1、x安徽皖南八校 2019 屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分）1、復(fù)數(shù)- 表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于2 iA、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限2、已知集合X十1M二1,1, N =x|-：0,x Z,則MN等于2x3A、-1,0,1B、0,1C、-1,1D、1、乞2x3、若變量x,y滿足約束條件y_-2x，則目標(biāo)函數(shù)z=x_2y的最大值為x _3A、 -9 B、0 C、9 D、154、已知函數(shù)f （x） =log2（x22x a）的值域?yàn)?,；），則正實(shí)數(shù)a等于A、1 B、2C、3 D、4、x2y25、 雙曲線1（m 0,n 0）的離

2、心率為m nA、1 B、4C、8D、6、 據(jù)報(bào)道，德國(guó)“倫琴” （ROSAT ）衛(wèi)星將在2,有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4mx的焦點(diǎn)重合，貝 U n 的值為122019 年 10 月 23 日某時(shí)落在地球的某個(gè)地方，砸中地球人的概率約為，為了研究中學(xué)生對(duì)這件事情的看法，某中學(xué)對(duì)此事進(jìn)行了問卷調(diào)查，共收到3200效問卷，得到如下結(jié)果。對(duì)衛(wèi)星撞地球的態(tài)度關(guān)注但不擔(dān)心關(guān)注有點(diǎn)擔(dān)心人數(shù)（人）1000500則從收到的 2000 份有效問卷中，采用分層抽樣的方法抽取2B、37、257（x - 2） （1 -x）中x的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之差的絕對(duì)值為2000 份有關(guān)注且非常關(guān)心X30020 份，抽到的關(guān)注且非常擔(dān)心的

3、問卷份數(shù)為不關(guān)注5 B、3C、2D、08、設(shè)向量a,b滿足：|a| = 2,a b ,| a 5| = 2二2，則|b|等于2-1-.-32 29、已知某幾何體的三視圖如右圖所示，其中，正（主）視圖， 側(cè)（左）視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三 角形構(gòu)成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為&兀,14兀亠1B、3236sin x10、 設(shè)f（x）二叱，則滿足C、D、22二1- 十一6 6n?.n二 二C、f ()-f (-)的最小正整數(shù)6 6 6x二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分)11、觀察下列等式：1323=(12)2,13233(12 3)2,1323

4、334 (12 3 4)2,，根據(jù)以上規(guī)律，13+23+33+43+53+63+73+83=_。(結(jié)果用具體數(shù)字作答)12、極點(diǎn)到直線、.2_ ( *三R)的距離為sin(日+王)413、 在一次演講比賽中，10 位評(píng)委對(duì)一名選手打分的莖葉圖如下所示，若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，得到一組數(shù)據(jù)人(1叮乞8)，在如圖所示的程序框圖中，X是這 8 個(gè)數(shù)據(jù)中的平均數(shù)，則輸出的S2的值為_一x2+4x _10(x蘭2)14、 已知函數(shù)f(x)，若f (6 - a2) f(5a)，則實(shí)log3(x 1)6(x2)數(shù)a的取值范圍是_12-15、 對(duì)于函數(shù)f (x) - -2cosx,x：二0,二與函數(shù)g(

5、x) x In x有下列命題：21無論函數(shù)f (x)的圖像通過怎樣的平移所得的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)都不會(huì)是奇函數(shù)；2函數(shù)f(x)的圖像與兩坐標(biāo)軸及其直線所圍成的封閉圖形的面積為4;3方程g(x) =0有兩個(gè)根；4函數(shù)g(x)圖像上存在一點(diǎn)處的切線斜率小于0；5若函數(shù)f (x)在點(diǎn) P 處的切線平行于函數(shù)g(x)在點(diǎn) Q 處的切線，則直線 PQ的斜率為，其中正確的命題是 _。(把所有正確命題的序號(hào)都填上)2一兀三、解答題(本大題共 6 小題，共 75 分)16、 (本題滿分 12 分)已知 ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，且 2cos2B =8cos B -5，( 1)求角

