1、第第4 4章章 矩陣的因子分解矩陣的因子分解4.1 4.1 初等矩陣初等矩陣4.2 4.2 滿秩分解滿秩分解4.3 4.3 三角分解三角分解4.4 QR4.4 QR分解分解4.5 Schur4.5 Schur定理與正規(guī)矩陣定理與正規(guī)矩陣4.6 4.6 奇異值分解奇異值分解4.1 4.1 初等矩陣初等矩陣初等矩陣初等矩陣 設(shè) ，為一復(fù)數(shù)，如下形式的 矩陣nCvu,) 1 . 1 . 4(),(HuvIvuE稱為初等矩陣初等矩陣.使得和可適當(dāng)選取對任意非零向量vuCban,)3()3 . 1 . 4(),(bavuE 初等矩陣E(u,v,)具有如下性質(zhì)：;1),(det() 1 (uvvuEH矩陣

2、也是初等矩陣可逆，并且其逆，則如果),(1)2(vuEuvH)2 . 1 . 4(),(),(1vuEvuE.1uvH其中初等下三角矩陣初等下三角矩陣，則令1,), 0 , 0(, 1iTniiiievlllu) 1 ,()(iiiiielElLL稱為初等下三角矩陣初等下三角矩陣, 即)4 . 1 . 4(1001101)(, 1iniiTiiiiillelIlLL. )() 1,(, 1)det(1 . 1 . 41iiiiiilLelELL并且知由定理對初等下三角矩陣，當(dāng)i 0,則存在 mr 矩陣B 和 rn 矩陣 C 使得BCA 并且rank(B) = rank(C) = r. 什么是矩

3、陣的滿秩分解？ 矩陣的滿秩分解是否存在？如果存在，滿秩 分解是否唯一？ 如何計(jì)算矩陣的滿秩分解？ 滿秩分解有什么應(yīng)用？ 滿秩分解的應(yīng)用： 有關(guān)結(jié)論的證明。 計(jì)算廣義逆矩陣。4.3 4.3 三角分解三角分解 設(shè)A = (aij)是n 階矩陣，如果 A 的對角線下(上)方的元素全為零，即對i j, aij = 0（對i j,aij = 0），則稱矩陣 A 為上（下）三角矩陣上（下）三角矩陣。上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣三角矩陣。對角元全為1的上（下）三角矩陣稱為單位上（下）三角矩陣單位上（下）三角矩陣。 什么是矩陣的LU分解？ 矩陣的LU分解是否存在？如果存在， LU分解 是否唯一？ 如何

4、計(jì)算矩陣的LU分解？ LU分解有什么應(yīng)用？上（下）三角矩陣的性質(zhì)上（下）三角矩陣的性質(zhì) （LU分解定理分解定理）設(shè) A 是 n 階非奇異矩陣，則 存在唯一的單位下三角矩陣L和上三角矩陣U使得LUA 的充分必要條件是A的所有順序主子式均非零, 即1, 1,011nkkkAk（LDU分解定理分解定理）設(shè)A是n階非奇異矩陣,則存在唯一的單位下三角矩陣L，對角矩陣D=diag(d1, d2,dn )和單位上三角矩陣U使得LDUA 的充分必要條件是A的所有順序主子式均非零，即 ，并且) 1, 1(0niknkdadkkk, 2,1111分解式 稱為矩陣A的LDU分解分解。LDUA 一般說來，即使A是n階

5、非奇異矩陣， A未必能作LU分解和LDU分解。 設(shè)ei是n 階單位矩陣的第i列(i=1,2,n)，以 為列作成的矩陣 稱為 n 階排列矩陣排列矩陣，其中 是1,2,n的一個(gè)排列。neee,21,21niiieeeniii,21 設(shè) A是 n 階非奇異矩陣，則存在排列矩陣P 使得LDUULPA其中L是單位下三角矩陣, 是上三角矩陣，U是單位上三角矩陣，D是對角矩陣。U 排列矩陣的性質(zhì)。 排列矩陣的作用。LU分解的應(yīng)用： 求解線性方程組。 求解矩陣特征值問題。4.4 QR 4.4 QR 分解分解 設(shè) A是 n 階非奇異實(shí)（復(fù)）矩陣，則存在正交（酉）矩陣 Q 和非奇異實(shí)（復(fù)）上三角矩陣 R使得) 1

