1、3.8 抽樣信號的傅立葉變換王文淵卓晴信號的抽樣時域抽樣頻域抽樣抽樣定理簡介2006-11-113.8.0本節(jié)內(nèi)容n 信號進行抽樣n 時域抽樣n 頻域抽樣n 抽樣定理簡介連續(xù)信號continuous-time signal抽樣Sampling離散序列discrete-time signal恢復抽樣提供一個橋梁，使得我們可 Reconstruction以用離散信號來表達連續(xù)信號。The sampling theorem lies asa連續(xù)信號continuous-time signalbridge between continuous-time signals and discrete-tim

2、e signals.王文淵 卓晴2006-11-123.8.1信號的抽樣什么是信號的抽樣？“信號抽樣”就是使用抽樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號f (t)中“抽取”一系列的離散樣值，這些離散信號通常稱為“抽樣信號”，以fs (t)表示。王文淵 卓晴2006-11-133.8.1信號的抽樣什么是信號的抽樣？模擬信號的數(shù)字處理，要求模擬信號在離散化的過程 中不能丟失信息，即應(yīng)能從采樣信號恢復原來的連續(xù) 信號，這要求采樣頻率滿足一定的條件，信號本身也滿足一定的條件。43.8.1信號的抽樣電子開關(guān)每隔時間T接通一次，接通時間為t，輸出一系列脈沖，脈沖串的包絡(luò)與連續(xù)信號的波形相同，用數(shù)學表達式描述為：當開關(guān)

3、函數(shù)s(t)的脈寬t很小時，s(t)就可近似看成是一個沖激序列，每個沖激的=f (t )f (ts)s (t )強度即是脈沖下的面積t。引進沖激序列d (t)d=t (- kT)T= k-3.8.1信號的抽樣“抽樣”，“抽樣信號”“采樣”，“取樣”抽樣信號抽樣函數(shù)Sa(t) = sin(t)t王文淵 卓晴6自然采樣2006-11-13.8.1信號的抽樣n 抽樣信號fs(t)的傅里葉變換是什過抽樣的函數(shù)f(t)的傅么？它和里葉變換有什么？n 連續(xù)信號被抽樣后fs(t)，它是否保留了原信號f(t)的全部信息,即有抽樣信號fs(t)可以無失真恢復原信號f(t)?。王文淵 卓晴2006-11-173.

4、8.2時域抽樣n 時域抽樣：連續(xù)信號f (t)的傅里葉變換：F (w) = F f (t)抽樣信號p(t)的傅里葉變換：P(w) = F p(t)抽樣信號fs (t)的傅里葉變換：Fs (w) = F fs (t)fs (t) =f (t) p(t)抽樣信號為：王文淵 卓晴2006-11-183.8.2時域抽樣抽樣脈沖序列p(t)周期為：Ts，抽樣頻率：ws= 2pw= 2p fssTs它的傅里葉變換：P(w) = 2p Pnd (w - nws )n=-Ts21- jnwP =st dtp(t)e其中：nTT-ss2王文淵 卓晴2006-11-193.8.2時域抽樣根據(jù)頻域卷積定理可知抽樣信

5、號傅里葉變換：12pF (w) =F (w) * P(w)s帶入抽樣信號的傅里葉變換：因此，抽樣信號的頻譜Fs (w)是連續(xù)信號的頻譜F (w )以抽樣頻率ws為間隔周期的重復延拓，重復中幅度被p(t)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)Pn，形狀不變。王文淵 卓晴102006-11-1Fs (w) = Pn F (w - nws )n=-3.8.2時域抽樣FTFT相乘相卷積FT王文淵 卓晴112006-11-1p(w ) = w s d (w - nw s )n = -)n=-F (w) = 1 F(w-nw )sT nss=-12pf (t)F (w )3.8.2時域抽樣n 矩形脈沖抽樣抽樣脈沖p(t)是矩

6、形，它的幅度E，脈寬t ,抽樣頻率w（s抽樣周期T）s。fs (t) =f (t) p(t)注意：抽樣期間脈沖頂部不平：“自然抽樣”王文淵 卓晴122006-11-13.8.2時域抽樣抽樣脈沖序列的傅里葉級數(shù)展開系數(shù)：Ts2Ts211- jnwst dt =Ee- jnwst dtP =p(t)eTTnTTss-ss22tw tnE=SasT2s則矩形自然抽樣信號的頻譜為：w tF (w) = Etn=-nF (w - nw )sSassT2s王文淵 卓晴132006-11-13.8.3時域抽樣沖激抽樣：抽樣信號p(t)是沖激序列：“沖激抽樣”，“理想抽樣”p(t) = dT (t) = n=

