1、北京理工大學(xué)附中2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精品訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用本試卷分第I卷選擇題和第n卷非選擇題兩局部.總分值150分.考試時間120分鐘.第I卷選擇題共60分一、選擇題本大題共12個小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目 要求的1 設(shè)球的半徑為時間t的函數(shù)R tA.成正比，比例系數(shù)為CCB .D.成正比，比例系數(shù)為 2C成反比，比例系數(shù)為 2CC.成反比，比例系數(shù)為【答案】D2.設(shè)aR，函數(shù)f x x32ax (a3x的導(dǎo)函數(shù)是f (x),假設(shè)f x是偶函數(shù),在原點處的切線方程為)A.y3xB .y2xC.y3xD. y 2x【答案】A3.函數(shù)ycos

2、2x在點一,0處的切線方程是)4A.4x2y0B .4x4y0C.4x2y0D.4x2y0【答案】D4.等比數(shù)列a n中，a1 = 2,a8 二=4，函數(shù)f(x) = x(x -a1 )(x a2)-(x a8)，那么 f ' (0)A.26B .29C.2 12D.2 15徑=()【答案】C5.如以下圖，陰影局部的面積是。假設(shè)球的體積以均勻速度c增長，那么球的外表積的增長速度與球半那么曲線 y f (x)環(huán) / y=2x_1h -1L廠3-擰A.B. 2D.色3【答案】6.a為實數(shù),函數(shù)f(x)2axa 2x的導(dǎo)函數(shù)f x是偶函數(shù)，那么曲線 y f x在原點處的切線方程是A. y 3

3、xb. y2xC. y 3xD. y 2x【答案】B7.當(dāng)自變量從X。變到X1時，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)B.在X。處的變化率D.在區(qū)間x o, X1上的導(dǎo)數(shù)&一物體運(yùn)動方程為 s 1t t2其中S單位是米，t單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時速度是A. 7米/秒【答案】CB.C. 5米/秒D. 8米/秒9.點 P是 曲線x2In x上的一個動點，那么點p到直線I : y x 2的距離的最小值為A. 1B.D.A.在區(qū)間xo, X1上的平均變化率C.在X1處的導(dǎo)數(shù)【答案】A【答案】B10.函數(shù)1的圖像上一點1，2及鄰近一點1x,2y，那么亠等于xA.2(x)2B.C.2x

4、D.【答案】B11.函數(shù)f(x)2x21的圖象上一點1,1及鄰近一點1x,1y，那么A. 4【答案】CB. 4 xC.y等于()x2D. 42 x212.曲線y!x33x在點1,4處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為32A.-9【答案】BB.C. 13D.二、填空題13 .曲線y【答案】2本大題共3x ax第n卷非選擇題共90分4個小題，每題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上1的一條切線方程為 y 2x 1，那么實數(shù)a=lim 丄n n 1-dx01 x14.將和式1【答案】1亦表示為定積分5 ：3x2 kdx 10,那么 k .【答案】1216 .曲線y=3x與x軸及直線x = 1所圍成

5、的圖形的面積為解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟8 cm.上口寬6cm,水以20 cm3/s的流量倒入杯中，當(dāng)水深【答案】1三、解答題本大題共6個小題，共70分，17 .如圖，酒杯的形狀為倒立的圓錐，杯深為4 cm時，求水升高的瞬時變化率.【答案】解法一：設(shè)時刻t s時，杯中水的體積為 Vcml,水面半徑為r cm,水深為h cm那么V1r 2h一r h3 h3364V64 «h64h)3h33643h2(h) 3h( h)2( h)3V32 / h、hx/h,、2r3h2()3h(-)(h)(-)(h)2t64ttt記水升高的瞬時變化率為 ht即當(dāng)t無限趨近于0時，一無限趨近于

6、httE380從而有 203h2 ?ht，當(dāng) h=4 時，解得 ht2.83(cm/s)1 r2h h3，即 20t h336464t _ (h h)3 h3h 20 64h23h( h) ( h)649答：當(dāng)水深為4 cm時，水升高的瞬時變化率為80(cm/s)。9解法二：仿解法一，可得 V當(dāng)h無限趨近于0時,1無限趨近于 衛(wèi)上,即無限趨近于20 丫h20 64 t9 h280當(dāng)h=4時,水升高的瞬時變化率是cm / s.93解法三：水面高為 4 cm時，可求得水面半徑為cm，設(shè)水面高度增加h時，水的體積增加 V，從而223V 2?( h),(用圓柱近似增加的水體積)，當(dāng)t無限趨近于0時得2