6、B 的大小；(2)若 a =2，求 ABC 的面積。B、8C、9D、1017、(本題滿分 12 分)已知軸對(duì)稱平面五邊形C結(jié)束AD = AB =1 , CD =BC =3，將此圖形沿 BC 折疊成直二面角,連接 AF、DE 得到幾何體(如圖 2)(1)證明：AF/平面 DEC;(2)求二面角 E AD B 的正切值。18、(本題滿分 13 分)今年夏季酷暑難熬，某品牌飲料抓住這一時(shí)機(jī)舉行夏季促銷活動(dòng)，若瓶蓋中印有“中獎(jiǎng)2 元”字樣，則可以兌換 2 元現(xiàn)金，如果這種飲料每瓶成本為2 元，投入市場(chǎng)按每瓶 3 元銷售，“中獎(jiǎng) 2 元”綜合中獎(jiǎng)率為 10% .(1) 求甲夠買飲料 3 瓶，至少有 2

7、瓶中獎(jiǎng)的概率；(2) 若該廠生產(chǎn)這種飲料 20 萬瓶，假設(shè)全部售出，則盈利的期望值是多少？19、(本題滿分 12 分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為Sn, a= 3,S3= 39.(1)求數(shù)列an通項(xiàng)公式;(2)若在an與an 1之間插入 n 個(gè)數(shù)，使得這 n 2 個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列,求證： 丄丄1 2 35。d1d2dn812一20、(本題滿分 13 分)已知函數(shù)f(x)二alnx x-(a)x(a，R).2(1) 當(dāng) 0: a : 1時(shí)，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知命題 P：f（x）_O對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立，若命題 P 成立的充要條件是a|a乞t

8、，求實(shí)數(shù)t的 值。21、（本題滿分 13 分）已知橢圓 C：y1，直線 I 與橢圓 C 相交于 A、B 兩點(diǎn)，OAOB=0（其中4O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）。（1） 試探究：點(diǎn) 0 到直線 AB 的距離是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由；（2） 求|0A|0B|的最小值。皖南八校 2019 屆高三第二次聯(lián)考 數(shù)學(xué)（理科）參考答案、解析及評(píng)分細(xì)則直線x =3 與直線 y = -2x 的交點(diǎn)即（3,-6）時(shí)取最大值，故zmax=154. Bx2_2x + a =(x_1 f _1 M a_1, a _1 =1,貝 Ua = 2.5. D 拋物線焦點(diǎn)F(m,O)為雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)，m n =m2，

9、又雙曲線離心率為 2,n214，即n =3m，所以4m = m，可得m = 4, n = 12.m1.A2.D3.D4.B5.C6.A7.A8.B9.C10.C11.129612.C13.1514.-6,115.提示:1. A(2 i)22-i (2 -i)(2 i) 55343 44i，故它所表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是（二上）.2.DN = 5,1 M N 二 1.3.D畫出滿足不等式組的可行域，易得目標(biāo)函數(shù)過8811.1296邊 分觀察前另U3 個(gè)等式發(fā)現(xiàn)左邊的等式分別是從是開始的兩個(gè)數(shù)、三個(gè)數(shù)、四個(gè)數(shù)的立方和，等式右方， 因 此 可132333433333253弋 63+73+83= ) 1 +

10、12.空2=sinvcosv -1= x y =1,SW4)7113.15若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后得到的8 個(gè)數(shù)據(jù)為 78,80,82,82,86,86,88,9078 80 82 8286 86 88 90 A84, s36 16 4 4 4 4 16 36=15.，則14.-6,1f x 為單調(diào)遞增函數(shù)，.6-a25a.6. A非常擔(dān)心的同學(xué)有 2000 300 1000-500=200,故20工2 =220007. A 常數(shù)項(xiàng)為C；22C0=4 ,X7系數(shù)為C0C?(-1)5二1,常數(shù)項(xiàng)與X7系數(shù)的差為 5RT2一2_一一2-2,8. Ba+b =a +2ab+b =4+3 + b

11、 =8,二 b =1由三視圖可得該幾何體的上部分是一個(gè)三棱錐，下部分是半球，所以根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得+丄61. 3、31133 ?。ㄇ桑?，2,?。?，。1）“，3），（5,/（6,0）,（7,-畀8，-云），（9,-臥10,-于），川3n V_0323，所以最小正整數(shù)10-0209.CV =-4(空)3- - 1 1 1=22323210.Cn二sin要使f(-)匚：:：f (n6 一JI6 6)=sin 工6兀.(n +10 sin6 6Tt成立，只要比較函數(shù)+6ny =sin x上的整點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率即可，函數(shù)6兀y“n6x上的橫坐標(biāo)為正數(shù)的整點(diǎn)分別為可得土09 一 0467TT15.函

