1、第一章第一章 概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)（中級(jí)）概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)（中級(jí)）上海質(zhì)量教育培訓(xùn)中心上海質(zhì)量教育培訓(xùn)中心2005年年第一節(jié)第一節(jié) 概率基礎(chǔ)知識(shí)概率基礎(chǔ)知識(shí)一、事件與概率一、事件與概率（一）隨機(jī)現(xiàn)象（一）隨機(jī)現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象。的現(xiàn)象。 特點(diǎn)特點(diǎn) 隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè) 至于哪一個(gè)出現(xiàn)，人們事先并不知道至于哪一個(gè)出現(xiàn)，人們事先并不知道 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) 認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，首要的是能羅列出認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，首要的是能羅列出它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。這里的基本它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。這里的基本結(jié)

2、果是今后的抽樣單元即樣本點(diǎn)。結(jié)果是今后的抽樣單元即樣本點(diǎn)。 樣本空間：記為樣本空間：記為 隨機(jī)現(xiàn)象可能樣本點(diǎn)的全部稱為這個(gè)隨隨機(jī)現(xiàn)象可能樣本點(diǎn)的全部稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間。機(jī)現(xiàn)象的樣本空間。（二）隨機(jī)事件（二）隨機(jī)事件 事件（隨機(jī)事件）：隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組事件（隨機(jī)事件）：隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組 成的集合。用大寫英文字成的集合。用大寫英文字 母母A、B、C表示。表示。 隨機(jī)事件的特征隨機(jī)事件的特征 任一事件任一事件A是相應(yīng)樣本空間是相應(yīng)樣本空間中的一個(gè)子集。中的一個(gè)子集。 事件事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)（發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)（ ）A 中某一樣本點(diǎn)中某一樣本點(diǎn) 發(fā)生。發(fā)生。 事件事件A的表示可用集合，也

3、可用語言，但所用的表示可用集合，也可用語言，但所用 語言要大家明白無誤。語言要大家明白無誤。 任一樣本空間任一樣本空間有一個(gè)最大子集即有一個(gè)最大子集即；它對(duì)；它對(duì) 應(yīng)的事件稱為必然事件，仍用應(yīng)的事件稱為必然事件，仍用表示。表示。 任一樣本空間任一樣本空間都有一個(gè)最小子集即空集，都有一個(gè)最小子集即空集， 它對(duì)應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為它對(duì)應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為 隨機(jī)事件的關(guān)系隨機(jī)事件的關(guān)系 包含：包含：A B或或B A 在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與與B，若，若事件事件A中任一個(gè)樣本點(diǎn)必在中任一個(gè)樣本點(diǎn)必在B中，則稱中，則稱A被包被包含在含在B中，或中，或B包含

4、包含A。 互不相容互不相容 在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與與B，若，若事件事件A與與B沒有相同的樣本點(diǎn)，則稱沒有相同的樣本點(diǎn)，則稱A與與B互不互不相容。相容。 可推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件間的互不相容可推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件間的互不相容 相等：相等：A=B即即A B且且B A 在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與與B，若樣，若樣本本A與與B含有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件含有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與與B相相等。等。例：例：A=（x，y）：）：x + y =奇數(shù)奇數(shù)B=（x，y）：）：x與與y的奇偶性不同的奇偶性不同A=B=(1,2),(1,4),(1,6)

5、,(2.1),(2,3),(2,5)(3,2),(3,4),(3,6)則：則：（三）事件的運(yùn)算（三）事件的運(yùn)算 事件運(yùn)算事件運(yùn)算 對(duì)立事件：對(duì)立事件：AA 在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中，在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中，是樣本空間，是樣本空間，A為事件，為事件，則由在則由在中而不在中而不在A中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對(duì)立事件，記的對(duì)立事件，記 。A則則AA ， ， 事件事件A與與B的并：的并：A B 由事件由事件A與與B中所有樣本點(diǎn)（相同的只計(jì)入中所有樣本點(diǎn)（相同的只計(jì)入一次）組成的新事件。稱為一次）組成的新事件。稱為A與與B的并，的并， 發(fā)發(fā)生意味著生意味著“事件事件A與與B至少一個(gè)發(fā)生至少一

6、個(gè)發(fā)生”BA 事件事件A與與B的交：的交：A B或或AB 由事件由事件A與與B中公共的樣本點(diǎn)組成的新事件稱中公共的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為事件為事件A與與B的交。的交。 發(fā)生意味著發(fā)生意味著“事件事件A與與B同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生”BA 事件的并和交可推廣到更多個(gè)事件上去。事件的并和交可推廣到更多個(gè)事件上去。 事件事件A對(duì)對(duì)B的差：的差：A-B 由在事件由在事件A中而不在中而不在B中的樣本點(diǎn)組成的中的樣本點(diǎn)組成的新事件，稱為新事件，稱為A對(duì)對(duì)B的差。的差。（a）A-B（b）A-B（ ）BA 事件運(yùn)算性質(zhì)：事件運(yùn)算性質(zhì)： 交換律：交換律： ，ABBA ABBA 結(jié)合律：結(jié)合律： CBACBA CBACB

