1、解三角形專(zhuān)題復(fù)習(xí)解三角形基本知識(shí).正弦定理:一、一a1 .正弦定理：sin A2 .變形：a : b: csin B2R （其中R是三角形外接圓的半徑） sin Csin A: sin B:sinC角化邊2Rsin A b 2Rsin B c2RsinC邊化角sin A a sin B b sin C2R2Rc2R如： ABC中，bcosB ,則 ABC是等腰三角形或直角三角形acosA已知60 ,bA2, a 2v3，求B （有兩個(gè)解）注意：由正弦定理求角時(shí), 二.三角形面積注意解的個(gè)數(shù)。1. S ABC2. S ABC1 -absinC21 (a b21一 bcsin A21-acsin

2、B2c）r ,其中r是三角形內(nèi)切圓半徑.注:由面積公式求角時(shí)注意解的個(gè)數(shù).余弦定理-、21.余弦定理：ab22bccosA(bc)22bc(1cos A)b22ac cos B(ac)22ac(1cosB)b22abcosC(ab)22ab(1cosC)注：后面的變形常與韋達(dá)定理結(jié)合使用。2.變形：cosA2bccosB2accosC2,22abc2ab注意整體代入，如：a2c2b23.三角形中線：ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則AD4.三角形的形狀若a2b2c2時(shí)，角C是銳角若a2b2c2時(shí)，角C是直角若a2b2c2時(shí)，角C是鈍角1,2, x ,求x的取值范圍如:銳角三角形的三邊為1,2,x,求

3、x的取值范圍；鈍角三角形的三邊為5.應(yīng)用用余弦定理求角時(shí)只有一個(gè)解已知A60,a2,b2"3,求邊c四應(yīng)用題1 .步驟：由已知條件作出圖形，在圖上標(biāo)出已知量和要求的量;將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；答2 .注意方位角；俯角；仰角；張角；張角等如：方位角是指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角。(3)在ABC中，熟記并會(huì)證明:1)/A,/B,/C成等差數(shù)列的充分必要條件是/B=60°2)4ABC是正三角形的充分必要條件是/A,BB,/C成等差數(shù)列且a,b,c成等比數(shù)列。:、典例解析題型1:正、余弦定理uuirruurrrr(2009岳陽(yáng)一中第四次月考).已知ABC中，ABa,ACb,a

4、b0,S則BAC()A.30oB.150oC.1500D.30o或1500答案C1、在AABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是(A.b=20,A=45°,C=80°B.a=30,c=28,C.a=14,b=16,A=45°D.a=12,c=15,2、在ABC中，已知A30o,B120o,b5,解三角形。13、已知ABC面積為1,tanB-,tanC2,求ABC的邊長(zhǎng)以及外接圓的面積。2.22cabc1、在ABC中，若其面積S473，則C=。ABC1543,b5,B=60A=1202、邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是()A.900B,1200C,

5、1350D.15003、在ABC中，C2A,ac10,cosA3,b.4例2.(1)在ABC中，已知a2石，c66垃,B60°,求b及A;b272.A600題型2:三角形面積例3.在ABC中，sinAcosA3,求tanA的值和ABC的面積。13tanAtan(45o60o)2、3,1；3S2 ABC2ac ABsinA 12 3 2 胸。例4. （2009湖南卷文）在銳角AC ABC中，BC 1,B 2A,則一0 的值等于 cos AAC的取值范圍為答案 2( - 2, .3)例5. （2009浙江理）（本題滿(mǎn)分14分）在 ABC中，角A, B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足A

6、 2 5 uur uuur cos-,AB AC 3.25（I）求ABC的面積；（II）若b c 6,求a的值.S abc IbcsinA 2a 2 J52例6. （2009全國(guó)卷I理）在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,已知a2 c2 2b,且 sinAcosC 3cos Asin C,求 bb 4.題型3:三角形中求值問(wèn)題例7. ABC的三個(gè)內(nèi)角為 A、B、C ,求當(dāng)A為何值時(shí)，cos A 2 cos巨£ 取得最大值，并求出2這個(gè)最大值。3最大值為2。例8.（2009浙江文）（本題滿(mǎn)分14分）在 ABC中，角A, B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足A cos

7、-22.5uuu uurAB AC 3.(I)求ABC的面積；(II)若c1,求a的值.1.-1.4cABC的面積為：一bcsinA-5-2225所以ab2c22bccosA.2512325題型4:三角形中的三角恒等變換問(wèn)題例9.在4ABC中，a、b、c分別是/A、/B、/C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2-c2=ac-bc,求/A的大小及bsnB的值。cbsinBb2sin603/A=60,-=sin60=°cac2ACAC例10.在abc中，已知a、b、c成等差數(shù)列，求tantan、；3tantan的值。2222題型5:正、余弦定理判斷三角形形狀例11.在ABC中，若2

8、cosBsinA=sinC,則ABC的形狀一定是（）B.直角三角形D.等邊三角形A.等腰直角三角形C.等腰三角形答案：C21、在AABC中，若（a形的形狀。b2)sin(AB) (a2 b2)sin(A B),請(qǐng)判斷三角2、在 ABC中，面積2c一,且2sin BsinC sin A,判定三角形形狀。3、在 ABC中，c0sA4,(a2). b . (c 2) 1: 2 : 3 ,判斷二角形形狀。（I）求A B的值;綜合應(yīng)用例12.（2009四川卷文）ABC中,AB為銳角，角AB、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且，而105sinA,sinB520A(II)若abJ21,求aBc的值。題型6:正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用北例13.（2009遼寧卷理）如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為750,300,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為600,AC=0.1km。試探究圖中B,D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B,D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km,J21.414,J62.449）（2）（2009寧夏海南卷理）（本小題滿(mǎn)分12分）為了測(cè)量?jī)缮巾敚琈,N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A,匕B,M,N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的J數(shù)據(jù)有俯角和A,B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方