1、勾股定理點擊一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為 c，那么 a2 b2 = c 2 即直角三角形兩直角的平方和等于斜邊的平方因此，在運用勾股定理計算三角形的邊長時，要注意如下三點：（ 1）注意勾股定理的使用條件： 只對直角三角形適用， 而不適用于銳角三角形和鈍角三角形；（ 2）注意分清斜邊和直角邊，避免盲目代入公式致錯；（ 3）注意勾股定理公式的變形：在直角三角形中，已知任意兩邊，可求第三邊長即c2 = a 2b2， a2= c 2 b2，b2= c 2 a2點擊二：學(xué)會用拼圖法驗證勾股定理拼圖法驗證勾股定理的基本思想是：借助于圖形的面積來驗證， 依據(jù)是對圖形經(jīng)過割

2、補、拼接后面積不變的原理如，利用四個如圖1 所示的直角三角形三角形，拼出如圖2 所示的三個圖形請讀者證明如上圖示，在圖（ 1）中，利用圖 1 邊長為 a，b，c 的四個直角三角形拼成的一個以c 為邊長的正方形，則圖2（ 1）中的小正方形的邊長為（ba），面積為（ ba）2，四個直角三1角形的面積為 4×ab = 2ab 由圖（ 1）可知，大正方形的面積 = 四個直角三角形的面積小正方形的的面積，即 c2 = （ba）2 2ab，則 a2 b2 = c 2 問題得證請同學(xué)們自己證明圖（ 2）、（ 3）點擊三：在數(shù)軸上表示無理數(shù)將在數(shù)軸上表示無理數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為化長為無理數(shù)的線段長問題第一

3、步：利用勾股定理拆分出哪兩條線段長的平方和等于所畫線段（斜邊）長的平方，注意一般其中一條線段的長是整數(shù)；第二步：以數(shù)軸原點為直角三角形斜邊的頂點，構(gòu)造直角三角形；第三步：以數(shù)軸原點圓心，以斜邊長為半徑畫弧，即可在數(shù)軸上找到表示該無理數(shù)的點點擊四：直角三角形邊與面積的關(guān)系及應(yīng)用- 1 -直角三角形有許多屬性，除邊與邊、邊與角、角與角的關(guān)系外，邊與面積也有內(nèi)的聯(lián)系. 設(shè) a 、 b 為直角三角形的兩條直角邊，c 為斜邊， S 為面積，于是有：( a b) 2a22abb2 ， a2b2c2 ， 2ab41 ab 4S ，1 (a b)22所以 (a b)2c24S .即Sc2 .4也就是說，直角三

4、角形的面積等于兩直角邊和的平方與斜邊平方差的四分之一. 利用該公式來計算直角三角形的有關(guān)面積、周長、斜邊上的高等問題，顯得十分簡便.點擊五：熟練掌握勾股定理的各種表達形式如圖 2，在 RtABC 中 ,C900 , A、 B、 C的對邊分別為 a、b、c,則 c2=a2+b2, a 2 =c2-b 2 , b2=c2-a 2,點擊六：勾股定理的應(yīng)用（1）已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；（2）已知直角三角形的一邊，求另兩條邊的關(guān)系；（3）用于推導(dǎo)線段平方關(guān)系的問題等（4）用勾股定理，在數(shù)軸上作出表示2 、3 、5 的點，即作出長為n 的線段針對練習(xí) :1下列說法正確的是（）A若 a、 b、c

5、是 ABC的三邊，則 a2 b2c2若 a、 b、c 是Rt ABC的三邊，則 a2b2 c2AB若 a、 b、c 是Rt ABC的三邊，A2 b2c2C90 ，則 a若 a、 b、c 是Rt ABC的三邊，C2b2c2D90 ，則 aC2一個直角三角形中，兩直角邊長分別為3 和 4，下列說法正確的是（）BA斜邊長為 25B三角形周長為 25C斜邊長為 5D三角形面積為 203如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是（）A0B1C2D34如圖，數(shù)軸上的點 A 所表示的數(shù)為 x，則 x 210 的立方根為（）1-2A-101- 2 -A 2-10

