1、3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 一、傅立葉變換一、傅立葉變換能量不變，頻譜仍能量不變，頻譜仍然存在，無限多個(gè)然存在，無限多個(gè)無窮小量之和仍可無窮小量之和仍可能為有限值能為有限值1問題的引出問題的引出11():F n表示單位頻帶的頻譜值表示單位頻帶的頻譜值頻譜密度頻譜密度的概念的概念( ):F 的的頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)，簡稱，簡稱頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)( )f t1:T 周期信號周期信號 非周期信號非周期信號10:1()0:F n離散譜離散譜 連續(xù)譜連續(xù)譜譜線長度趨于譜線長度趨于00110111()( )tTjnttF nf t edtT3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的

2、傅立葉變換 111()F n1022201T1T( )f tt.E11()F n10211Sa()2nET2201T1T( )f tt.E離散譜離散譜()F021111lim()Sa()2TnF nTE220( )f ttE連續(xù)譜連續(xù)譜3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 11121121TjntTF nf t edtT1111111, 0, 1, Tnnndn 11111012limlim( )j tTF nFF nTf t edt 111111111111()()2jntjntjntnnnF nF nTf tF neenen極限情況下：極限情況下： 1( )2j tf tFe

3、d 1111211122TjntTF nF nTf t edt3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 12j tf tFed2傅立葉變換對傅立葉變換對 -j tFf t edt F-1 f t jeFF :F : 3幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 f t F 為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù)，則則為為 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，為為 的奇函數(shù)的奇函數(shù)若若4三角形式三角形式 ()0012121cos( )sin( )221coscosj tjtf tFedFedjFtdFtdFtdFtd 03.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 結(jié)論：結(jié)論：

4、 和周期信號一樣，非周期信號可分解為許多不同頻率的正和周期信號一樣，非周期信號可分解為許多不同頻率的正余弦信號余弦信號 非周期信號的周期趨于無限大，基波趨于無限小，包含所非周期信號的周期趨于無限大，基波趨于無限小，包含所有頻率分量有頻率分量 各頻率點(diǎn)的分量幅度各頻率點(diǎn)的分量幅度 趨于無限小，趨于無限小，頻譜不用幅頻譜不用幅度而改用密度函數(shù)表示度而改用密度函數(shù)表示 Fd3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 5不同性質(zhì)信號頻譜特點(diǎn)不同性質(zhì)信號頻譜特點(diǎn)6傅立葉變換存在條件傅立葉變換存在條件周期信號周期信號離散頻譜離散頻譜非周期信號非周期信號連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜 dttf充分條件充分條件：絕

5、對可積，即：絕對可積，即但是，奇異函數(shù)的存在，使許多不滿足但是，奇異函數(shù)的存在，使許多不滿足 絕對可積條件的信號絕對可積條件的信號也存在傅立葉變換也存在傅立葉變換3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 二、典型非周期信號的傅立葉變換二、典型非周期信號的傅立葉變換221( ), ( )arctgFaa ( )( ), (0)atf teu ta01( )( )j tatj tFf t edteedtaj3aa1a21)(F0/2/2)(01單邊指數(shù)衰減信號單邊指數(shù)衰減信號3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 2雙邊指數(shù)信號雙邊指數(shù)信號222( ), ( )0aFa (

6、), (0)a tf tea222)()(aadteedtetfFtjtatjaa1a2)(F03.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 3矩形脈沖信號矩形脈沖信號22( )Sa()2j tFEedtE42(21)0 ( )Sa() , ( )2(21)4(1)2 nnFEnn )()(tEGtf22E)(tft0024( )FE頻帶寬度：頻帶寬度：3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 21, fBB 主要能量集中在主要能量集中在第一個(gè)過零點(diǎn)第一個(gè)過零點(diǎn)內(nèi)內(nèi) 允許一定失真條件下，可要求通訊系統(tǒng)只把允許一定失真條件下，可要求通訊系統(tǒng)只把 頻率范圍內(nèi)的頻譜分量傳送過去頻率范

7、圍內(nèi)的頻譜分量傳送過去 矩形信號頻帶寬度：矩形信號頻帶寬度： 頻帶寬度頻帶寬度 與與脈寬脈寬( (時(shí)寬時(shí)寬) ) 呈反比關(guān)系呈反比關(guān)系2/ fB3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 4鐘型脈沖鐘型脈沖2( )( )( )tj tj tFf t edtEeedt22( )()202costEetdtEe 2)()(tEetfeE( )f t0Et2/()F0E Ee 3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 )(cos1 2)(2tGtEtfdtetEdtetfFtjtjcos1 2)()(dteEdteEdteEtjtjtjtjtj442sa()Sa()Sa()22EE

