1、數(shù)值分析試題填空題(2 0 X 2')1. 322 設x=°.231是精確值x*=0.229的近似值，則X有_2_位A,X13有效數(shù)字。2. 若 f(x)=x7 X3 + 1 ,貝U f2 0,21,2 2,2 3,24,2 5,26,2 7=1,f 2 0,21,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 7,2 8=。3. 設,11 All 乂=_5 ,11 X| 乂=_ 3 ,II AX|_15_ _。4. 非線性方程f (x)=0的迭代函數(shù)x= (x)在有解區(qū)間滿足| ' (x)| <1，則使用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。5. 區(qū)間a, b上的

2、三次樣條插值函數(shù)S(x)在a, b上具有直到_2_階的連續(xù)導數(shù)。6. 當插值節(jié)點為等距分布時，若所求節(jié)點靠近首節(jié)點，應該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的前插公式，若所求節(jié)點靠近尾節(jié)點，應該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的后插公式;如果要估計結(jié)果的舍入誤差，應該選用插值公式中的拉格朗日插值公式。n7. 拉格朗日插值公式中f(xj的系數(shù)a(x)的特點是：ai(x) _J;所以當系數(shù)a(x)i 0滿足ai(x)>1，計算時不會放大 f(xj的誤差。8. 要使 20的近似值的相對誤差小于0.1%,至少要取_4位有效數(shù)字。9. 對任意初始向量X0)及任意向量g,線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)

3、+g(k=0,1,)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是<110.由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項式的次數(shù)最高是_5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511. 牛頓下山法的下山條件為|f(xn+1)|v|f(xn)|。12. 線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri ( i =0,1,，n)來實現(xiàn)的，其中的殘差ri二(bai/i-a-anxj/a i, (i =0,1,，n)。13. 在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f (x)的二階導數(shù)不變號，則初始點 X。的選取依據(jù)為f(x0)f ”(x0)>0

4、。14. 使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值、迭代計算。二、判斷題（10X 1'）1、 若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組b 一定可以使用高斯消元法求解。（X ）2、 解非線性方程f（x）=O的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。（）3、若A為n階方陣，且其元素滿足不等式則解線性方程組AX b的高斯塞德爾迭代法一定收斂。（X ）4、 樣條插值一種分段插值。（）5、 如果插值結(jié)點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。（）6 從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。（ ）7、 解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方

5、程組AX b0（X ）8、 迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計，直到最后一步迭代計算的舍入誤差。（X ）9、 數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差二舍入誤差。（）10、 插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。（X ）三、計算題（5X10'）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交換第一與第二行：L21=1/5=0.2,l 31=2/5=0.4 方程化為：（-022.6 ）最大元在第三行，交換第二與第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化為：回代得：x13.00005

6、x25.99999x31.000102、 用牛頓一一埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式R（x），并寫出其截斷誤 差的表達式（設f（x）在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導數(shù)）。Xi012f(Xi)1-13f ' (Xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對下面的

7、線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應用雅克比迭代法和高斯一一賽德爾迭代 法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯一一賽德爾迭代法的迭代公式，并簡單說明收斂的理由。解答: 交換第二和第四個方程，使系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu):雅克比迭代公式： x41計算機數(shù)學基礎（2）數(shù)值分析試題x2 4x3 x48X! 、單項選擇題5x每小題3分，共15分）1.已知準確值x*與其有t位有效數(shù)字的近似值x = 0.0aia2-anX 10S( ai 0)的絕對誤差s 1 t(A) 0.5 X 10(B) 0.5s 一 tX 10(C) 0.5X 10s+1 t (D) 0.5X 10s+12.以下矩陣

8、是嚴格對角占優(yōu)矩陣的為 （）2100521012101410(A)(B)01211141001200125210421 11421141 0(C)(D)2141214 10012131 53.過（0，1)，(2，4），（3，1）點的分段線性插值函數(shù)P( X)=()33X10X 2X10 X2(A)2(B)23x102X 33x2102 X3x 10 x2X1 0x 2(C)2(D)23x 10 2 x3X4 2x 34.等距二點的求導公式是（）1f (Xk)-( YkYk 1)f (Xk)y(Yk Yk 1)(A)h(B)h1f (Xk 1)(YkhYk 1)f (Xk 1)1(Yk Yk 1