7、A 分配律：分配律： CABACBA CABACBA 對(duì)偶律：對(duì)偶律：BABA BABA 可用維恩圖驗(yàn)證，可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上可用維恩圖驗(yàn)證，可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上事件的運(yùn)算。事件的運(yùn)算。（四）事件的概率（四）事件的概率 概率概率事件發(fā)生可能性大小的度量事件發(fā)生可能性大小的度量 在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中，用來表示任一隨機(jī)事件在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中，用來表示任一隨機(jī)事件A發(fā)生可能性大小的實(shí)數(shù)稱為該事件的概率，記發(fā)生可能性大小的實(shí)數(shù)稱為該事件的概率，記為為P（A）。）。 概率是一個(gè)介于概率是一個(gè)介于0和和1之間的數(shù)，即之間的數(shù)，即0P(A)1; 必然事件的概率等于必然事件的概率等于1，即，即P（）=1； 不可

8、能事件的概率等于不可能事件的概率等于0，即，即P（）=0。二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義（一）古典定義（一）古典定義 所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)。如所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)。如 共有共有n個(gè)樣本點(diǎn)；個(gè)樣本點(diǎn)； 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的（等可每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的（等可 能性）；能性）； 假如被考察事件假如被考察事件A含有含有K個(gè)樣本點(diǎn)，則事件個(gè)樣本點(diǎn)，則事件 A的概率定義為的概率定義為中中樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)的的總總數(shù)數(shù)中中含含樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) AnK)A(P（二）統(tǒng)計(jì)定義（二）統(tǒng)計(jì)定義 與考察事件與考察事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象是可以大量有關(guān)的

9、隨機(jī)現(xiàn)象是可以大量 重復(fù)試驗(yàn)的；重復(fù)試驗(yàn)的； 若在若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生發(fā)生Kn次，則次，則 事件事件A發(fā)生的頻率為：發(fā)生的頻率為：重復(fù)試驗(yàn)數(shù)重復(fù)試驗(yàn)數(shù)發(fā)生次數(shù)發(fā)生次數(shù)事件事件AnK)A(fnn fn(A)將會(huì)隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不斷增加而趨將會(huì)隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不斷增加而趨 于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概的概 率。一般用重復(fù)次數(shù)率。一般用重復(fù)次數(shù)n較大時(shí)的頻率去近似較大時(shí)的頻率去近似 概率。概率。三、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則三、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則 概率的性質(zhì)：（可由概率的定義看出）概率的性質(zhì)：（可由概率的定義看出） 性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)

10、任意事件：對(duì)任意事件A，有，有0P(A)1； 性質(zhì)性質(zhì)2： )(1)(APAP 性質(zhì)性質(zhì)3：若：若A B 則則P（A-B）=P（A）-P（B） 性質(zhì)性質(zhì)4：P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB） 若若A與與B互不相容互不相容P（AB）=P（A）+P（B） 性質(zhì)性質(zhì)5：對(duì)于多個(gè)互不相容事件：對(duì)于多個(gè)互不相容事件A1，A2， 有有P(A1A2A3)=P(A1)+P()+p(A3)+； 四、條件概率與概率的乘法法則四、條件概率與概率的乘法法則 （1）條件概率）條件概率 兩個(gè)事件兩個(gè)事件A與與B，在事件，在事件B已發(fā)生的條件下，事已發(fā)生的條件下，事件件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記再發(fā)生的概率稱為

11、條件概率，記P（A/B）。）。計(jì)算公式：計(jì)算公式： )B(P()B(P)AB(P)BA(P0 性質(zhì)性質(zhì)6：對(duì)任意二個(gè)事件：對(duì)任意二個(gè)事件A與與B，有，有 P(AB)=P(A B)P(B)=P(B A)P(A) P(B) 0 P(A) 0 （2）獨(dú)立性和獨(dú)立事件的概率）獨(dú)立性和獨(dú)立事件的概率 相互獨(dú)立：相互獨(dú)立： 設(shè)有兩個(gè)事件設(shè)有兩個(gè)事件A與與B，假如其中一個(gè)事件，假如其中一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生與否，則稱的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生與否，則稱A事件與事件與B事件相互獨(dú)立。事件相互獨(dú)立。 性質(zhì)性質(zhì)7： 假如二個(gè)事件假如二個(gè)事件A與與B相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則A與與B同同時(shí)發(fā)生的概率為

12、時(shí)發(fā)生的概率為P(AB)=P(A)P(B) 性質(zhì)性質(zhì)8： 假如二個(gè)事件假如二個(gè)事件A與與B相互獨(dú)立，則在事件相互獨(dú)立，則在事件B發(fā)生條件下，事件發(fā)生條件下，事件A的條件概率的條件概率P(A B)等等于事件于事件A的（無條件）概率的（無條件）概率p(A) )()()()()()()(APBPBPAPBPABPBAP 事件的相互獨(dú)立可推廣到三個(gè)或更多的事件事件的相互獨(dú)立可推廣到三個(gè)或更多的事件 上去。上去。 第二節(jié)第二節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 一、隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。常用大寫字母量。常用大寫

13、字母X、Y、Z表示。表示。 隨機(jī)變量類型隨機(jī)變量類型 離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量 一個(gè)隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列一個(gè)隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)，則此隨機(jī)變量為離散（型）隨機(jī)變量。個(gè)點(diǎn)，則此隨機(jī)變量為離散（型）隨機(jī)變量。 連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量 如一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸如一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個(gè)范圍（上一個(gè)范圍（a，b）或整個(gè)數(shù)軸，則此隨機(jī)變）或整個(gè)數(shù)軸，則此隨機(jī)變量為連續(xù)（型）隨機(jī)變量。量為連續(xù)（型）隨機(jī)變量。 二、隨機(jī)變量的分布二、隨機(jī)變量的分布 隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量的分布 隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X