6、 . 4 . 4(QRA且除去相差一個(gè)對角元絕對值(模)全等于1的對角 什么是矩陣的QR分解？ 矩陣的QR分解是否存在？如果存在，QR分解 是否唯一？ 如何計(jì)算矩陣的QR分解？ QR分解有什么應(yīng)用？ 設(shè)A 是 矩陣，且 ，則存在 m 階正交（酉）矩陣 Q 和 行滿秩矩陣 R使得nm0)( rAranknr0RQA或A有分解RQA1行滿秩矩陣。是列正交規(guī)范矩陣，是其中nrRrmQ1 設(shè) A 是 實(shí)（復(fù)）矩陣，且其n 個(gè)列向量線性無關(guān)，則存在m 階正交（酉）矩陣Q 和 n階非奇異實(shí)（復(fù)）上三角矩陣R使得0RQAnmQR分解的應(yīng)用： 求解線性方程組。 求解矩陣特征值問題。 求解線性最小二乘問題。4.

7、5 Schur4.5 Schur定理與正規(guī)矩陣定理與正規(guī)矩陣使得矩陣階正交（酉），如果存在UnCRBAnnnn)(,)(11BAUUAUUBAUUAUUHT則稱A正交（酉）相似于正交（酉）相似于B。 任何一個(gè)n 階復(fù)矩陣A都酉相似于一個(gè)上三角矩陣，即存在一個(gè)n 階酉矩陣U 和一個(gè)n階上三角矩陣 R 使得) 1 . 5 . 4(RAUUH其中R 的對角元是A 的特征值，它們可以按要求的次序排列。，如果nnCA)5 . 5 . 4(AAAAHH則稱A為正規(guī)矩陣。 n 階矩陣 A 酉相似于一個(gè)對角矩陣的充分必要條件為 A 是正規(guī)矩陣。 若 A是n 階Hermite矩陣，則 A必酉相似于實(shí)對角矩陣，即

8、存在n 階酉矩陣U 使得)6 . 5 . 4(AUUH特征值。的實(shí)是，其中Anidiagin), 1(),(1矩陣矩陣A的譜分解式的譜分解式。 設(shè)A，B 均為n 階正規(guī)矩陣，并且AB = BA，則存在n 階酉矩陣U 使得 與 同時(shí)為對角矩陣。AUUHBUUH定理定理4.5.4 4 任何n 階實(shí)矩陣A都正交相似于一個(gè)擬上三角矩陣，即存在一個(gè)n階正交矩陣Q和一個(gè)n階擬上三角矩陣R使得)7 . 5 . 4(RAQQT其中R是塊上三角矩陣（或稱擬上三角矩陣）,其對角塊為1階塊或2階塊,每個(gè)1階塊是A的實(shí)特征值,而每個(gè)2階塊的兩個(gè)特征值是A的一對共軛復(fù)特征值,且R的對角塊可以按要求的次序排列。 若 A是

9、n 階實(shí)對稱矩陣，則 A正交相似于實(shí)對角矩陣，即存在n 階正交矩陣 Q 使得)13. 5 . 4(AQQT特征值。的實(shí)是，其中Anidiagin), 1(),(14.6 4.6 奇異值分解奇異值分解則設(shè)引理,1 . 6 . 4nmCA) 1 . 6 . 4()()()(ArankAArankAArankHH則設(shè)引理,2 . 6 . 4nmCA；的特征值均為非負(fù)實(shí)數(shù)與HHAAAA) 1 ().()()2(ArankAAAAHH等于重特征值按重?cái)?shù)計(jì)算值的個(gè)數(shù)且非零特征的非零特征值相同，并與使得和非零向量如果存在非負(fù)實(shí)數(shù)設(shè)mnnmCvCuCA,)2 . 6 . 4(,uvAvAuH則稱為A的奇異值奇異值，u 和v 分別稱為A對應(yīng)于奇異值的右奇異向量右奇異向量和左奇異向量左奇異向量。) 3 . 6 . 4(2uvAAuAHH)4 . 6 . 4(2vAuvAAH的特征向量。對應(yīng)于特征值和分別是和的特征值，而的特征值，也是是因此