9、) h1f (Xk)-( YkYk 1)(C)h(D)1f (Xk 1)-(Yk 1Yk)h5. 解常微分方程初值問題的平均形式的改進歐拉法公式是 那么yp, yc分別為（）.YpYkhf(Xk, Yk)YpYkhf (Xk 1,Yk)(A)(B)YcYkhf(Xk 1, Yk)YcYkhf(Xk,Yp)YpYkf(Xk, Yk)YpYkhf(Xk,Yk)(C)(D)YcYkf (Xk, Yp)YcYkhf (Xk 1, Yp)二、填空題（每小題3分，共15分）6. 設近似值 Xi,X2滿足（幼=0.05 ,（X2）=0.005，那么（XiX2）=.7. 三次樣條函數(shù) S（x）滿足：S（x）在

10、區(qū)間a, b內(nèi)二階連續(xù)可導，S（Xk）=yk（已知），k=0,1,2,，n,且滿足S(x)在每個子區(qū)間Xk, Xk+i上是.bnn8. 牛頓一科茨求積公式_ f(x)dxAkf (xk)，貝9Ak =.a k 0k 09. 解方程f (x)=0的簡單迭代法的迭代函數(shù)(x)滿足在有根區(qū)間內(nèi) ，則在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點作為初始值，迭代解都收斂.10. 解常微分方程初值問題的改進歐拉法預報一一校正公式是預報值： yk 1 yk hf(xk,yk)，校正值： yk+i=.三、計算題(每小題15分，共60分)11. 用簡單迭代法求線性方程組的X3).取初始值(0,0,0) T，計算過程保留4位小數(shù).12

11、. 已知函數(shù)值 f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函數(shù)的四階均差f (0,1,3,4,6) 和二階均差 f (4，1，3).313. 將積分區(qū)間8等分，用梯形求積公式計算定積分1 1 x2dx，計算過程保留4位小數(shù).14. 用牛頓法求,115的近似值，取x=10或11為初始值，計算過程保留4位小數(shù).四、證明題(本題10分)15. 證明求常微分方程初值問題在等距節(jié)點a=X0<X1<vxn二b處的數(shù)值解近似值的梯形公式為hy(Xk+1)yk+1=yk+- f (xk, yk)+f(Xk+1, yk+1)2其中 h=Xk+1 Xk( k=0

12、,1,2, -n 1)計算機數(shù)學基礎(2)數(shù)值分析試題答案一、單項選擇題(每小題3分，共15分)1. A 2. B 3. A 4. B 5. D二、填空題(每小題3分，共15分)6. 0.05X2 +0.005 xi7. 3次多項式h8.b a9.(x)r<110.yk+ f(x-yQf 風 “ yk J hf (Xk+1,ykJ2三、計算題(每小題15分，共60分)11. 寫出迭代格式乂0) =(0,0,0)得到 乂1)= (2.5 , 3,3)得到 X2) =(2.875 , 2.363 7 , 1.000 0)得到 X3) =(3.136 4,2.045 6 , 0.971 6)1

13、2.計算均差列給出.f (Xk)一階均差二階均差三階均差四階均差061140341814/36483661/2362126529/311/11/1551f(0J，3A6)=15f(4, 1, 3)=613. f(x)=1x2,h=20.25 .分點X0=1.0 ,X1=1.25 ,X2=1.5 ,X3=1.75 ,X4=2.0 , X5=2.25 ,8X6=2.50 , X7=2.75 , X8=3.0.函數(shù)值：f (1.0)=1.414 2, f (1.25)=1.600 8, f (1.5)=1.802 8, f (1.75)=2.015 6f (2.0)=2.236 1, f (2.25