14、的分布內(nèi)容：的分布內(nèi)容： X可能取哪些值或在哪個(gè)區(qū)間上取值可能取哪些值或在哪個(gè)區(qū)間上取值 X取這些值的概率各是多少？或取這些值的概率各是多少？或X在任在任一小區(qū)間上取值的概率是多少？一小區(qū)間上取值的概率是多少？ （一）離散隨機(jī)變量的分布（一）離散隨機(jī)變量的分布 離散隨機(jī)變量的分布可用分布列表示（離離散隨機(jī)變量的分布可用分布列表示（離散分布）散分布） 分布列分布列 或用數(shù)學(xué)式表達(dá)：或用數(shù)學(xué)式表達(dá)： P(X=Xi)=pi i=1，2n（p1+pn=1） pi也稱為分布的概率函數(shù)也稱為分布的概率函數(shù) X X1 X2 Xn P p1 p2 pn （二）連續(xù)隨機(jī)變量的分布（二）連續(xù)隨機(jī)變量的分布 用概率

15、密度函數(shù)表示（簡稱分布）用概率密度函數(shù)表示（簡稱分布） 條件：條件： p（x）0 1)(dxxp 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)p(x)的各種形式的各種形式 位置不同位置不同 散布不同散布不同 形狀不同形狀不同 其中其中p(x)在在x0點(diǎn)的值點(diǎn)的值p(x)不是概率，是高度。不是概率，是高度。 注：縱軸原為注：縱軸原為“單位長度上的頻率單位長度上的頻率”，由，由頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，縱軸就成頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，縱軸就成為為“單位長度上的概率單位長度上的概率”即概率密度的概念，即概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線。故最后形成的曲線稱為概率密度曲線。 p（x）x 重要結(jié)

16、論：重要結(jié)論： 1X在區(qū)間（在區(qū)間（a，b）上取值的概率）上取值的概率 p(aXb)為概率密度曲線以下區(qū)間（為概率密度曲線以下區(qū)間（a，b）上的面積，即上的面積，即 P(ab)= badxxp)(2. X在一點(diǎn)取值的概率為零，即在一點(diǎn)取值的概率為零，即 P(X=a)=0 故：故：P(axb)=P(axb) =P(aXb) =P(aXb) 三、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差三、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差 均值：均值： 用來表示分布的中心位置，用用來表示分布的中心位置，用E(X)表示表示 X是離散隨機(jī)變量是離散隨機(jī)變量X是連續(xù)隨機(jī)變量是連續(xù)隨機(jī)變量 )(XE iipxdxxxp )( 方差

17、：方差： 用來表示分布的散布大小，用用來表示分布的散布大小，用Var(x)表示表示 )(XVarX是離散隨機(jī)變量是離散隨機(jī)變量X是連續(xù)隨機(jī)變量是連續(xù)隨機(jī)變量iiPxEx2)( dxxPxEx)()(2 標(biāo)準(zhǔn)差：用標(biāo)準(zhǔn)差：用表示表示 )()(XVarX 表示分布散布大小。表示分布散布大小。 均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)均值與方差的運(yùn)算性質(zhì) 對(duì)任意二個(gè)隨機(jī)變量對(duì)任意二個(gè)隨機(jī)變量X1和和X2，有，有 E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) 設(shè)設(shè)X為隨機(jī)變量，為隨機(jī)變量，a與與b為任意常數(shù)，有為任意常數(shù)，有 E(ax+b)=aE(x)+b )()(2XVarabaXVar 設(shè)設(shè)X1與與X2相互獨(dú)立相互獨(dú)立

18、)()()(2121XVarXVarXXVar （和的方差等于方差之和）（和的方差等于方差之和） 這個(gè)性質(zhì)可推廣到三個(gè)或更多個(gè)相互獨(dú)立這個(gè)性質(zhì)可推廣到三個(gè)或更多個(gè)相互獨(dú)立 隨機(jī)變量場合隨機(jī)變量場合 方差的這個(gè)性質(zhì)不能推廣到標(biāo)準(zhǔn)差場方差的這個(gè)性質(zhì)不能推廣到標(biāo)準(zhǔn)差場合，對(duì)任意兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量合，對(duì)任意兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1與與X2，(X1+ X2)(X1)+ (X2) 而應(yīng)為：而應(yīng)為： )X(Var)X(Var)XX(2121 方差具有可加性，標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。方差具有可加性，標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。 四、常用分布四、常用分布（一）常用的離散分布（一）常用的離散分布 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 xn

19、xnx)p(p)xX(P 1x =0，1，n 其中其中 表示從表示從n個(gè)不同元素取個(gè)不同元素取出出x個(gè)的組合數(shù)。個(gè)的組合數(shù)。 )!xn( !x!nnx 記為記為b（n，p） 二項(xiàng)分布均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差二項(xiàng)分布均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差 均值均值E(x)=np 方差：方差：Var(x)=np(1-p) 標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：)p(np 1 泊松分布：（常用于計(jì)點(diǎn)過程）泊松分布：（常用于計(jì)點(diǎn)過程） e!x)xX(PXx =0，1，2，記為記為P()其中其中e=2.71828 泊松分布均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差泊松分布均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差 均值：均值：E(X)= 方差：方差： )X(Var 標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差： 超幾何分布：（