7、-s )王文淵 卓晴152006-11-13.8.3時域抽樣求出沖激序列dT (t)的傅里葉級數(shù)系數(shù)：Ts211d (t)e- jnwst dt =P =TnTTs-s2s則沖激抽樣信號的頻譜為：n=-F (w) = 1F (w - nw )ssTs王文淵 卓晴162006-11-1p (t ) = dp (t ) =(t - nT s ) Gtn = -s )n = -王文淵 卓晴182006-11-1F (w) = Et Sa nwst (w -nw )sT2Fss n=-F (w) = 1 F(w - nw )sT n ss=-F (w ) =1 F (w )* p(w )s2pF (w

8、 ) =1 F (w )* p(w )s2pP= E t Sa n w st nT2sP=1nTsp(w) = 2p Pnd (w - nws )n=-p(w ) = w s d (w - nw s )n = -3.8.3頻域抽樣n 頻域抽樣：如果連續(xù)頻譜函數(shù)F (w )對應(yīng)時間信號為f (t)， 如果F (w)在頻域中被間隔為w1的沖激序列dw (w) 抽樣，形成沖激抽樣頻譜F1(w)，該頻譜所對 應(yīng)的時間信號f1(t)與f (t)具有什么樣的關(guān)系？王文淵 卓晴192006-11-13.8.3頻域抽樣已知：F (w) = F f (t)頻域抽樣信號：F1 (w) = F (w)dw (w)d

9、w (w) = d (w - nw1 )其中：n=-沖激序列的頻譜為：) = wn=-dd (w - nw )F111n=-王文淵 卓晴202006-11-13.8.3頻域抽樣-1 dw (w) = F d (w - nw1 )則：F-1n=-= 1 d (n - nT ) = 1 d(t)ww1Tn=-11由時域卷積定理：()(w )w)F w *F-1 dF-= F-11F (fw111dn=-所以：f1(t) =f (t) * w) =1 )w111王文淵 卓晴212006-11-13.8.4抽樣定理簡介IFTIFTIFT王文淵 卓晴232006-11-1f (t )p(w ) = 1d

10、 (t - nT )w11 n=-f (t) = f (t)* 1 d (t)1wT1f (t ) = 1 f (t - nT )1w11 n = -F1(w) = F(w)dw (w)d w (w ) = d (w - nw 1 )n = -wF (w )3.8.4抽樣定理簡介周期信號和抽樣信號的特性王文淵 卓晴242006-11-13.8.4抽樣定理簡介例：已知周期矩形脈沖信號f1(t)的幅度為E，脈寬t，周期為T1 ,它的頻譜F1 (w),它被間隔為Ts的沖激序列進行抽樣，得到?jīng)_激抽樣信號fs (t)，試求它的頻譜Fs (w)。王文淵 卓晴252006-11-13.8.4抽樣定理簡介解：

11、設(shè)矩形單脈沖信號為f0 (t)，它的頻譜為：F (w) = Et Sa wt 0周期信號f1(t)，1 )2若f0 (t)以間隔T1進行重復f1 (t) = n=-f即：王文淵 卓晴262006-11-13.8.4抽樣定理簡介根據(jù)頻域抽樣特性可知f1 (t)的頻譜F1 (w)為F0 (w)經(jīng)過間隔為w = 2p 沖激抽樣而得：1 T1F1 (w) = w1F0 (w)dw (w)wtw Et Sad (w - nw )=112 n=-w t n()w Etd ww=- nSa1112n=-王文淵 卓晴272006-11-13.8.4抽樣定理簡介如果f1 (t)被間隔為Ts的沖激序列抽樣，信號的

12、抽樣信號fs (t)，即fs (t) = f1 (t)dT (t)。由時域抽樣特性可知fs (t)的傅里葉變換Fs (t)是F1 (w)以周期矩形間隔w = 2p 重復而得，所以：sTsF (w) = 1F (w - nw )s1sTn=-s= w1Etw tnd (ww- nw )- mSa1s1T2m=- n=-s王文淵 卓晴282006-11-13.8.4抽樣定理簡介如何從抽樣信號中恢復原連續(xù)信號，以及在什么情況下可以無失真的進行恢復？1. 時域抽樣定理2. 頻域抽樣定理王文淵 卓晴312006-11-13.8.4抽樣定理簡介三個具有相同數(shù)據(jù)的連續(xù)信號波形王文淵 卓晴322006-11-

