1、大家好，歡迎收看線性代數(shù)習(xí)題課 。 我們?cè)谡n堂上學(xué)習(xí)了兩個(gè)非常重要的概念 ，線性空間和線性子空間 。 那么我們來一起回顧一下什么是線性空間呢 ？當(dāng)我們討論一個(gè)空間的時(shí)候 ，我們實(shí)際上是看一個(gè)集合 ，那這個(gè)集合中將含有很多元素 ，要成為一個(gè)線性空間的話這些元素要滿足兩個(gè)條件，第一，如果你對(duì)其中任何一個(gè)元素乘以一個(gè)常數(shù)的話 ，那么得到的結(jié)果還應(yīng)該在這個(gè)集合中 。第二，如果你選取集合中的任何兩個(gè)元素對(duì)它們求和的話 ，結(jié)果還應(yīng)該在此集合中 。 如果這兩個(gè)條件同時(shí)滿足的話 ，那么這個(gè)集合就成為一個(gè)線性空間。在線性空間中 ，如果你可以找到一個(gè)子集使得該子集對(duì)于兩個(gè)條件也同時(shí)滿足的話，那么這個(gè)子集就將成為該

2、線性空間的線性子空間。今天我們要用這道例題來復(fù)習(xí)這兩個(gè)非常重要的性質(zhì)。我們來看 X1和X2都是 R3中的兩個(gè)列向量 ， 我已經(jīng)在這個(gè)圖片中畫出x1 在這里，讓我來解釋一下什么叫做X1生成的線性子空間 。X2在這里，那么我們要做的是首先要找出X1生成的線性子空間 ，記為 V1。實(shí)際上我們就是要找一個(gè)最小的線性子空間， 使得 X1包含在該線性子空間中 。同樣我們也要找到 x2生成的線性子空間 ，記為 V2。隨后我們要來考慮一下 V1和V2的交集 。我們要來討論一下 V1和 V2的交集是不是也構(gòu)成一個(gè)線性子空間 。這是第一個(gè)問題 。第二個(gè)問題我們要把 X1和X2放在一起考慮 ，我們要考慮 X1和 X

3、2生成的線性子空間 ，記為 V3。那么一個(gè)很自然的問題就應(yīng)該是 V3是不是就等于 V1和V2的并集呢 ？在我們解決這些問題之后我們還要找到 V3中的一個(gè)線性子空間記為 S，使得 X1和 X2均不為 S中的元素 。 這就是第二道問題 。最后我們要來看一下當(dāng)然 XY平面也是 R3的一個(gè)線性子空間 ，所以最后一個(gè)問題我們?nèi)匀皇强碫3與XY平面的交集 。兩個(gè)線性子空間的交集 ，現(xiàn)在請(qǐng)你暫停這個(gè)視頻 ，嘗試獨(dú)立求解 ，我將隨后回來完成這個(gè)圖片 。 好，你找到這些線性子空間了嗎 ？一個(gè)非常方便的方法就是在這個(gè)圖片中 ，畫出這些線性子空間 。我們先來從第一個(gè)問題開始 ?，F(xiàn)在我們要找到向量 x1 生成的線性子

4、空間 ，來回憶線性空間的第一個(gè)條件 ，我們需要對(duì) X1乘以任意一個(gè)常數(shù)結(jié)果還應(yīng)該維持在該線性子空間中 。那么也就是說我們至少應(yīng)該包含一整條經(jīng)過 X1的直線，所以我們現(xiàn)在把這個(gè)直線畫出 ，你可以簡(jiǎn)單的將 X1 向正反兩個(gè)方向同時(shí)延伸 ， 希望我畫出的線是直的 。 那么這條直線包含 X1，這條直線至少應(yīng)該在我們線性子空間 V1中。下面再來看看 V1中除了這條直線以外還有沒有其他的元素。那么我們需要考慮第二個(gè)條件也就是說，在對(duì)任意兩個(gè)元素求和的時(shí)候 ，所得結(jié)果并不離開該集合。那么如果你對(duì)任意直線上的兩點(diǎn)求和，很顯然你所得到的點(diǎn)還應(yīng)該在這條直線上，也就是說這條直線本身就已經(jīng)滿足了線性子空間的兩個(gè)條件

5、，那很顯然 ，這就是我們要找的 X1生成的線性子空間 V1。同樣我們可以對(duì) X2進(jìn)行一樣的操作 。 向X2的正反兩個(gè)方向延伸 ， 那么這一條直線就是包含 X2的直線，同樣的這條直線也構(gòu)成了一個(gè)線性子空間，也就是 X2所生成的線性子空間記為V2。好下面我們來看 V1和V2的交集是什么 ？ 很顯然 V1和V2是R3中的兩條直線 ，并且它們肯定不平行 ，因?yàn)?X1和X2肯定不平行的 ，那么 V1和 V2的交集就只有可能是它們唯一相交的一點(diǎn) ，那么 V1和 V2在哪里相交呢 ？很顯然 V1經(jīng)過原點(diǎn) ，這是一個(gè)單點(diǎn)集 ，這個(gè)集合只有一個(gè)元素也就是 0，0元素，V2也經(jīng)過原點(diǎn) ，那么這個(gè)唯一的交集就應(yīng)該為