20、不放回抽樣）超幾何分布：（不放回抽樣） NnMNxnMx)xX(P x =1，2，r式中式中r=min（n，M）M為為N中所含不合格品數(shù)中所含不合格品數(shù)n為樣本量為樣本量記為記為h（n，N，M） 超幾何分布均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差超幾何分布均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差 均值：均值：NnM)X(E 方差：方差： MNNMN)nN(n)X(Var 11（二）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布（二）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 正態(tài)分布：能描述很多質(zhì)量特性正態(tài)分布：能描述很多質(zhì)量特性X隨機(jī)取值隨機(jī)取值 的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。正態(tài)分布概率密度函數(shù)：正態(tài)分布概率密度函數(shù)：（-x+） 正態(tài)分布含兩個(gè)參數(shù)正態(tài)分布含兩個(gè)參數(shù)和和，常記：，常

21、記：N(, 2 )。其。其中中為分布均值（即分布中心）；為分布均值（即分布中心）；2為分布方差；為分布方差；0為分布標(biāo)準(zhǔn)差。為分布標(biāo)準(zhǔn)差。222)(21)( xexp 正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖形分析正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖形分析 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：=0且且=1的正態(tài)分布，稱的正態(tài)分布，稱 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記N（0，1），其變量記），其變量記 為為U，概率密度函數(shù)記為，概率密度函數(shù)記為 (u)2221ue)u( 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表及其應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表及其應(yīng)用 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可用于計(jì)算形如可用于計(jì)算形如“Uu”隨機(jī)事件發(fā)生的概率。隨機(jī)事件發(fā)生的概率。如：如： 查

22、附表得查附表得0.93575).().U(P521521 U( p)aU(P )a()a U(P)a()a 1)a()a( 1 )a()b()bUa(P 12 )a()aU(P)aUa(P)aU(P )()(aa )(1)(aa 1)(2 a 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的分位數(shù)的分位數(shù) 分位數(shù)（分位數(shù)（ 為為01間實(shí)數(shù)）間實(shí)數(shù)） 指它的左側(cè)面積恰好為指它的左側(cè)面積恰好為 ，右側(cè)面積恰好，右側(cè)面積恰好為為1- ，即用概率表達(dá)，即用概率表達(dá) )uU(P當(dāng)當(dāng) =0.5時(shí)，稱為中位數(shù)，時(shí)，稱為中位數(shù)，N(0，1)分布中分布中u0.50 0.5時(shí)，如時(shí)，如 =0.25則則u0.25=-u0.7

23、5 查附表查附表 u0.75=0.675，故，故u0.25=-0.675 1 u 正態(tài)分布的計(jì)算正態(tài)分布的計(jì)算性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)：設(shè) ，則，則),(NX2 ),(NXU10 性質(zhì)性質(zhì)2：設(shè)：設(shè) ，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b有有),(NX2 b)bX(P a)aX(P1 ab)bXa(P 不合格品率不合格品率為產(chǎn)品質(zhì)量特性為產(chǎn)品質(zhì)量特性X超出規(guī)范限（超出規(guī)范限（TL，TU）的概率）的概率 X超出超出TU（上規(guī)范限）的概率記（上規(guī)范限）的概率記PUpU =P（XTU） X超出超出TL（下規(guī)范限）的概率記（下規(guī)范限）的概率記PLpL=P（XTL） X的不合格品率的不合格品率P=PU+PL正態(tài)分布中

24、心正態(tài)分布中心 計(jì)算不合格品率要知道兩件事：計(jì)算不合格品率要知道兩件事： 質(zhì)量特性質(zhì)量特性X的分布，在過程受控情況下，的分布，在過程受控情況下，常為正態(tài)分布常為正態(tài)分布N(,2) 產(chǎn)品規(guī)范限，是對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量特性所作的要產(chǎn)品規(guī)范限，是對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量特性所作的要求，這些要求可能是顧客要求；可能是標(biāo)求，這些要求可能是顧客要求；可能是標(biāo)準(zhǔn)；可能是企業(yè)規(guī)定的技術(shù)要求。準(zhǔn)；可能是企業(yè)規(guī)定的技術(shù)要求。則：則：)(1)( UUUTTXPp)()( LLLTTXPp其中其中 可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表)( TLTu 當(dāng)正態(tài)分布中心當(dāng)正態(tài)分布中心=規(guī)范中心規(guī)范中心 時(shí)產(chǎn)品質(zhì)量特性時(shí)產(chǎn)品質(zhì)量特性X超出規(guī)

25、范超出規(guī)范3的不合格率的不合格率 2ULTTMpL=P(x-3)=(-3)=1-(3)=1-0.99865=0.00135=1350PPmpU=P(x+3)=1-(3)=0.00135=1350PPmp=pL+pU=0.00135+0. 00135=0.0027=2700PPm-6-5 -4 -3 -2 -2 3 4 56規(guī)范限規(guī)范限123456合格品率（合格品率（%）68.2795.4599.7399.993799.99994399.9999998不合格品率（不合格品率（ppm）317300 45500 2700 63 0.57 .002（三）其他連續(xù)分布（三）其他連續(xù)分布 均勻分布均勻分布