8、E22sin()Sa()11EE5升余弦脈沖：升余弦脈沖：22E2E( )f tt0與矩形脈沖頻譜與矩形脈沖頻譜相比，升余弦信相比，升余弦信號頻譜更加集中號頻譜更加集中？023( )FE2E3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 tGtEtfcos)(2222( )coscoscosj tttFEedtEtdtdtttEtdttE)cos()(coscoscos220202)sin(2)sin(EE222)(12cos2)(2cos22cos2cosEEE例例1：半波余弦脈沖：半波余弦脈沖解解：3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 解解：( )4Sa(2 )F411f

9、Bi)ii)例例2：求下列：求下列Bf頻譜第一個(gè)零點(diǎn)對應(yīng)的頻率頻譜第一個(gè)零點(diǎn)對應(yīng)的頻率-2 2 1( )f tt03.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 11, 24fBBii)解解：33()4Sa(2)4Sa(2)8Sa(2) cos(3 )jjFeei) -5 -1 1 5 1( )f tt0例例2：求下列：求下列Bf頻譜包絡(luò)的第一個(gè)零點(diǎn)對應(yīng)的頻率頻譜包絡(luò)的第一個(gè)零點(diǎn)對應(yīng)的頻率 的包絡(luò)線仍為抽樣函數(shù)的包絡(luò)線仍為抽樣函數(shù)平移不會(huì)改變信號的頻帶寬度平移不會(huì)改變信號的頻帶寬度( )F3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 例例2：求下列：求下列 Bf 0 1 2 ( )f

10、 tt1dtetdtteFtjtj2110)2()(11222220011111112()()j tj tj tj tj tteeteeejjjjj 2Sa ()2je解解： i)2 , 1fBBii)平移不會(huì)改變信號的頻帶寬度平移不會(huì)改變信號的頻帶寬度見見P179, 3-333.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 例例2：求下列：求下列Bf 解解：42414Sa(4 )( )( )1cos2441j tj ttFf t edtedt升余弦脈沖升余弦脈沖21, 44fBBii) i)-4 0 4 t1( )f t注意升余弦信號的第一過零點(diǎn)注意升余弦信號的第一過零點(diǎn)3.2非周期信號的

11、傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 例例2：求下列：求下列Bf 0 1/2 3/2 2 t1f(t)42, 33fBBii)dtetdtedtteFtjtjtj2232321210)42(2)(2831sinsin44je解：解： i)3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 三、奇異函數(shù)的傅立葉變換三、奇異函數(shù)的傅立葉變換1沖激函數(shù)沖激函數(shù)1Sa()Sa(); 0, Sa()1222ii)理解理解：)(t傅立葉變換傅立葉變換i)( ) ( )( )1j tFf tt edt (1)( ) tt0( )F10221t( )G t0結(jié)論：結(jié)論：整個(gè)頻率范圍內(nèi)整個(gè)頻率范圍內(nèi)頻譜均勻分布頻譜

12、均勻分布時(shí)域內(nèi)變化異常時(shí)域內(nèi)變化異常劇烈的沖激信號包劇烈的沖激信號包含幅度相等的所有含幅度相等的所有頻率分量頻率分量均勻譜或白色譜均勻譜或白色譜3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 )(的逆變換的逆變換2 limSa()2limSa()2limSa()2( )22kkEEEEkE ii)(2 1 iii)limSa()( )kkk *sin()lim( )kk *111 ( )( )22j ted i)Ef(t)t0(2)E)(03.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 2沖激偶沖激偶( )tj( )()nnndtjdt)(的逆變換的逆變換( ) t傅立葉變換傅立葉變換

13、1)()(dtetttj( )2( )2( )()2( )()j tj tnnj tedtjt edtjtedt dtetjtjnnn)(2)( )2( ),nnntj( )( )2nnntj11( )1( )22j tj ttedtj ed 3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 ( )sgn( )f tt3符號函數(shù)符號函數(shù)0a222sgn( )jtj0220112()atj tatj tjeedteedtajaja 10tf1(t)-1ateatesgn(t)1-10t1( )sgn( ), 0atf teta3.2非周期信號的傅立葉變換非周期信號的傅立葉變換 11( )sgn( )22u tt4階躍函數(shù)階躍函數(shù) jjtu1221221)(0( )F( ) u(t)含有直流分量，頻譜中含有直流分量，頻譜中含有沖激函數(shù)含有沖激函數(shù) u(t)不是純直流信號，頻譜不是純直流信號，頻譜中還出現(xiàn)其它頻率分量中還出