1、用向量方法求空間角和距離在高考的立體幾何試題中,求角與距離是?？疾榈膯栴},其傳統(tǒng)的三步曲解法：“作圖、證實(shí)、解三角形,作輔助線多、技巧性強(qiáng),是教學(xué)和學(xué)習(xí)的難點(diǎn).向量進(jìn)入高中教材,為立體幾何增添了活力,新思想、新方法與時(shí)俱進(jìn),本專題將運(yùn)用向量方法簡捷地解決這些問題.1求空間角問題空間的角主要有：異面直線所成的角；直線和平面所成的角；二面角.(1)求異面直線所成的角設(shè)a、b分別為異面直線a、b的方向向量,I的角a的法那么兩異面直線所成的角«=arccos|(3)求二面角、在京內(nèi)a,l,在P內(nèi)b,l,其方向如圖,那么二面角-l-P的平面角=arccos-bl|a|b|法二、設(shè)二,二,是二面

2、角«-l-P的兩0lP的平面角a=2求空間距離問題構(gòu)成空間的點(diǎn)、線、法,象異面直線間的距離(1)求點(diǎn)面距離*y(2)求異面直線的距離_niU2arccos一|ni|何|面之間有七種距離,這里著重介紹點(diǎn)面品目離的求、線面距離；面面,距離都口化為點(diǎn)向距離來求.法一、設(shè)n是平面a的法向量,在口內(nèi)取一點(diǎn)B,那么A到g的距離d=|AB|cos9|=|人即|n|法二、設(shè)AO_Lo(于O,利用AOla和點(diǎn)O在u內(nèi)的向重表不,可確7E點(diǎn)O的位置,從而求出|AO|.個(gè)半平面的法向量,其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè),另一個(gè)指向外側(cè),那么二面角a/一法一、找平面P使buP且aB,那么異面直線a、b的距離就轉(zhuǎn)化為直線a

3、到平回P的距離,又轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面P的距離.法二、在a上取一點(diǎn)A,在b上取一點(diǎn)B,設(shè):、b分別為異面直線a、b的方向向量,求n(n_La,n_Lb),那么異面直線a、b的距離d=|AB|cosB|=3場(此方法移植|n|于點(diǎn)面距離的求法).cosTdEi_fC1(II)如皆|DE|L|FCi|DDi十Di|)LCFBi|正口記IDEU坐標(biāo)系Dxyz,=(1,0,2),DB=(2,2,0)建設(shè)面EFBD/|二,回盛次、5'5獲"01*DBn=0s£(x,y,1)s5由例1.如圖,在棱長為2的正方體ABCDABQ1D1中,分別是棱AD,ABi的中點(diǎn).(I)求異面直線DE

4、與FCi所成的角；(II)求BG和面EFBD所成的角；(III)求B1至U面EFBD的距離解：(I)記異面直線DE與FCi所成的角為a,那么*等于向量DE與Fg的夾角或其補(bǔ)角,得n=(-2,2,1)又BC1=(-2,0,2)記BCi和面EFBD所成的角為6貝Usin二一|cosBG,n|=|BCn|二二|BG|n|2BG和面EFBD所成的角為-.4(III)點(diǎn)Bi到面EFBD的距離d等于向量BB在面EFBD的法向量上的投影的絕對(duì)值,d設(shè)計(jì)說明：1.作為本專題的例1,首先選擇以一個(gè)容易建立空間直角坐標(biāo)系的多面體正方體為載體,來說明空間角和距離的向量求法易于學(xué)生理解.2 .解決(1)后,可讓學(xué)生進(jìn)

5、一步求這兩條異面直線的距離,并讓學(xué)生體會(huì)一下:如果用傳統(tǒng)方法恐怕很難(不必多講,高考對(duì)公垂線的作法不作要求).3 .完成這3道小題后,總結(jié)：對(duì)于易建立空間直角坐標(biāo)系的立幾題,無論求角、距離還是證實(shí)平行、垂直(是前者的特殊情況),都可用向量方法來解決,向量方法可以人人學(xué)會(huì),它程序化,不需技巧.例2.如圖,三棱柱中,ABCD是邊長為1的正方形,四邊形AA'BB是矩形,平面AA'BB_L平面ABCD.(I)假設(shè)AAH=1,求直線AB到面DAC的距離.(II)試問：當(dāng)AA,的長度為多少時(shí),二面角D-ACA的大/J、為60=?解：(I)如圖建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,那么DA'