7、0即 ht(cm/ s)t 9答：當(dāng)水深為4 cm時，水升高的瞬時變化率為 80 (cm/ s)。9解法四：設(shè)t時刻時注入杯中的水的高度為h ,杯中水面為圓形，其圓半徑為r如圖被子的軸截面為等腰三角形ABC,AOO為底邊BC上的高，0,0分別為DE BC中點,t時刻時杯中水的容積為 v3r 2h又因為V=20t,那么 Lh320t644停?201-t3當(dāng)h=4時，設(shè)t=t1,由三角形形似的20t1t12023O00 980答:當(dāng)水高為4 cm時，水升高的瞬時變化率為cm/s.918.定義在R上的函數(shù)f(x)=ax +bx+cx+d滿足：函數(shù)f(x+2)的圖象關(guān)于點(-2,0)對稱；函數(shù)f(x)

8、的圖象 過點P 3，6；函數(shù)f(x)在點X1, X2處取得極值，且|x 1 X2|=4 .(1丨求f(x)表達(dá)式；(2求曲線y=f(x)在點P處的切線方程；(3求證: R,64f(2cos ) f (2sin )643【答案】1f (x 2)的圖象關(guān)于點(-2,0)對稱，即f(x)圖象關(guān)于原點對稱， d=0,b=0.又過(3,6),- - 9a+c= 2f (x)=3ax +2bx+c=0 兩根為 x1,x 2，且 |x 1 X2|=4乙 4b2 12ac 0ac 02bXiX23ax1x20x1x23ax1x243a又|x 1X2|4 b29a24c16, c= 12a3a2a -3b 0c

9、 8 f(x)= - x38x3/ 2 /(2f (x)=2x8, f (3)=10. 切線方程10x(3丨當(dāng)2x 2 時,f z(x)=2x28 w 0, f(x)又R,2 2cos2,32f ( 2)33232同理，f (2s in )533J64R,f (2cos)f (2sin )y 36=0.在2,2遞減. 219 .設(shè)t > 0,函數(shù)f (x) = x (x t)的圖象與x軸交于A、B兩點.(I求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;f (2cos ) f (2)323643(n設(shè)函數(shù)y = f(x)在點P(x。，y。)處的切線的斜率為 k,當(dāng)x° (0 , 1時，k>

10、弓亙成立，求t的最大值;當(dāng)0v xv耳時,3(x) v 0，所以(0 ,牛)為函數(shù)f (x)的單調(diào)減區(qū)間.【答案】If ' (x) = 3x 1 1 2tx = x(3x 2t) > 0,因為 t >0，所以當(dāng) x>弓或 xv 0 時，f ' (x) > 0,3(川有一條平行于 x軸的直線I恰好與函數(shù)y = f(x)的圖象有兩個不同的交點 C, D,假設(shè)四邊形 ABCD為 菱形，求t的值.所以(8, 0)和(3-,+ m )為函數(shù)f (x)的單調(diào)增區(qū)間;即恥+ 2X01> 6，當(dāng)且僅當(dāng)xo =因為 x° 0, 1，所以 3x°+

11、 -12x3x0X 2；0= 6,等號所以2t < _6,即t的最大值為-24t3(由I可得，函數(shù) f (x)在x = 0處取得極大值0，在x = 處取得極小值27 因為平行于x軸的直線I恰好與函數(shù)y = f (x)的圖象有兩個不同的交點,4t所以直線I的方程為y = - 274t3227，所以 X (X t)3所以 c3，-"27，D-3,-令 f (X)34t 2tt=27，解得 x = y 或 x = - 3 蘭27因為A0, 0，Bt , 0.易知四邊形 ABCD為平行四邊形.AD=#( -3)2+ (-籌)2，且 AD= AB= t，所以寸(-3)2+ ( -427)

12、2= t，解得:t =-328.20.請你設(shè)計一個包裝盒.如以下圖，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影局部所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A,B,C,D四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒.E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點設(shè)AE FB x(cm).(1)某廣告商要求包裝盒側(cè)面積s cm2最大，試問x應(yīng)取何值?(2)某廠商要求包裝盒容積 V cm3丨最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.所以，V 6.2x(20 x);當(dāng) 0 x 20 時，V0 ,當(dāng) 20 x 30 時，V0所以,當(dāng)x=20時，V取極