26、 在區(qū)間（在區(qū)間（a，b）上的均勻分布，記）上的均勻分布，記U（a、b）0，ax xb b其它其它 )x(pab 1 均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差均值均值 2ba)X(E 方差方差122)ab()X(Var 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差122)ab( 指數(shù)分布指數(shù)分布0， )x(pxe ，0 x0 x記為記為 ，其中，其中0。)(Exp 均值均值 ，方差，方差 ，標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差 1)X(E21 )X(Var 1 對(duì)數(shù)正態(tài)分布（特點(diǎn)）對(duì)數(shù)正態(tài)分布（特點(diǎn)） 隨機(jī)變量都在正半軸（隨機(jī)變量都在正半軸（0,+）上取值）上取值 大量取值在左邊，少量取值在右邊，且很大量取值在左邊，少量取值在右邊，且很分散，這樣的分

27、布稱之為右偏分布。（曲分散，這樣的分布稱之為右偏分布。（曲線的尾巴在右邊）線的尾巴在右邊）對(duì)數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù) 最重要特征：最重要特征： 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則作對(duì)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則作對(duì)數(shù)變換數(shù)變換 后，服從正態(tài)分布。后，服從正態(tài)分布。xYln 記正態(tài)分布的均值為記正態(tài)分布的均值為 ，方差為，方差為 ，則相，則相應(yīng)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均應(yīng)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均 與方差與方差 分別為分別為y 2y x 2x 均值：均值： 2222yye/exp)x(Eyyx 方差：方差： 1222 yxxexp)x(Var 若若X服從對(duì)數(shù)正態(tài)

28、分布，則服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則)ln(ln)(aXPaXP )ln(aYP yya ln五、中心極限定理五、中心極限定理 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X1與與X2相互獨(dú)立是指其中一個(gè)取相互獨(dú)立是指其中一個(gè)取什么值不影響另一個(gè)的取值，或者說是指兩個(gè)什么值不影響另一個(gè)的取值，或者說是指兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的取值，互不影響。隨機(jī)變量獨(dú)立的取值，互不影響。 隨機(jī)變量的獨(dú)立性可以推廣到隨機(jī)變量的獨(dú)立性可以推廣到3個(gè)或更多個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)變量。個(gè)隨機(jī)變量。 中心極限定理中心極限定理 在統(tǒng)計(jì)中，多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均在統(tǒng)計(jì)中，多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值（仍然是一個(gè)隨機(jī)變量）將服從或近似服

29、從值（仍然是一個(gè)隨機(jī)變量）將服從或近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布。 即即n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量X1，X2， Xn，均值，均值和方差和方差 都存在，則在都存在，則在n較大時(shí)，其樣本均值較大時(shí)，其樣本均值 服從或近似服從正態(tài)分服從或近似服從正態(tài)分布布N（， ）。）。2 xn2 第三節(jié)第三節(jié) 統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)一、總體、個(gè)體與樣本一、總體、個(gè)體與樣本（一）總體與個(gè)體（一）總體與個(gè)體總體：在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題中，我們把研究對(duì)象的總體：在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題中，我們把研究對(duì)象的 全體成為總體。全體成為總體。 當(dāng)研究產(chǎn)品某個(gè)特定的質(zhì)量特性當(dāng)研究產(chǎn)品某個(gè)特定的質(zhì)量特性X時(shí)，時(shí)，也常把全體

30、產(chǎn)品的特性看做為總體。也常把全體產(chǎn)品的特性看做為總體。個(gè)體：構(gòu)成總體的每個(gè)成員。個(gè)體：構(gòu)成總體的每個(gè)成員。 當(dāng)研究產(chǎn)品的某個(gè)特定的質(zhì)量特性當(dāng)研究產(chǎn)品的某個(gè)特定的質(zhì)量特性X時(shí)，時(shí)，把一個(gè)具體產(chǎn)品的特性值把一個(gè)具體產(chǎn)品的特性值x視為個(gè)體。視為個(gè)體。（二）隨機(jī)樣本（二）隨機(jī)樣本 滿足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡單隨機(jī)樣滿足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，簡稱隨機(jī)樣本：本，簡稱隨機(jī)樣本：1. 隨機(jī)性?？傮w中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)隨機(jī)性?？傮w中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)入樣。入樣。2. 獨(dú)立性。從總體中抽取的每個(gè)樣品對(duì)其它獨(dú)立性。從總體中抽取的每個(gè)樣品對(duì)其它 樣本的的抽取無任何影響。樣本的的抽取無任何影響。

31、 隨機(jī)樣本可看做隨機(jī)樣本可看做n個(gè)相互獨(dú)立的、同分布個(gè)相互獨(dú)立的、同分布 的隨機(jī)變量，其分布與總體分布相同。的隨機(jī)變量，其分布與總體分布相同。 下面所述的樣本都是指滿足這兩個(gè)要求的下面所述的樣本都是指滿足這兩個(gè)要求的 簡單隨機(jī)樣本。簡單隨機(jī)樣本。二、頻數(shù)（頻率）直方圖二、頻數(shù)（頻率）直方圖 為了研究數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行為了研究數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的加工整理。直方圖是為研究數(shù)據(jù)變化規(guī)律一定的加工整理。直方圖是為研究數(shù)據(jù)變化規(guī)律而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理的一種基本方法。而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理的一種基本方法。（一）直方圖的作法（一）直方圖的作法 例例1.3-3 食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)生產(chǎn)