13、13.8.4抽樣定理簡介-時域抽樣定理時域抽樣定理一個頻譜受限信號f (t)，它的頻譜只占據(jù)-wm % +wm，則信號f (t)可以用等間隔的抽樣值1唯一表示。抽樣間隔必須不大于，2 fm(其中wm = 2p fm )，即最低抽樣頻率為2 fm。這個定理也稱為：香農(nóng)定理王文淵 卓晴332006-11-13.8.4抽樣定理簡介-時域抽樣定理時域抽樣定理均勻抽樣定理：一個在頻譜中不包含有大于頻率fm的分量的有限帶寬的信號，由對該信號以不大于1/2 fm的時間間隔進行抽樣的抽樣值唯一地確定。當這樣的抽樣信號通過其截至頻率wc滿足條件wm wc wS wm的理想低通濾波器后，可以將原信號完全重建，這個

14、定理也稱為香農(nóng)抽樣定理。王文淵 卓晴342006-11-13.8.4抽樣定理簡介-時域抽樣定理時域抽樣定理 抽樣定理中要求信號是帶限的，因此在A/D轉(zhuǎn)換前加一保護濾波器，以免在抽樣過程中產(chǎn)生混迭現(xiàn) 象。 用低通濾波器恢復原信號，而理想低通濾波器是不可實現(xiàn)的，因此，實際采用的方法是提高采樣率， 或提高濾波器的階數(shù)。王文淵 卓晴352006-11-13.8.4抽樣定理簡介-時域抽樣定理證明時域抽樣定理：如果信號f (t)頻譜受限，即F (w )分布在- wm % wm，如果信號以間隔T重復頻率w= 2p 對f (t)進行ssTs抽樣，抽樣信號fs (t)的頻譜Fs (w)是F (w )以周期ws

15、進行周期重復，為了不產(chǎn)生混疊，只有滿足ws 2wm條件，F(xiàn)s (w)沒有混疊，則fs (t)保留了f (t )全部信息，則可以從fs (t)無失真恢復f (t)。王文淵 卓晴372006-11-13.8.4抽樣定理簡介-時域抽樣定理王文淵 卓晴382006-11-13.8.4抽樣定理簡介-時域抽樣定理時域抽樣定理的物理解釋：一個頻帶有限的信號波形不可能在短時間內(nèi)產(chǎn)生實質(zhì)的變化。它的最高變化速度受到最高頻率分量wm的限制。故此，為了保持最高頻率分量的全部信號，需要在一個周期至少抽樣兩次，所以必須滿足ws 2wm或fs 2 fm。稱最低抽樣頻率fs = 2 fm為“奈奎斯特(Nyquist)頻率”

16、p1稱最大抽樣間隔T =為“奈奎斯特間隔”sw2 fmm王文淵 卓晴392006-11-13.8.4抽樣定理簡介-時域抽樣定理在滿足抽樣定理條件下從Fs (w)恢復F (w )， 可使用如下矩形函數(shù)H (w)與Fs (w)相乘，即：F (w ) = Fs (w)H (w )w wm這個過程進行“理想低通濾波”王文淵 卓晴402006-11-13.8.4抽樣定理簡介-時域抽樣定理抽樣定理的應(yīng)用：3.8.4抽樣定理簡介-頻域抽樣定理頻域抽樣定理如果信號f (t)是時間受限信號，它集中在- tm % +tm，1的頻率間隔對f (t)的頻譜如果在頻域中以不大于2tmF (w)進行抽樣，則抽樣的頻譜F1(w)可以唯一表示原信號f (t)王文淵 卓晴422006-11-13.8.4抽樣定理簡介-頻域抽樣定理頻域抽樣的物理解釋：在頻域?qū) (w)進行抽樣，等效于時域?qū) (t)進行重復形成周期信號f1(t)，只要抽樣間隔1不大于，則在時域中波形發(fā)生混疊，2tm則可從周期信號f1(t)中選出單個脈沖就可以無失真的恢復原信號f (t)。王文淵 卓晴432006-11-13.8.4抽樣定理簡介-頻域抽樣定理抽樣定理在時域上的解釋：那么在時域上怎么解釋？為什么最高頻率分量的一個周期內(nèi)至少要抽樣兩次?王文淵 卓晴442006-11