13、大值也是最大值.此時，包裝盒的高與底面邊長的比值為子(6022x)【答案】(1)根據(jù)題意有S 6024x2(60 2x)2240x8x28(x15)21800(0 x 30)所以x=15cm時包裝盒側(cè)面積 S最大(2)根據(jù)題意有V(Gx)2 邁(602x)2、2x2(30 x)(0 x 30),21答：當(dāng)x=20(cm)時包裝盒容積 V cm3丨最大，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為2x221.函數(shù) f(x) e (ax 2x 2), a R 且 a 0. 假設(shè)曲線y f (x)在點P(2, f(2)處的切線垂直于 y軸，求實數(shù)a的值;當(dāng)a 0時，求函數(shù)f(|sinx|)的最小值【答案】由題意

14、得：f (x) (ex) (ax2 2x 2) ex (ax2 2x 2)ex(ax2 2x 2) ex(2ax 2) aex(x -)(x 2)；a，(1)由曲線y f (x)在點P(2, f (2)處的切線垂直于y軸，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f (2) 0，即a e2 (2 2)(2 2) 4ae2_2 0，解得 a 1 ；aa 設(shè)| sinx| t(0 < t < 1)，那么只需求當(dāng)a 0時，函數(shù)y f(t)(O < t < 1)的最小值22令f (x)0，解得x 或x 2，而aO ,即 2 .aa22從而函數(shù)f(x)在(，2)和(，)上單調(diào)遞增，在(2,)上單調(diào)遞減

15、aa2當(dāng)?1時，即0 a < 2時，函數(shù)f (x)在0,1上為減函數(shù)，yminf (1) (a 4)e；a22-當(dāng)01，即a 2時，函數(shù)f(x)的極小值即為其在區(qū)間0,1上的最小值，ymin f( ) 2ea.aa綜上可知，當(dāng)0 a < 2時，函數(shù)f(|sinx|)的最小值為(a 4)e ;當(dāng)a 2時，函數(shù)f(|sinx|)的最小值2為 2ea.22函數(shù)f (x)= eax x，其中a工0.(1丨假設(shè)對一切x R, f (x) > 1恒成立，求a的取值集合.(2在函數(shù)f (x)的圖像上取定兩點 A(x1, f() , B(x2, f(x2) (x1 x2)，記直線AB的斜率為

16、K,問:的取值范圍；假設(shè)不存在，請說明理由.是否存在x° X1, X2，使f (x0) k成立？假設(shè)存在，求【答案】I假設(shè)a 0,那么對一切x 0 , f(x)eaxx 1，這與題設(shè)矛盾，又 a 0,故a 0.1 1 而 f (x) aeax 1,令 f (x)0,得xIna a1 1當(dāng) xIn 時，f (x)0, f (x)單調(diào)遞減；當(dāng)xa a時，f (x)取最小值1 1 f (一1 n )1 1 , 1 Ina aa a a于是對一切xR, f(x)1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)1 1| 1 彳 In1. a a a-ln1時，f (x)0, f (x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x丄ln丄a aa a令

17、 g(t) t tlnt,那么 g(t) In t.0,g(t)單調(diào)遞減.當(dāng)0 t 1時，g (t)0,g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t 1時，g (t)1故當(dāng)t 1時，g(t)取最大值g(1) 1因此，當(dāng)且僅當(dāng)1即a 1時，式成立. a綜上所述，a的取值集合為 1 .(n由題意知,f(X2) f(xjX2 X-!ax；ax(ee1.X2X1令(X)f (x) k aeaxax2eX2a%1 eX1,那么(N)a%eea(X2 冷a(x2X1)1x2x1a勺(X2)ex2)a(x1X2)1 .eX2X1令 F(t)t et 1，那么 F(t)et1.當(dāng)t 0時，F(xiàn) (t)0,F(t)單調(diào)遞減；：當(dāng)t故當(dāng)t0,F(t) F(0)0,即 et t1從而ea(X!幻a(x2 X1)1 0,ea(X1X2)所以(xj0, (X2)0.0時，F(xiàn) (t)0,F(t)單調(diào)遞增.0.ax eax2e 2a(x x2)10,又0