32、罐頭食品，食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)生產(chǎn)罐頭食品，從一批罐頭中隨機(jī)抽取從一批罐頭中隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行稱量，獲得罐個(gè)進(jìn)行稱量，獲得罐頭的凈重?cái)?shù)據(jù)如下：頭的凈重?cái)?shù)據(jù)如下：342 352 346 344 343 339 336 342 347340340 350 347 336 341 349 346 348 342346347 346 346 345 344 350 348 352 340356339 348 338 342 347 347 344 343 349341348 341 340 347 342 337 344 340 344346342 344 345 338 351 348 345 33

33、9 343345346 344 344 344 343 345 345 350 353345352 350 345 343 347 354 350 343 350344351 348 352 344 345 349 332 343 340346342 335 349 348 344 347 341 346 341342為了解這組數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)做如下整理：為了解這組數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)做如下整理： （1）找出這組數(shù)據(jù)中的最大值）找出這組數(shù)據(jù)中的最大值xmax及最小值及最小值xmin，計(jì)算它們的差，計(jì)算它們的差R= xmax- xmin，R稱為極差，稱為極差，也就是這組數(shù)據(jù)的取值范圍。在

34、本例中也就是這組數(shù)據(jù)的取值范圍。在本例中xmax=356，xmin =332，從而，從而R=356-332=24。 （2）根據(jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即樣本量）根據(jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即樣本量n，決定分組數(shù)，決定分組數(shù)k及組距及組距h。 一批數(shù)據(jù)究竟分多少組，通常根據(jù)一批數(shù)據(jù)究竟分多少組，通常根據(jù)n的多少的多少而定，不過這也不是絕對(duì)的，教材中而定，不過這也不是絕對(duì)的，教材中1.3-2是可是可以參考的分組數(shù)。以參考的分組數(shù)。 選擇選擇k的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)律，組數(shù)不能過多，但也不能太少。規(guī)律，組數(shù)不能過多，但也不能太少。 每一組的區(qū)間長度，稱為組距。組距可以每一組的區(qū)間長度

35、，稱為組距。組距可以相等，也可以不相等。組距相等的情況用得比相等，也可以不相等。組距相等的情況用得比較多，不過也有不少情形在對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)最大及較多，不過也有不少情形在對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)最大及最小的一個(gè)或兩個(gè)組，使用與其他組不相等的最小的一個(gè)或兩個(gè)組，使用與其他組不相等的組距。對(duì)于完全相等的組距，通常取組距組距。對(duì)于完全相等的組距，通常取組距h為為接近的某個(gè)整數(shù)值。接近的某個(gè)整數(shù)值。 在本例中，在本例中，n=100，取，取k=9，R/k=24/9=2.7，故取組距故取組距h=3。 （3）確定組限，即每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)及組中）確定組限，即每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)及組中值。為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)可能同時(shí)屬于兩個(gè)組，值。為了避免一

36、個(gè)數(shù)據(jù)可能同時(shí)屬于兩個(gè)組，因此通常將各組的區(qū)間確定為左開右閉的：因此通常將各組的區(qū)間確定為左開右閉的： 通常要求通常要求 xmin, xmax。在等距分組。在等距分組時(shí)，時(shí)， ， ， ，而每一組的組中值而每一組的組中值0akahaa 01haa 12haakk 1)aa(xiii 121 在本例中取在本例中取 =331.5，則每組的組限及，則每組的組限及組中值見表組中值見表1.3-3。0a,(12110kkaaaaaa ，（，（，（，（，（4）計(jì)算落在每組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)及頻率）計(jì)算落在每組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)及頻率 確定分組后，統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，即落在組確定分組后，統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，即落在組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)以及

37、頻率中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)以及頻率 ，列出每組的，列出每組的頻數(shù)、頻率表，見表頻數(shù)、頻率表，見表1.3-3。n/nfii 頻數(shù)、頻率及累積頻率表頻數(shù)、頻率及累積頻率表組號(hào)組號(hào) i (1iiaa， ix in if 1 （331.5，334.5 333 1 0.01 2 （334.5，337.5 336 4 0.04 3 （337.5，340.5 339 11 0.11 4 （340.5，343.5 342 20 0.20 5 （343.5，346.5 345 30 0.30 6 （346.5，349.5 348 19 0.19 7 （349.5，352.5 351 12 0.12 8 （352.5，35

38、5.5 354 2 0.02 9 （355.5，358.5 357 1 0.01 合計(jì)合計(jì) 100 1.00 表表1.3-3（5）作頻數(shù)頻率直方圖）作頻數(shù)頻率直方圖 在橫軸上標(biāo)上每個(gè)組的組限，以每一組的在橫軸上標(biāo)上每個(gè)組的組限，以每一組的區(qū)間為底，以頻數(shù)（頻率）為高畫一個(gè)矩形，區(qū)間為底，以頻數(shù)（頻率）為高畫一個(gè)矩形，所得的圖形稱為頻數(shù)（頻率）直方圖，如圖所得的圖形稱為頻數(shù)（頻率）直方圖，如圖1.3-4。在本例中頻數(shù)直方圖及頻率直方圖的形。在本例中頻數(shù)直方圖及頻率直方圖的形狀是完全一致的。這是因?yàn)榉纸M是等距的。狀是完全一致的。這是因?yàn)榉纸M是等距的。 在分組不完全等距的情形，在作頻率直在分組不完全

