1、平面向量講義 2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念1 .向量：既有 ,又有 的量叫向量.2 .向量的幾何表示：以 A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量記作 .3 .向量的有關(guān)概念：(1)零向量：長(zhǎng)度為 的向量叫做零向量，記作 .(2)單位向量：長(zhǎng)度為 的向量叫做單位向量. 相等向量： 且 的向量叫做相等向量.(4)平行向量(共線向量廣方向 的 向量叫做平行向量，也叫共線向量.記法：向量a平行于b,記作.規(guī)定：零向量與 平行.考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念 【例1】判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.若awb,則a 一定不與b共線；若AB=DC則A、R C D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂 點(diǎn)；在平行四邊形 ABCDK 一定

2、有AB=DC若向量a與任一向量b平行，則a=0； 若2=E b=c,貝 U a=c；若 a / b, b/c,貝 U a / c.變式訓(xùn)練1判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.若向量a與b同向，且| a| b| ,則ab;(2)若向量| a| = | b| ,則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反;對(duì)于任意| a| = | b| ,且a與b的方向相同，則 a = b；(4)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反.考點(diǎn)二向量的表示方法【例2】一輛汽車(chē)從 A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了 100 km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50。走了 200 km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100 km到達(dá)D

3、點(diǎn).作出向量Ah BC CD(2)求| AD.考點(diǎn)三相等向量與共線向量【例3 如圖所示，O是正六邊形 ABCDEF中心，且Oa a, OB= b, O(C= c.(1)與a的模相等的向量有多少個(gè)？(2)與a的長(zhǎng)度相等，方向相反的向量有哪些?(4)請(qǐng)一一列出與a,b, c相等的向量.(3)與a共線的向量有哪些？13 2.2 平面向量的線性運(yùn)算1 .向量的加法法則(1)三角形法則如圖所示，已知非零向量 a, b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn) A,作AB= a, BC= b,則向量叫做a與b的和(或和向量)，記作,即a+b = AB+Bo=.上述求兩個(gè)向 量和的作圖法則，叫做向量求和的三角形法則.對(duì)于零向量與任

4、一向量 a的和有a+0 =+=.(2)平行四邊形法則如圖所示，已知兩個(gè)不共線向量 a, b,作OA= a, Ob= b,則O A B三點(diǎn)不共線，以為鄰邊作,則對(duì)角線上的向量 =a+ b,這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求 和的平行四邊形法則.2 .向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a + b =.(2)結(jié)合律：(a + b) + c =3.相反向量(1)定義：如果兩個(gè)向量長(zhǎng)度,而方向 ,那么稱(chēng)這兩個(gè)向量是相反向量.(2)性質(zhì)：對(duì)于相反向量有：a+(-a) =.若a, b互為相反向量，則 a =, a+b=零向量的相反向量仍是 .4 .向量的減法(1)定義：a- b=a+( b),即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向

5、量的(2)作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn) Q作Oa= a, Ob= b,則向量a- b=.如圖所示.(3)幾何意義：如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為,被減向量的終點(diǎn)為 的向量.例如： OAOb=.5 .向量數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)人與向量a的積是一個(gè) ,這種運(yùn)算叫做向量的 ，記作 其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)1 入 a| =(2)入a ( aw 0)的方向.當(dāng)時(shí)，與a方向相同時(shí)，與a方向相反特別地，當(dāng)入=0或a=0時(shí)，0a=或入0=6 .向量數(shù)乘的運(yùn)算律(1)入(a)=.(2)(入+ )a=.(3)入(a+b)=.特別地，有(入)a=;入(a - b) =.7 .共線向量定理向量a

6、 ( aw。)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)入，使.8 .向量的線性運(yùn)算向量的、運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量 a、b,以及任意實(shí)數(shù)入、邛、2,恒有入(1 ia (12b) =.考點(diǎn)一運(yùn)用向量加法法則作和向量 【例1】 如圖所示，已知向量 a、b,求作向量a+ b.變式訓(xùn)練1如圖所示，已知向量 a、b、c,試作和向量 a+b + c.考點(diǎn)二運(yùn)用向量加減法法則化簡(jiǎn)向量【例2化簡(jiǎn)：(1) BO A B; (2) D母 CABC (3) A 打 DR CDb BC+FA (4)( AB- CD-( AC-BD). (5)( BA-BC-(ED- EC；(6)(ACBtSA_(DC-Db-O

7、B.變式訓(xùn)練2如圖，在平行四邊形ABC麗，O是AC BD的交點(diǎn).(1)超 AD=； 一 T(2) AO C DO= Ab 超 CD=，、 AO BA DA=ABCD勺對(duì)角線ACBD的交點(diǎn)，設(shè)AB= a,變式訓(xùn)練3如圖所示，O是平行四邊形DA= b, OG= c,求證：b+ca=OA考點(diǎn)三向量的共線【例3】設(shè)ei, e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量 m= ei+ke2 (kCR)與向量n=e22ei共線,則()A. k=0 B . k=1,，1C. k=2 D . k=2變式訓(xùn)練4已知 ABC勺三個(gè)頂點(diǎn) A B, C及平面內(nèi)一點(diǎn) P,且P小超電池 則()A. P 在ABCft部B. P在 ABC7