12、數(shù)向左平移個(gè)單位所得的為奇函數(shù)，故錯(cuò)；函數(shù)f(x)的圖象與坐標(biāo)軸及其直線X = i所2圍成的封閉圖形的面積為2(2cosx)dx=4,故對(duì)；函數(shù)所以函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故與錯(cuò)；同時(shí)要使函數(shù)點(diǎn)Q處的切線只有f (x) =g(x)=2，這時(shí)p(,0),Q,1)2216.解：(I)： 2cos2B= 8cosB 5,2 2(2cos B 1) 8cosB+ 5 = 0.4cos2B 8cosB+ 3 = 0,即(2cosB 1)(2cosB 3)= 0.13解得 cosB= 或 cosB =-(舍去).22jrT 0B n, B =3 A =, C =，又 I a=233 ABC 是邊長(zhǎng)

13、為 2 的等邊三角形.12 分17.解：(I) *以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線 BF、BC BA 為 x 軸、y 軸、z 軸的正方向建立如圖所示的坐標(biāo)系.由已知與平面幾何知識(shí)得，A(0,0,1), F(1,0,0), D(0-3,-), E(-3,0),22 2 2121g(x) x In x的導(dǎo)函數(shù)g(x)=x 2,-xg(x)在2f (x)在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)，所以kpQ，正確.2 -n(n)法一：T a+ c= 2b.-cosB =2丄2fa + c :222a c a2c2一b22_ 12ac - 22ac化簡(jiǎn)得 a2+ c2 2ac= 0，解得 a= c. ABC 是邊長(zhǎng)為 2

14、 的等邊三角形.ABC 的面積等于、312 分法二:Ia+ c= si nA+ si nC= 2sinB=2sin = 3.32兀廠 sinA+ sin( A)=3,32 -2 si nA+ sincosA cos sinA= 3.33化簡(jiǎn)得|sinA3cosA = 3 , sin(A+) = 1.6/ 0A n,jr A + 一6q 二 3故an-3n6 分又DE 平面 DCE ,且 AF 二平面 DCEAF/平面 DEC .3 1(H)由(I)得A、D、E、F四點(diǎn)共面，AF =(1,0,-1), AD =(0, )，設(shè)n_平面ADEF,2 2n = (x,y,z)，則:篤：Zz)_0 J

15、0,不妨令y=_1，故n =(羽,心)，由已(0,亍2)(x, y, Z) =0T5y+z=知易得平面 ABCD 勺一個(gè)法向量為 口二(1,0,0),212 3COS：nn，二二面角 E-AD-B 的正切值為 -7318.解：(I)設(shè)甲購買該飲料3 瓶，至少有 2 瓶中獎(jiǎng)的概率為P,貝UP=C；(0.1牝10.1 J+C；0.1$ =0.028. 6 分(n)設(shè)售出一瓶這種飲料盈利為,則可取一1,1,且P( - -1) = 0.1,P=1) = 0.9故 20 萬瓶的盈利期望值為：E=(-1 0.11 0.9) 20=16(萬元). 13 分19解：(I)；印=3, S3=39,. q = 1

16、221 q q =13,q q -12 =0一 2)2AF DE，二 AF/ DE,312 分故的分布列為:-11P0.10.931-q31 q=39- AF =(1,0, -1), DE =(13 分(u) ；a* = 3，則an 1= 3，由題知:ax x _：1 a =x(I)當(dāng)0：a：1時(shí)，f x、f x的變化情況如下表:x(0, a)a(a，1)1(1, +吆)f (X)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間是0,a, 1,，單調(diào)遞減區(qū)間是a,11(n)由于f1a,顯然a 0時(shí)，f 1：0,此時(shí)f x - 0對(duì)定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的，

17、21當(dāng)a乞0時(shí)，易得函數(shù)f x在區(qū)間0,：的極小值、也是最小值即是f 1a，此時(shí)只要f 1 _021(1n即可，解得 a-,二實(shí)數(shù)a的取值范圍是-旳，-.22an 1二an(n 1)dn,則dn13nn 1由上1 _ n 1dn一2_3n，所以Tn11123n 1=+1T亠+亠+嚴(yán),32 322 332 32所以2Tn3111 1 1(2332 333n 1n 12況3所以Tn55+2n 5 .8一8 3n8.12 分x2-：1 a x axx-1 x-axn 15 5 2nn 1n “12 312 4 320.解:P成立的充要條件為13 分21. (I)點(diǎn)O到直線AB的距離是定值2451 4