39、等距的情形，在作頻率直方圖時(shí)，應(yīng)當(dāng)用每一個(gè)組的頻率與組距的比方圖時(shí)，應(yīng)當(dāng)用每一個(gè)組的頻率與組距的比值值 / 為高作矩形。此時(shí)以每個(gè)矩形的面積為高作矩形。此時(shí)以每個(gè)矩形的面積表示頻率。表示頻率。ifih頻數(shù)（頻率）直方圖頻數(shù)（頻率）直方圖（二）直方圖的觀察與分析（二）直方圖的觀察與分析a. 對(duì)稱型對(duì)稱型b. 偏態(tài)型偏態(tài)型c. 孤島型孤島型d. 鋸齒型鋸齒型e. 平頂型平頂型f. 雙峰型雙峰型三、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布三、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布1統(tǒng)計(jì)量的概念統(tǒng)計(jì)量的概念不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)不含未知參數(shù)的樣本函數(shù) 樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本 方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本

40、變異系數(shù)等都是方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本變異系數(shù)等都是 統(tǒng)計(jì)量，只有眾數(shù)除外。統(tǒng)計(jì)量，只有眾數(shù)除外。2抽樣分布抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布（一）樣本數(shù)據(jù)集中位置的統(tǒng)計(jì)量（一）樣本數(shù)據(jù)集中位置的統(tǒng)計(jì)量（1）樣本均值）樣本均值x niixnx11（2）樣本中位數(shù)）樣本中位數(shù)Me(或或 )x 1222121nnnxxx)x(Me，n為奇數(shù)為奇數(shù)，n為偶數(shù)為偶數(shù)（3）眾數(shù)（）眾數(shù)（Mod）數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值。數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值。（二）描述樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計(jì)量（二）描述樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計(jì)量（1）樣本極差）樣本極差)()n(xxR1 （2）樣本方差）樣本方差 nii

41、xxnS12211 因?yàn)橐驗(yàn)閚個(gè)離差（個(gè)離差（ ）的總和為零，所以）的總和為零，所以對(duì)于對(duì)于n個(gè)獨(dú)立數(shù)據(jù)，獨(dú)立的離差個(gè)數(shù)只有個(gè)獨(dú)立數(shù)據(jù)，獨(dú)立的離差個(gè)數(shù)只有n-1個(gè)，稱個(gè)，稱n-1為離差（或離差平方和）的為離差（或離差平方和）的自由度。故方差用離差平方和除以自由度。故方差用離差平方和除以n-1。xxi 簡化計(jì)算公式：簡化計(jì)算公式： niixnxnS122211或或 niniiixnxnS12122111（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差）樣本標(biāo)準(zhǔn)差2SS 標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)據(jù)的量綱一致標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)據(jù)的量綱一致（4）樣本變異系數(shù)）樣本變異系數(shù)xsC 四、常用抽樣分布四、常用抽樣分布1 的分布的分布X 設(shè)設(shè)X服從服

42、從N（， ），（），（x1，x2，xn）是由總體是由總體X中抽取的一個(gè)樣本，則服從中抽取的一個(gè)樣本，則服從 N（， ）2 n/2 （1） 的精確分布的精確分布X（2） 的漸進(jìn)分布的漸進(jìn)分布X 設(shè)設(shè)X為任意分布，（為任意分布，（x1，x2，xn）是由總體是由總體X中抽取一個(gè)樣本，若中抽取一個(gè)樣本，若 ， ，則當(dāng)，則當(dāng)n時(shí)，時(shí)， 近似服從近似服從 N（， ）。）。 )x(Ei02 )x(VariXn/2 （3） 分布分布2 設(shè)設(shè)X服從服從N(0，1)，且設(shè)（，且設(shè)（x1，x2，xn）是由總體是由總體X中抽取的一個(gè)樣本，則中抽取的一個(gè)樣本，則222212n 服從自由度為服從自由度為n的的 分布，記作

43、分布，記作 (n)。2 2 2 設(shè)設(shè)X服從服從N（， ），則），則2 )n(S)n(11222 （3）t 分布分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，XN(0，1)，Y (n)則則 服從自由度為服從自由度為n的的t分布記分布記作作tt(n)2xn/YXt 設(shè)設(shè)XN（， ），（），（x1，x2，xn） 是由總體是由總體X中抽取的一個(gè)樣本，則中抽取的一個(gè)樣本，則2 )n( tn/sxt1 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且XN（， ），）， YN（， ），（），（x1，x2，xn1）與）與 （y1，y2，yn2）分別由總體）分別由總體X和和Y中抽中抽 取的樣本，則取的樣本，則2 2

