔的解決數(shù)學(xué)問題。從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更容易的掌握學(xué)習(xí)技巧和方法。研究方法1、 查閱資料。通過查閱資料來了解平面向量的用途及向量方法，學(xué)習(xí)這種數(shù)學(xué)思想。2、 自主探討。分組討論來解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)這種思想方法。3、

4、老師引導(dǎo)。通過老師的引導(dǎo)通過向量的方法解決一些較難的數(shù)學(xué)問題。 研究成果。（小論文）1 平面向量的基礎(chǔ)知識1.1向量的幾何表示具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點，B為終點的有向線段記作AB。（AB是印刷體，也就是粗體字母，書寫體是上面加個）有向線段AB的長度叫做向量的模，記作|AB|。有向線段包含3個因素：起點、方向、長度。相等向量、平行向量、共線向量、零向量、單位向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，記作a/b，零向量與任意向量平行，即0/a，在向量中共線向量就是平行向量，（這和直線不同，直線共線就是同一條直線了，而向量共線就

5、是指兩條是平行向量） 長度等于0的向量叫做零向量，記作0。零向量的方向是任意的；且零向量與任何向量都垂直。長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量。 1.2平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a=xi+yj我們把（x，y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a=（x，y），其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)唯一表示。1.3向量的運算1.3.1加法運算向量加法的定義已知向量a、b，在平面上任

6、意取一點A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，則向量AC叫做a與b的和，記做a+b，即a+b=AB+BC=ACABBCAC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。（首尾相連，連接首尾，指向終點）已知兩個從同一點O出發(fā)的兩個向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。對于零向量和任意向量a，有：0aa0a。|ab|a|b|。向量的加法滿足所有的加法運算定律。1.3.2減法運算AB-AC=CB,這種計算法則叫做向量減法的三角形法則。（共起點，連終點，方向指向被減向量） 與a長度相等，方向相反的向

7、量，叫做a的相反向量，(a)a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a(a)(a)a0（2）aba(b)。1.3.3數(shù)乘運算實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作a，|a|a|，當(dāng) > 0時，a的方向和a的方向相同，當(dāng) < 0時，a的方向和a的方向相反，當(dāng) = 0時，a = 0。設(shè)、是實數(shù)，那么：（1）()a = (a)（2）( + )a = a + a（3）(a ± b) = a ± b（4）()a =(a) = (a)。向量的加法運算、減法運算、數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算。1.3.4坐標(biāo)運算已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（

8、x1i+y1j）+（x2i+y2j）=(x1+x2)i+(y1+y2)j即 a+b=（x1+x2，y1+y2）。同理可得 a-b=（x1-x2，y1-y2）。這就是說，兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。由此可以得到：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)。根據(jù)上面的結(jié)論又可得若a=(x,y),則a=(x,y)這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。 1.3.5向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a、b，那么|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作ab，是a與b的夾角，|a|cos （|b|cos ）叫做向量a在b方向上（b

9、在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積。兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2向量的數(shù)量積的性質(zhì)(1)a·a=a20(2)a·b=b·a(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)(4)a·(b+c)=a·b+a·c(5)a·b=0<=>ab（6）a=kb<=>a/b（7）e1·e2=|e1|e2|cos=co

10、s 1.4平面向量的基本定理如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a= *e1 *e2,(+=1）。2 平面向量應(yīng)用舉例2.1平面向量在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用2.1.1平面向量在三角公式中的應(yīng)用 （1)正弦定理的向量法證明在任意ABC中，a,b,c分別為A ，B，C對邊，則 證明：如圖1所示，作CDAB于D ， 因為向量在向量上的射影都是，即=bsinA，=bsinA，所以有，利有同樣的方法，分別作BC，CA的垂線，可以得到， 。即可以等到。 （2）余弦定理的向量法證明在任意ABC中，a,b,c分別為A ，B，C對邊，則a2=b2+c2-2bc

11、cosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。在證明這個定理這前先給出一個記號：向量在向量上的射影記為：。證明：在ABC中，由向量的射影定理等到： ；所以有:地 (1)同理要證得： (2) (3)再由：(1)×a-(2)×b-(3)×c得到：a2=b2+c2-2bccosA同理可以得到；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。上述向量法證明正（余）弦定理，不必區(qū)分銳角、鈍角、直角三角形，從而大大簡化了證明過程， 2.1.2向量法在平行問題中的應(yīng)用例1：兩個向量，共線的充要條件是。證明： (必要性)當(dāng)，共線

12、時(包括或為零向量的情形)，則，=00或1800，由公式|×|=|sin，得到：|×|=0,從而。 (充分性)當(dāng)時，那么由|×|=|sin，知：=或=或，因為零向量可以看成與任何向量共線，所以總有。例2：向量，分別是直線l1,l2的方向向量，判斷直線l1,l2的位置關(guān)系。不妨設(shè)：=(1，-1，3)；=(4，-4，12)解：因為=(4，-4，12)=4(1，一1，3)=4，所以，即l1l2。例3：用向量法證明梯形兩腰中點連線平行于上、下兩底邊且等于它們長度和的一半。證明：如圖，在梯形ABCD中,連接BD并取BDAB的中點為O，連結(jié)EO、FO,= ， = ，OEF，E

13、OAD、OFBC、BCAD EOOF，即O、E、F共線，又 ，所以有DC 2.2向量法在垂直問題中的應(yīng)用1)：向量 =( ，)； =( ，)相互垂直的充要條件是。證明：(必要性)當(dāng)向量，有一個為零向量時，結(jié)論顯然成立。下面證明，都不為零向量時，結(jié)論成立。向量，相互垂直，則=900，根據(jù)= ，得到 。(充分性)因為。則，得900，即可以得到相互垂直。A2)平行四邊形成為菱形的充要條件是對角線互相垂直。BODC證明：因為，、即ACDB。 ACDB即、則為菱形。3) 勾股定理的向量法證明如圖，在Rt，證明：。C證明：在Rt中，對上述等式兩邊平方得：。由解析幾何（1）中兩個向量數(shù)量積的定義得到：BA因為 ，所以，即，即結(jié)論成立。 向量法是借助向量的幾何意義，把問題轉(zhuǎn)化為向量的計算，通過向量計算來達到求解的目的，用向量法去解決幾何問題，一方面能體現(xiàn)向量的應(yīng)用性，另一方面有助于學(xué)習(xí)者在應(yīng)用中加深對向量知識的理解與掌握。2.2 應(yīng)用向量法解決一些解析幾何問題 2.2.1求體積 已知四面體ABCD的頂點坐標(biāo)、。求它的體積。解：由初等幾何知，四面體ABCD的體積V等于以AB、AC和AD為棱的平行六面體的六分之一，因此，而，故，從而 本題利用混合積的幾何意義來求四面體的體積，方法簡捷。 2.2.2求點的坐標(biāo)例：已知的三個頂點，求頂點D的坐標(biāo)。解：設(shè)點D的坐標(biāo)為,則，因為ABCD為平行四邊形，固有，得