6、原點(diǎn) 。原點(diǎn)。好現(xiàn)在我們來看這個(gè)集合構(gòu)不構(gòu)成一個(gè)線性子空間呢？通常我們說形容一個(gè)空間的時(shí)候 ，我們通常會(huì)想象該空間中應(yīng)該有很多元素 ，但是這里只有一個(gè)元素 ，但即使是如此這個(gè)集合滿足線性空間所需要的兩個(gè)條件，我們可以看你用原點(diǎn) 0元素乘以任何常數(shù) ，你還是得到 0，那么 0加上 0也同樣是 0，也就是說即使這個(gè)集合只有一個(gè)元素 ，它同樣也構(gòu)成了 R3中的一個(gè)線性子空間 。這就完成了第一道問題 。 下面我們來看第二個(gè)問題，第二個(gè)問題我們要考慮 X1和X2同時(shí)生成的線性子空間記為V3，我們首先來看 V3是不是就等于 V1與 V2的并集？一個(gè)簡(jiǎn)便的辦法就是說，來看 V1和 V2構(gòu)不構(gòu)成一個(gè)線性子空間

7、 ？所以我們現(xiàn)在來考慮 ， V1和V2的并集 。來對(duì) V1并 V2檢驗(yàn)?zāi)莾蓚€(gè)條件 ，首先你對(duì)其中任何一個(gè)元素乘以任何一個(gè)常數(shù)的話，看起來確實(shí)是不離開這個(gè)并集的，因?yàn)樵撛匾丛?V1上，要么在 V2上，再乘以任何一個(gè)常數(shù)的話還應(yīng)該在 V1或V2上 。所以第一個(gè)條件實(shí)際上是滿足的 ，但是我們來看第二個(gè)條件 ，第二個(gè)條件說我們對(duì)任意兩個(gè)元素求和的話 ，和也一樣要在該集合中 ，那么 V1并V2滿不滿足這個(gè)條件呢 ？來看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子 X1加X2， 所以 X1加X2等于什么呢 ？我們對(duì)那兩個(gè)向量的各個(gè)坐標(biāo)求和，它應(yīng)該等于 2,5,3，我們還可以將這個(gè)和在這個(gè)圖片中畫出， 它大概的位置應(yīng)該是在這里。好這

8、就是 X1加上 X2。 很顯然的 ， 這個(gè)點(diǎn)已經(jīng)遠(yuǎn)離了 V1并V2，所以這個(gè)和是并不在 V1并V2中的 。 這就說明 V1和 V2并不構(gòu)成一個(gè)線性子空間 ，那么 X1， X2生成線性子空間一定不等于 V1并 V2?，F(xiàn)在我們來研究到底什么應(yīng)該是 V3？ V3是由 X1， X2生成線性子空間 ，由如上的論證看出 ，至少 V3應(yīng)該包含于類似于這樣對(duì)角線的元素 ，但是事實(shí)上因?yàn)槲覀兛梢赃x取任意 V1和V2上的點(diǎn)做求和 ，它實(shí)際上包含的是整個(gè) V1與V2生成的平面 ，也就是說實(shí)際上我們看到的應(yīng)該是這個(gè)無限大的平面。這才應(yīng)該是我們要找的 V3。 這個(gè)結(jié)果很自然你在三維空間中觀察兩條直線 ，這兩條直線相交于

9、原點(diǎn) ，那么它們所生成的線性子空間 ，很正常的應(yīng)該是 ，包含這兩條直線的平面 ，這就是 V3。好現(xiàn)在我們要找到的就是V3中的一個(gè)線性子空間 S， 使得 X1并不屬于 S，其實(shí)如果你觀察這個(gè)圖片的話 ， 結(jié)果已經(jīng)很顯然了 ，我們就可以利用X2也不屬于 S， 我們能不能找到這樣一個(gè)線性子空間呢 ？這個(gè)向量來張成一個(gè)子空間，很顯然這個(gè)向量在 V3中那么它生成的線性子空間也一定包含于V3中。下面我們來看這個(gè)向量張成的線性子空間 ，同理，你如果向正反兩個(gè)方向延伸這個(gè)向量的話 ，所得到的這條直線 ，經(jīng)過原點(diǎn)的直線 ， 就是我們所要找到的線性子空間記為S。但是很顯然 ，X1不屬于 S， X2也不屬于 S，這

10、就是我們所要找到的 S。S是V3的一個(gè)線性子空間 ，下面我們可以看最后一個(gè)問題。 最后一個(gè)問題是要研究 V3這個(gè)平面與兩個(gè)平面相交的結(jié)果應(yīng)該是什么呢 ？很顯然兩個(gè)平面相交應(yīng)該得到一條直線 ，XY平面的交集 。 那么在 3D空間中，那如何找到這個(gè)直線呢 ？換句話說我們要找到一條直線 ，使得它同時(shí)在 V3與 XY平面中，來觀察 XY平面中的點(diǎn) ，它所具有的性質(zhì)就是Z坐標(biāo)應(yīng)該為零 。那么如果你在觀察 V3這個(gè)由 X1和X2張成的線性子空間的話 ，你很容易觀察到 X2這個(gè)向量 顯然在 V3中，但同時(shí)它的 Z坐標(biāo)也為零 ， 所以 V3交就等于 V2，好這就是答案 ，我們看到XY平面的話 ， 就應(yīng)該由 X2所 張成的線性子空間給出 ，