44、)nn( tnnnnS)n(S)n()()yx(21121121212122221121 （4）F 分布分布 設(shè)設(shè)X與與Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且X2(N1)，Y2(N2)則則 服從自由度為（服從自由度為（N1，N2）的）的F 分布。分布。記作記作 FF(N1，N2)。21N/YN/XF 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，X ，Y ， (x1，x2，xn)與與(y1，y2，ym)分別由分別由X 和和Y中抽取的樣本，則中抽取的樣本，則 211 ,N 222 ,N22222121 /S/SF(n1，m1)當(dāng)當(dāng) = = 時(shí)，則時(shí)，則21 22 2 )m,n(FSS112221 正態(tài)分布正態(tài)分布 1t

45、分布分布 nntt 12 分布分布 221nn 21211f,fFf,fF F分布分布第四節(jié)第四節(jié) 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)1概念概念 設(shè)設(shè) 是一個(gè)未知參數(shù)，是一個(gè)未知參數(shù)， 由總由總體體X中抽取的樣本，則用中抽取的樣本，則用 來估來估計(jì)計(jì) ，則稱，則稱 為為 的估計(jì)量（或稱估計(jì)）。的估計(jì)量（或稱估計(jì)）。 nX,X,X21 nX,X,X21 2矩法估計(jì)矩法估計(jì)（1）用樣本矩估計(jì)相應(yīng)總體矩；）用樣本矩估計(jì)相應(yīng)總體矩；（2）用樣本矩的函數(shù)估計(jì)相應(yīng)總體矩的函數(shù)。）用樣本矩的函數(shù)估計(jì)相應(yīng)總體矩的函數(shù)。 例如用樣本均值估計(jì)總體均值；用樣本方例如用樣本均值估計(jì)總體均值；用樣本方差（標(biāo)準(zhǔn)差）來估

46、計(jì)總體方差（標(biāo)準(zhǔn)差）。差（標(biāo)準(zhǔn)差）來估計(jì)總體方差（標(biāo)準(zhǔn)差）。3. 點(diǎn)估計(jì)優(yōu)劣的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計(jì)優(yōu)劣的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)（1）無偏性）無偏性 設(shè)設(shè) 是是的一個(gè)估計(jì)量，若的一個(gè)估計(jì)量，若 ，則，則稱稱 是是的無偏估計(jì)。的無偏估計(jì)。 E （2）有效性）有效性 設(shè)設(shè) 都是都是的無偏估計(jì)量，若對(duì)一切的無偏估計(jì)量，若對(duì)一切的可能取值有：的可能取值有：21 , ，且至少有一個(gè)，且至少有一個(gè) ，嚴(yán)格，嚴(yán)格不等號(hào)成立，則不等號(hào)成立，則 比比 有效。有效。 21 VarVar0 1 2 （3）正態(tài)總體參數(shù)的無偏估計(jì)）正態(tài)總體參數(shù)的無偏估計(jì) 的無偏估計(jì)有兩個(gè)，即的無偏估計(jì)有兩個(gè)，即 和和 。 xx 的無偏估計(jì)常用的只有一個(gè)，即

47、的無偏估計(jì)常用的只有一個(gè)，即 。2 2S 的無偏估計(jì)有兩個(gè)，即的無偏估計(jì)有兩個(gè)，即 和和 2dR4CS二、區(qū)間估計(jì)二、區(qū)間估計(jì)（一）區(qū)間估計(jì)的概念（一）區(qū)間估計(jì)的概念 設(shè)設(shè)是總體分布中的未知參數(shù)，其一切可能取是總體分布中的未知參數(shù)，其一切可能取值組成的參數(shù)空間為值組成的參數(shù)空間為 ，從總體中抽取一個(gè)樣本，從總體中抽取一個(gè)樣本(x1，x2，xn)，對(duì)給定的，對(duì)給定的 ，確定，確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量： 與與 10 nLLx,x,x21 nuux,x,x21 對(duì)任意的對(duì)任意的 有有 1uLP 則稱則稱L，u是是的置信水平為的置信水平為 的置信的置信區(qū)間。區(qū)間。 1 1- 置信區(qū)間的含義：置信區(qū)間

48、的含義： 所構(gòu)造的一個(gè)隨機(jī)區(qū)間所構(gòu)造的一個(gè)隨機(jī)區(qū)間 能包含未知參能包含未知參數(shù)數(shù) 的概率為的概率為1- 。由于這個(gè)隨機(jī)區(qū)間會(huì)隨樣本。由于這個(gè)隨機(jī)區(qū)間會(huì)隨樣本觀察值的不同而不同，它有時(shí)包含了參數(shù)觀察值的不同而不同，它有時(shí)包含了參數(shù) ，有時(shí)，有時(shí)沒有包含沒有包含 ，但是用這種方法作區(qū)間估計(jì)時(shí)，但是用這種方法作區(qū)間估計(jì)時(shí)，100次中大約有次中大約有100(1- )個(gè)區(qū)間能包含未知參數(shù)個(gè)區(qū)間能包含未知參數(shù) 。UL, （二）一個(gè)正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間（二）一個(gè)正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間（1） 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2 的的1- 置信區(qū)間為：置信區(qū)間為： nuxnux 2121（2） 未知，求未知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2 nsntxnsntx112121 （3）方差）方差 的的1- 的置信區(qū)間（的置信區(qū)間（ 未知）未知）2 111122222212 nSnnSn（4）標(biāo)準(zhǔn)差）標(biāo)準(zhǔn)差 的的1- 的置