6、 B -2-10 C 2D-25把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2 倍，則斜邊擴大到原來的（）A2倍B4 倍C6倍D8 倍6小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1 m，當(dāng)它把繩子的下端拉開 5 m 后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（）A 8cmB 10cmC 12cmD 14cm7ABC中， AB15，AC ，高 AD ，則 ABC的周長為（）1312A 42B 32C42 或 32D37 或 338如圖，直線 l 上有三個正方形 a，b，c ，若 a， c 的面積分別為 5 和 11，則 b 的面積為（）（） 4（） 6（） 16（） 55bacl9. 已知直

7、角三角形的周長為 2 7 ，斜邊上的中線為 1，求它的面積 .10. 直角三角形的面積為 120，斜邊長為 26，求它的周長 .11. 如圖，在 Rt ABC中， ACB=90°， CDAB于 D，AB=13cm，AC于 BC之和等于17cm，求 CD的長 .類型之一：勾股定理例 1：如果直角三角形的斜邊與一條直角邊的長分別是13cm和 5cm，那么這個直角三角形的面積是cm2解析：欲求直角三角形的面積，已知一直角三角形的斜邊與一條直角邊的長，則求得另一直角邊的長即可根據(jù)勾股定理公式的變形，可求得解：由勾股定理，得13252=144，所以另一條直角邊的長為12所以這個直角三角形的面積

8、是1×12×5 = 3022（cm）類型之二：在數(shù)軸上表示無理數(shù)例 3：在數(shù)軸上作出表示 10的點- 3 -解析：根據(jù)在數(shù)軸上表示無理數(shù)的方法，需先把10 視為直角三角形斜邊的長，再確定出兩直角邊的長度后即可在數(shù)軸上作出解：以10 為斜邊的直角三角形的兩直角邊可以是3 和 1，所以需在數(shù)軸上找出兩段分別長為 3 和 1 的線段，如圖所示，然后即可確定斜邊長， 再用圓規(guī)在數(shù)軸上作出長為10 的線段即可下面的問題是關(guān)于數(shù)學(xué)大會會標(biāo)設(shè)計與勾股定理知識的綜合運用例 5：閱讀材料，第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽它的主題圖案是由一連串如圖所示的直角三角形演化而成的設(shè)其中的第一個直角三角形

9、 OA1A2 是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3 =A3A4= =A8A9=1，請你先把圖中其它 8 條線段的長計算出來，填在下面的表格中，然后再計算這8 條線段的長的乘積OA1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8解：2；3；2；5；6；7；22；3；這 8條線段的長的乘積是 7270例 6：2002 年 8 月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）如果大正方形的面積是 13，小正方形的面積是 1，直角三角形的較短直角邊為 a，較長直角邊為 b，那么 ab 2 的值為（）（A）1

10、3（B）19（C）25（D）169解析：由勾股定理，結(jié)合題意得a2+b2=13.2由題意，得(b-a)=1.22由，得a+b -2ab =1 .把代入，得13-2ab=1 2ab=12. (a+b) 2 = a 2+b2+2ab =13+12=25.因此，選 C.類型之四：勾股定理的應(yīng)用（一）求邊長- 4 -例 1： 已知：如圖，在 ABC中， ACB90o， AB5cm，BC3cm，CDAB于 D，求CD的長 .（二）求面積（三）作線段例3作長為、的線段解析：作法： 1作直角邊長為 1（單位長）的等腰直角三角形ACB（如圖）；2以斜邊 AB為一直角邊，作另一直角邊長為1 的直角三角形 ABB

11、1；3順次這樣作下去，最后作到直角三角形AB2 B3，這時斜邊 AB、AB1、AB2 、AB3 的長度就是、證明：根據(jù)勾股定理，在RtACB中，AB>0，AB=其他同理可證點評由勾股定理，直角邊長為 1 的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊長為、1 的直角三角形的斜邊長就是類似地也可作出；將上圖無限地向兩個方向畫下去就可得到“勾股樹”，請你試試看（四）證明平方關(guān)系例 4： 已知：如圖，在 ABC 中， EC 90， AD 是 BC 邊上的中線， DEAB 于E ，求證： AC 2AE 2BE2.EB解析：根據(jù)勾股定理，在 Rt ACD 中， AC 2AD 2CD 2，D在 Rt ADE