18、k2設(shè)A(Xi, yJ,B(X2,y2),當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱性可知,245d卄卜5當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y二kx m,2x與橢圓C :y2= 1聯(lián)立,4消去y得：2 2 2(1 4k )x 8kmx 4m -4=0,因?yàn)镺A _ OB，所以x-!x2y1y 0,所以(1 k2)XjX2km(Xjx2) m2=0,整理得5m4(k21),(n)(法一：參數(shù)法)設(shè)A(x1, y1),B(X2, y2)，設(shè)直線OA的斜率為k(k = 0)，則OA的方程為y二kx, OA OB =0，即XX2y2=0，也就是xj - %2-0，代入橢圓方程解得:|xi曰yi|

19、5=X2，yi = -y2.此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離Xix2=-8 km1 4k24m2-4X2- i . 4k2代入得:(1 k2)4 m2- 41 4k28k2m21 4k2-m2O到直線AB的距離d =同.k212、5綜上所述，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值2,552451 4k2OB的方程為y - - lx,k解方程組2X1y = kxx22，得 1)，貝U OA OB=4t24t29t一92525令g(tr二9=_9(kl)2.25(t 1)，所以4：g(t) f，即t2tt 2448-OA OB 2511 分當(dāng)k=0時(shí)，可求得OA OB =2，故85OA OB蘭2，故OAOB的最小值為

20、-，最大值為52.2,5代入上式可得：24228(|OA| |OB|)2(|OA|2|OB|2)一-|OA| |OB |,55|OA| |OB|_8,(當(dāng)且僅當(dāng)511 分. 13Rt OAB中，點(diǎn)O到直即|OA|=|OB|時(shí)取等號(hào)）4k2線AB的距離|OH| = 5設(shè)NOAH =8，則N BH=日，故|0A| =1OH1,|OBF1O).9 sin BcosB82所以，|0A| |OB|= PH I5, . 11 分sin 日 cos 日 sin2 日-i8顯然，當(dāng)2日=，即日=時(shí)，OA OB取得最小值，最小值為 2452019 屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）參考答案、解析及評(píng)分細(xì)則提示:直線x

21、 =3 與直線 y 工-2x 的交點(diǎn)即（3,-6）時(shí)取最大值，故zmax=1513. Bx2-2x +a = (x -1f+a-1-1,二 a -1 =1,貝 Ua =2.14. D 拋物線焦點(diǎn)F(m,0)為雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)，m，n二m2，又雙曲線離心率為 2,n2-14，即n =3m，所以4m = m2，可得m =4, n =12.m15. A非常擔(dān)心的同學(xué)有 2000- 300- 1000 500=200,故20匯-200= 22.A2.D3.D4.B5.D6.A7.A8.B9.C10.C11.1296212.-213.1514.-6,115.13 分皖南八校10. A2 i_2 -i一(2

22、 i)23 =_ +_(2-i)(2 i) 5544i，故它所表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是(|,5)11.DN =01，二 M 口 N = 1.12.D畫出滿足不等式組的可行域，易得目標(biāo)函數(shù)過200016. A 常數(shù)項(xiàng)為C；22C；=4,x7系數(shù)為C0C；(-1)5=-1，常數(shù)項(xiàng)與x7系數(shù)的差為 5y =sin x上的整點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率即可，函數(shù)6心才上的橫坐標(biāo)為正數(shù)的整點(diǎn)分別為133ii(1,2)，(2，1-)，(3,1)，(4,了)，6,0)一外8,13.15若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后得到的8 個(gè)數(shù)據(jù)為 78,80,82,82,86,86,88,90，貝 U-1236：16九4：；4：4：4：

23、16：36x 78 80 82 82 86 86 88 90 = 84,s215.8 815.-6,1f x 為單調(diào)遞增函數(shù)，6-a25a.15.函數(shù)向左平移個(gè)單位所得的為奇函數(shù)，故錯(cuò)；函數(shù)f(x)的圖象與坐標(biāo)軸及其直線x-二所2兀11圍成的圭寸閉圖形的面積為22(2cosx)dx=4,故對(duì)；函數(shù)g(x) = x2+lnx的導(dǎo)函數(shù)g(x) = x+啟2,02x17.B, .2.2” . 2 2a+b =a +2ab+b =4+3+b =8,”=118.C由三視圖可得該幾何體的上部分是一個(gè)三棱錐，下部分是半球,14二.231 1( ) 111 =2323 210.C所以根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得si