14、)=2.462 2, f (2.50)=2.692 6, f (2.75)=2.926 2, f (3.0)=3.1623.2(f(X1)f(X2)f(X3) f(X4) f(X5)f(X6) f(X7) (9 分)0 25=025 X 1.414 2+3.162 3+2 X (1.600 8+1.802 8+2.015 6 2+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125 X (4.576 5+2 X 15.736 3)=4.506 114. 設X為所求，即求X2 115=0的正根.f (x)=x2 115.因為 f ( x)=2 x, f (x)=2 , f

15、(10) f (10)=(100 115) X 2<0, f (11) f (11)=(121 115)X 2>0=10.723 8取 X0=11.X3=107空=10.723 82 10.723 8Xk+1=Xk-f(Xk)=Xk x2 115 Xk 115(k=0,1,2,) f (Xk)2Xk22Xk 'X1 =2115=10.727 32 11有迭代公式%2=企跡22 10.727 3X* 10.723 8四、證明題(本題10分)15. 在子區(qū)間Xk+1,Xk上，對微分方程兩邊關于X積分，得Xk 1y(Xk+J y(Xk)=f(x,y(x)dxXk用求積梯形公式，有

16、hy( Xk+1) y(Xk)= 一 f (Xk, y(Xk) f (Xk 1,y(xk 1)2將 y(Xk), y(Xk+i)用 yk, yk+i 替代，得到y(tǒng)(Xk+1)yk+1二yk+h f (Xk, yk)+f (Xk+1, yk+1)( k=0,1,2,n 1) 2數(shù)值分析期末試題填空題(10 20分)(1)設 A 20 ，則 |A13(2)對于方程組2x110x15x24x21，Jacobi3迭代法的迭代矩陣是Bj02.52.50(3) 3 X*的相對誤差約是X*的相對誤差的(4)求方程xf(x)根的牛頓迭代公式是Xn 1Xn f (X1 f'(Xn)(5)設 f(x) x

17、3 x1，則差商 f 0,123 _J(6)設n n矩陣G的特征值是n，貝V矩陣G的譜半徑(G)max(7)1 2已知A 0 1，則條件數(shù)Cond(A) _9(8 )為了提高數(shù)值計算精度，當正數(shù)X充分大時，應將ln(x X21)改寫為ln( x, x2 1) o(9) n個求積節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為n 1次。(10)擬合二點(X1 , f (X1) , (X2,f(X2),1 3(X3, f(X3)的水平直線是y3i1f(Xi)。2x1X2證明:(10分)證明：方程組X1X1X2X2X3X32x311使用Jacobi迭代法求解不收斂性。1Jacobi迭代法的迭代矩陣為Bj的特征

18、多項式為Bj的特征值為10，21 -25i，、1.25i，故(BJ . 1.25 > 1,因而迭代法不收斂三、 （10分）定義內(nèi)積試在比Span1,x中尋求對于f（x）、x的最佳平方逼近元素p（x）解：0(x) 1， i(x) x，(0,0)1dx 10，(1, 0)110xdx- ， ( 1, 1)1 2 10x dx 3 ,( 0, f )0： xdx23，(1, f)x、xdx0205法方程解得co 15，ci 15。所求的最佳平方逼近元素為P(X)4151212x，四、（10分）給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試用三次多項式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)。解

19、:y(x)23C°C|X C2XC3X1248501001111010034A 1000 ,ata100340111103401301248法方程的解為C00.4086 , C10.39167 ,C20.0857 , c30.00833得到三次多項式誤差平方和為 30.000194五. （10分）依據(jù)如下函數(shù)值表012419233建立不超過三次的Lagrange插值多項式，用它計算f (2.2)，并在假設f(4)(x)1下，估計計算誤差。解:先計算插值基函數(shù)所求Lagrange插值多項式為3 1 1 3 45 2 1L3(x)f (Xi)li(x) lo(x) 9IMx) 23l2(x) 3*(x)x x -x 1i o442f (2.2) L3(2.2)25.0683。