12、 中， AD 2AE 2DE 2 ，在 Rt BDE 中，ACDE 2BD 2BE2， AC2AE 2DE 2CD 2AE 2BD 2BE 2CD 2.又 BD CD ， AC2AE 2BE 2.- 5 -點評證明線段的平方差或和，常常要考慮到運用勾股定理；若無直角三角形，則可通過作垂線的方法，構(gòu)成直角三角形，以便為運用勾股定理創(chuàng)造必要的條件.（五）實際應(yīng)用一、選擇題1、有六根細(xì)木棒，它們的長度分別是2、 4、 6、8、10、12（單位： cm），從中取出三根首尾順次連結(jié)搭成一個直角三角形，則這三根細(xì)木棒的長度分別為（）（A）2、4、8（B）4、8、10（C）6、8、10（D）8、10、122

13、、木工師傅想利用木條制作一個直角三角形的工具，那么他要選擇的三根木條的長度應(yīng)符合下列哪一組數(shù)據(jù)？（）A.25 ，48，80 B15， 17，62C25， 59，74D 32，60，683、如果直角三角形的三條邊2，4，a，那么 a 的取值可以有（）（A）0 個（B）1 個（C）2 個（D）3 個4、已知直角三角形中30°角所對的直角邊長是 2 厘米，則斜邊的長是（）（A）2 厘米（ B）4 厘米（ C）6 厘米（ D）8 厘米5、如圖，直角三角形三邊上的半圓的面積依次從小到大記作S1 、S2、S3 ，則 S1 、S2 、S3 之間的關(guān)系是（）（A）S1 +S2 >S3（B）S1

14、 +S2 <S3（C）S +S2=S（D）S 2 +S2 =S213123二、填空題1、若直角三角形斜邊長為6，則這個三角形斜邊上的中線長為 _.2、如果直角三角形的兩條直角邊的長分別是5cm和 12cm，那么這個直角三角形斜邊上的中線長等于cm3、如圖， CD是 RtABC斜邊 AB上的中線，若 CD=4，則 AB=4、在 ABC中， A： B： C1：2：3已知 BC3cm，則 ABcm5、如圖，是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：mm）計算兩圓孔中心 A和 B 的距離為.- 6 -CADB60A8 米02B012 米C6140第 5題圖8 米第 6題圖6

15、、如圖：有兩棵樹，一棵高8 米，另一棵高 2 米，兩樹相距 8 米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了米三、解答題一、選擇題1、如圖，字母 A 所代表的的正方形的面積為（數(shù)字表示該正方形的面積）（）A、 13B、85C、 8D、都不對2、在 RtABC中，有兩邊的長分別為3 和 4，則第三邊的長（）A、 5B、 7C、5或 7D、5 或 113、等腰三角形底邊上的高是 8，周長是 32，則三角形的面積是（）A、 56B、48C、 40D、324、若線段 a、b、 c 能構(gòu)成直角三角形，則它們的比為（）A、 2:3:4B、 3:4:6C、5:12:13D、4:6:75、一個長方形

16、的長是寬的2 倍，其對角線的長是5cm，則長方形的面積（）A、5cm2B、 25cm2C、10cm2、2D 75cm6、一個三角形三個內(nèi)角之比為1： 2： 1，其相對應(yīng)三邊之比為（）A、 1:2:1B、1:2 : 1C、1:4:1D、12:1:27、斜邊長 25，一條直角邊長為7 的直角三角形面積為（）A、 81B、82C、 83D、848、若直角三角形中， 有一個銳角為 30 ，且斜邊與較短直角邊之和為18，則斜邊長為 （）A、 4cmB、6cmC、 8cmD、12cm9、如圖 ABC中， C90°， AD平分 BAC， DEAB于 E，下面等式錯誤的是（）- 7 -222222A