6、9;=(-1,1a)DC=(0,1,0)T優(yōu)1n設(shè)面DAC的法向量為R=(x,y,1)那么DA一0DCn=0ZBT得n1=(a,0,1)直線AB到面daC的距離d就等于點(diǎn)A到面daC的距離,也等于向量ad在面daC的法向量上的投影的絕對(duì)值,.d)代力遮1nli2(II)易得面aaC的法向量：=(1,0)22向量的夾角為60：7T1nnca由cosn；,n2)=T*=2產(chǎn)=一得a=1In/ni222a1-2當(dāng)AA=1時(shí),二面角DACA的大小為60.設(shè)計(jì)說明：1.通過(I),復(fù)習(xí)線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再轉(zhuǎn)化為一向量在一向量(法向量)投影的絕對(duì)值的解題思路與方法.2.通過(II),復(fù)習(xí)面面角轉(zhuǎn)化為兩

7、向量的夾角或其補(bǔ)角的方法,也可借此機(jī)會(huì)說明為什么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ),就沒有其他情況.例3.正三棱柱ABC-AB©的所有棱長均為2,P是側(cè)棱AA上任意一點(diǎn).(I)求證：直線BiP不可能與平面ACGA垂直；(II)當(dāng)BG_LBiP時(shí),求二面角C-B,P-&的大小.證實(shí)：(I)如圖建立空間坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)AP=a那么A,C,B,P的坐標(biāo)分別為(0,-1,0),(0,1,0),(73,0,2)(0,-1,a).AC=(0,2,0),B1P=(-3,-1,a-2)AC'品=-2#0,B1P不垂直AC,直線BiP不可能與平面ACGA垂直.(II)Bc1=(-3,1,2),由B

8、Ci_LBP,得最LBP=0即22(a-2)=0.a=1又BC1-LB1C,BC1_L面CB1PBG=73,1,2是面CBF的法向量,一4設(shè)面GBP的法向量為n=1,y,z,由1月,=0B1C1n=0得n=1,5,_2、,設(shè)二面角C-BiPCi的大小為口那么cos、=迎L=-6|BC1|n|4二二面角C-BF-C1的大小為arccos.4設(shè)計(jì)說明：1.前面選擇的兩個(gè)題,可有現(xiàn)成的坐標(biāo)軸,但此題X、Z軸需要自己添加也可不這樣建立.2.第1小題是證實(shí)題,同樣可用向量方法解答,是特殊情況；本小題也可證實(shí)這條直線與這個(gè)面的法向量不平行.通過上面的例子,我們看到向量方法更確切地講,是用公式：/=|a|b

9、|co5解決空間角和距離的作用,當(dāng)然,以上所舉例子,用傳統(tǒng)方法去做,也是可行的,甚至有的例2還較為簡單,用向量法的好處在于克服傳統(tǒng)立幾以純幾何解決問題帶來的高度的技巧性和隨機(jī)性.向量法可操作性強(qiáng)運(yùn)算過程公式化、程序化,有效地突破了立體幾何教學(xué)和學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),是解決立體幾何問題的重要工具.充分表達(dá)出新教材新思想、新方法的優(yōu)越性.這是繼解析幾何后用又一次用代數(shù)的方法研究幾何形體的一塊好內(nèi)容,數(shù)形結(jié)合,在這里得到淋漓盡致地表達(dá).練習(xí)：1.在正四面體S-ABC中,棱長為a,E,F分別為SA和BC的中點(diǎn),求異面直線BE和SF所成的角.arccos-32.在邊長為1的菱形ABCD中,/ABC=60口,將菱形沿對(duì)角線AC折起,使折起后BD=1,求二面角B-AC的余弦值.(3)P3 .在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD_L底PD=AD=a,問平面PBA與平面PBC能否垂直試說明理由.(不垂直)4 .在直三棱柱ABC-AB£中,/A=90°,O,Q,G分別為BC,B",AA的中點(diǎn),且AB=AC=AA=2.(1)求Q到面ACBi