8、卜部C. P在AB邊上或其延長(zhǎng)線上D. P在AC邊上考點(diǎn)四：三點(diǎn)共線【例4兩個(gè)非零向量a、b不共線.(1)若 AH=a+b, BC= 2a+8b, CD = 3(a-b),求證：A、B、D三點(diǎn)共線;(2)求實(shí)數(shù)k使ka+b與2a+kb共線.變式訓(xùn)練5 已知向量a、b,且AB= a+2b, Bb= 5a+6b, CD= 7a2b,則一定共線的三點(diǎn)是()A.B、C D B .A、B、C C .A R D D .A、C D變式訓(xùn)練6已知平面內(nèi) O, A, B, C四點(diǎn)，其中 A, B, C三點(diǎn)共線，且 OC= xOAF yOB 則x + y =. 2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1 .平面向量基本

9、定理(1)定理：如果eb e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的 向量a, 實(shí)數(shù)入1,12,使a=.(2)基底：把 的向量e, e2叫做表示這一平面內(nèi) 向量的一組基底.2 .兩向量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個(gè) a 和 b,作OA= a, OB= b,則=0 (0 e _ _ (1) AB- AC (2) AB- BC (3) BC AC考點(diǎn)二求向量的模長(zhǎng)I ，一J ， 兀，【例2 已知| a| = | b| =5,向重a與b的夾角為 y,求| a+ b| , | a b|.變式訓(xùn)練 2 已知 | a| = | b| = 1, |3 a 2b| = 3,求 |3 a+ b|.考點(diǎn)

10、三向量的夾角或垂直問(wèn)題【例3 設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是 60 ,求向量a = 2m+ n與b=2n 3m的夾角.變式訓(xùn)練3已知|a| =5, |b| =4,且a與b的夾角為60 ,則當(dāng)k為何值時(shí)，向量ka-b 與a+ 2b垂直？考點(diǎn)四向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例4 已知a與b同向，b=(1,2) , a - b= 10.(1)求 a 的坐標(biāo)；(2)若 c= (2 , 1),求 a(b c)及(a b) c.變式訓(xùn)練 4 若 a= (2,3) , b=( 1, 2), c= (2,1),貝U(a b) - c =； a ( b c)考點(diǎn)五向量的夾角問(wèn)題【例5 已知a=(1,2) , b=(1 ,入

11、)，分別確定實(shí)數(shù) 入的取值范圍，使得:(1) a與b的夾角為直角；(2) a與b的夾角為鈍角；(3) a與b的夾角為銳角.變式訓(xùn)練5已知a=(1 , - 1) , b=(入，1),若a與b的夾角a為鈍角，求入的取值范圍.考點(diǎn)六向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用【例 6 已知在 ABC, A(2 , 1)、B(3,2)、C( -3, 1), AD 為 BC邊上的高，求 | AD 與 點(diǎn)D的坐標(biāo).變式訓(xùn)練6以原點(diǎn)和A(5,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角4 OABB= 90。，求點(diǎn)B和AB勺坐標(biāo). 2.5平面向量應(yīng)用舉例1 .向量方法在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件

12、：a II b( bw 0)(2)證明垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：ab求夾角問(wèn)題，往往利用向量的夾角公式cos 0 = 求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a| =2 .力向量力向量與前面學(xué)過(guò)的自由向量有區(qū)別.(1)相同點(diǎn)：力和向量都既要考慮 又要考慮.(2)不同點(diǎn)：向量與 無(wú)關(guān)，力和 有關(guān)，大小和方向相同的兩個(gè)力，如果 不同，那么它們是不相等的.3 .向量方法在物理中的應(yīng)用(1)力、速度、加速度、位移都是 .(2)力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的 運(yùn)算，運(yùn)動(dòng)的疊加亦用到向量的合成.(3)動(dòng)量mv是.(4)功即是力

13、F與所產(chǎn)生位移s的.考點(diǎn)一三角形問(wèn)題【例1 點(diǎn)o是三角形abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足 OA Ob=Ob- Oc=Oc-OA則點(diǎn)o是 ABC()A.三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B .三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn)D .三條高的交點(diǎn)變式訓(xùn)練1 在ABC已知A(4,1)、B(7,5)、C( 4,7),則BC邊的中線 AD的長(zhǎng)是()A. 2琳 B.r5C . 35D.5變式訓(xùn)練2若。是 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足| OB- Oc = | O跳Ou 2OA ,則4 ABC勺 形狀是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D .等邊三角形變式訓(xùn)練3 設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn) A B、C D,已知(DBDC- 2DA) (AB-AC = 0,則 ABC勺形狀一定是.考點(diǎn)二向量的計(jì)算【例2 已知平面上三點(diǎn) A、B C滿(mǎn)足|麗 =3, |的 =4, | CA= 5.則昭鼠 BbCvCvXB變式訓(xùn)練4 如圖，在 ABC點(diǎn)O是BC的中