17、、 AC+DC=ADB、 ADDEAE2222212C、 AD=DE+ACD、 BD BE4BC10. 圖是 2002 年 8 月北京第 24 屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)， 由 4 個全等的直角三角形拼合而成 .若圖中大小正方形面積分別是62 1 和 4，則直角三角形的兩條直角邊長分別為（）2A、6，4B、62 1 ， 4C、62 1 ，4 1D、6， 4 12222二、填空：1、在 ABC中， C90°， a，b，c 分別為 A B C的對邊（1）若 a=6，c=10 則 b=（2）若 a=12， b=5則 c=（3）若 c=25， b=15 則 a=（4）若 a16，b=34 則 b=

18、2、三邊長分別為1， 1， 1 的三角形是角三角形 .3、在 ABC中， AB=10， AC=8， BC=6，則 ABC的面積是4、如圖點 C 是以為 AB直徑的半圓上的一點，ACB90 , AC3, BC4 則圖中陰影部分的面積是6、在 RtABC中，C90 , AB : AC5 : 3 且 BC=136則 AC=7、直角三角形的一直角邊為8cm，斜邊為 10cm，則這個直角三角形的面積是斜邊上的高為8、 ABC中，C90 ,a30 則 a:b:c=9、三角形三個內(nèi)角之比為1：2：3，它的最長邊為a，那么以其余兩邊為邊所作的正方形面積分別為10、有兩根木條，長分別為60cm 和 80cm，現(xiàn)

19、再截一根木條做一個鈍角三角形，則第三根木條 x 長度的取值范圍三解答題- 8 -1、如如圖要建一個苗圃，它的寬是 a=4.8 厘米，高 b=3.6 米. 苗圃總長是 10 米（1）求苗圃的占地面積（2）覆蓋在頂上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如圖在四邊形ABCD中， BAD 90 , CBD90 , AD 4, AB 3, BC 12 求正方形 DCEF的面積3、如圖在銳角 ABC中，高 AD=12， AC=13，BC=14求 AB的長4、八年級學(xué)生準(zhǔn)備測量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿插到離湖邊1 米的水底，只見竹竿高出水面 1 尺，把竹竿的頂端拉向湖邊（底端不變）竿頂和湖沿的水面剛好平齊

20、，求湖水的深度和竹竿的長5、如圖己知在 ABC中，C90 ,B15 , DE 垂直平分 AB，E 為垂足交 BC于 D，BD=16cm，求 AC長6、某校要把一塊形狀是直角三角形的廢地開發(fā)為生物園，如圖ACB 90 , AC 80 米，BC=60米，若線段 CD為一條水渠，且 D在邊 AB上，己知水渠的造價是10 元/ 米，則點 D在距 A點多遠(yuǎn)，水渠的造價最低，最低價是多少？- 9 -勾股定理及應(yīng)用勾股定理是數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠，在西方數(shù)學(xué)史上稱之為“畢達哥拉斯定理”例 1已知一直角三角形的斜邊長是2，周長是 2+6 ，求這個三角形的面積分析 由斜邊長是2，周長是2+6 ，易知兩直角邊的和

21、是6 ，又由勾股定理可知兩直角邊的平方和為4，列關(guān)于兩直角邊的方程，只需求出兩直角邊長的積，即可求得三角形的面積本題中用到數(shù)學(xué)解題中常用的“設(shè)而不求”的技巧，要熟練掌握解：設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，根據(jù)題意列方程得：a2b222 ,ab22 6即a2b24,ab6.式兩邊同時平方再減去式得：2ab=2， 1 ab= 1 22 S=1 2因此，這個三角形的面積為1 2練習(xí) 11已知：如圖2-1 ，AD=4，CD=3， ADC=90°， AB=13， ACB=90°， ?求圖形中陰影部分的面積CDAB2-12已知：長方形ABCD，AB CD，ADBC， AB=2， ADD