24、n要使仁巴)匚巴.6n兀6JT+ 6sin丄上6一成立，只要比較函數(shù)n 1二6可得-1 -019-0910 -0上3，所以最小正整數(shù)20邊分別是這幾個(gè)數(shù)的和的平方，因此可得3333333322123456781 2.3456713.2由Q 1斗-2一-sin v - cos：1_ x y -1，故d.2 小，兀、211.1296 觀察前 3 個(gè)等式發(fā)現(xiàn)左邊的等式分別是從1 開始的兩個(gè)數(shù)、三個(gè)數(shù)、四個(gè)數(shù)的立方和，等式右兀sin(v ),(9, -1),(10,-2， 川所以函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故與錯(cuò)；同時(shí)要使函數(shù)f (x)在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g(x)在1 1點(diǎn)Q處的切線只有f (

25、x)=g(x)=2，這時(shí)P(,0),Q,)，所以kPQ，正確.222-兀17.解：(I)： 2cos2B= 8cosB 5, 2(2cos B 1) 8cosB+ 5 = 0.2 4cos B 8cosB+ 3 = 0,即(2cosB 1)(2cosB 3)= 0.13解得 cosB=或 cosB =-(舍去).226 分T 0B n,二 B =32 2 , 2a + c b(n)法一:Ta+ c= 2b. cosB2ac化簡(jiǎn)得 a2+ c2 2ac= 0，解得 a= c.a2c22ac6 分 ABC 是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形.ABC 的面積等于,312 分法二:Ia+ c=IT si nA

26、+ si nC= 2sinB=2sin = 3.3 sinA+sin( A)=3,32 二 2 二-sinA+ sincosA cos sinA= 3.333化簡(jiǎn)得一 sinA+2一cosA =、3, sin(A+ ) = 1.2 6/ 0A n,JI A =3 ABC 是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形. ABC的面積C =，又 a=23312 分17解：（I）：以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線BF、BCBA 為 x軸、標(biāo)系.由已知與平面幾何知識(shí)得，A(0,0,1), F(1,0,0), D(0-3,-), E(-A3,0),2 2 2 2即=(1,0,-1佐*0,-3),齊二DE, AF DE223

27、又DE 平面 DCE ,且 AF 二平面 DCE-AF/平面 DEC .（H）由（I）得A、D、E、F四點(diǎn)共面,AF =(1,0,-1), AD =(0,6），設(shè)平面ADEF2 2彳(1,0,-1) (x,y,z) =0n =(x, y,z)，則/7一1二(0,丁，2)(x，y,z) =0 x - z= 0，y二_1，故n= C：3,-1.一），由已軸、z 軸的正方向建立如圖所示的坐151T=丄+丄+,3n2 322 332 3n 1知易得平面 ABCD 勺一個(gè)法向量為q = （1,0,0）,.面E-AD-B的正切值為233.12 分22.解：（I）設(shè)甲購買該飲料3 瓶，至少有 2 瓶中獎(jiǎng)的概

28、率為P，貝 UP=C；0.121_0.1 C330.13= 0.028. 6 分（n）設(shè)售出一瓶這種飲料盈利為,則可取1,1,且p（- _1）=0.1,p=1）二0.9故的分布列為:-11故 20 萬瓶的盈利期望值為：E=（-1 0.11 0.9） 20=16（萬元）. 13 分23.解：(I)；印=3, 5=39,q尸1血=391-q2 21 q q -13,qq -12=0故an=3n(n)；an= 3n，則an 1= 3n 1，由題知:由上知：1 n 1dn- 2bn，111所以Tn：4d2dn23.心2 呵+ - + .2 32 32cos : ng2 3n帕，則“缶1 n 1亠)一1

29、3n)2 3n11卩_(1嚴(yán)1119 IL 3n 155 2n3 2112 3n 112 4 3n_3(I)當(dāng)0：a：1時(shí)，f x、f x的變化情況如下表:x(0, a)a(a，1)1(1,+血)f (x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間是0,a, 1,二，單調(diào)遞減區(qū)間是a,1 .6分 1(n)由于f 1a，顯然a 0時(shí)，f 1 0,此時(shí)f x _0對(duì)定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的,2當(dāng)a乞0時(shí)，易得函數(shù)f x在區(qū)間0,：的極小值、也是最小值即是1即可，解得a,.實(shí)數(shù)a的取值范圍是2f1 I1 p 成立的充要條件為-.故 t= . . 13 分I2225. (I)點(diǎn)O到直線AB的距離是定值.設(shè)A(X1,%)月區(qū)，丫2),當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱性可知,2亦 此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離d=|捲|=1.所以2 1113T32(32所以Tn5 5+