22、C，長方形 ABCD的面積為 S，沿長方形的對稱軸折疊一次得到一個新長方形，求這個新長方形的對角線的長3若線段 a、b、c 能組成直角三角形，則它們的比值可以是（）A1：2：4B1：3：5C3：4：7D5：12：13-10-例 2如圖 2-2 ，把一張長方形紙片ABCD折疊起來，使其對角頂點A、 C 重合， ?若其長BC為 a，寬 AB為 b，則折疊后不重合部分的面積是多少？分析 圖形沿 EF折疊后 A、C 重合，可知四邊形 AFED與四邊形 CFED全等，則對應(yīng)邊、角相等， AF=FC，且 FC=AE，則 ABF ADE，?由三角形面積公式不難求出不重合部分的面積解：圖形沿 EF折疊后 A、

23、C 重合，四邊形 AFED與 CFED關(guān)于 EF對稱，則四邊形 AFED四邊形 CFED AFE= CFE AF=FC， D=D=B=90°AB=CD=AD2-2 ADBC， AEF= EFC AEF= AFE則 AE=AF RtABFRt AD E在 Rt ABF中， B=90°，AB2+BF2=AF2 設(shè) BF=x，b2+x2=（a-x ） 2， x= a2b22a S=2S ABF=2×1bx=2×1·b·a2b2b( a2b2 )=222a2a練習(xí) 21如圖 2-3 ，把矩形 ABCD沿直線 BD向上折疊，使點 C 落在 C的

24、位置上，已知 AB=?3，BC=7，重合部分 EBD的面積為 _2如圖 2-4 ，一架長2.5m 的梯子，斜放在墻上，梯子的底部 B?2-3離墻腳 O?的距離是0.7m，當(dāng)梯子的頂部 A 向下滑 0.4m 到 A時，梯子的底部向外移動多少米？-11-2-43 如圖 2-5 ，長方形 ABCD中，AB=3，BC=4，若將該矩形折疊，使 C 點與 A 點重合， ?則折疊后痕跡 EF的長為（ ）A3.74B 3.75C 3.76D3.77例 3 試判斷，三邊長分別為 2n2+2n，2n+1，2n2 +2n+1（n 為正整數(shù)） ?的三角形是否是直角三角形？分析 先確定最大邊， ?再利用勾股定理的判定定

25、理判斷是否為直角三角形解： n 為正整數(shù)，（ 2n2 +2n+1）- （2n2 +2n）=2n2 +2n+1-2n2-2n=1>0 ，（ 2n2+2n+1） - （ 2n+1） =2n2+2n+1-2n-1=2n 2>0 2n2+2n+1 為三角形中的最大邊又（ 2n2 +2n+1）2=4n4 +8n3+8n2+4n+1，（ 2n2+2n）2+（ 2n+1） 2=4n4+8n3+8n2+4n+1（ 2n2 +2n+1）2=（2n2+2n）2 +（ 2n+1） 2這個三角形是直角三角形練習(xí) 31若 ABC的三邊 a、 b、c 滿足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則 AB

26、C是（）A等腰三角形B直角三角形C銳角三角形D鈍角三角形12如圖 2-6 ，在正方形 ABCD中，F(xiàn) 為 DC的中點， E 為 BC上一點，且 EC= BC，猜想 AF?與 EF的位置關(guān)系，并說明理由-12-2-6322） ABC中的三邊分別是 m-1 ，2m， m+1（m>1），那么（A ABC是直角三角形，且斜邊長為2m+1B ABC是直角三角形，且斜邊長為2mC ABC是直角三角形，但斜邊長由m的大小而定D ABC不是直角三角形例 4 已知：如圖 2-7 所示， ABC中， D是 AB的中點，若 AC=12，BC=5，CD=65求證： ABC是直角三角形分析 欲證 ABC是直角三角

27、形， 在已知兩邊 AC、BC的情況下求邊 AB的長，比較困難；但注意到 CD是邊 AB的中線，我們延長 CD到 E，使 DE=CD，?從而有 BDE? ADC，這樣 AC、BC、2CD就作為 BCE的三邊，再用勾股定理的逆定理去判定證明：延長 CD到 E，使 DE=CD，連結(jié) BE AD=BD，CD=ED， ADC=BDE ADC BDE（ SAS） BE=AC=12 A=DBE ACBE2-72222在 BCE中， BC+BE=5 +12 =16922）2CE =（2CD） =（2×6.5=169222BC+BE=CE EBC=90°又 ACBE， ACB=180° - EBC=90° A