1、第二章基本初等函數(shù)()§2.1指數(shù)函數(shù)【入門向?qū)А恐笖?shù)函數(shù)圖象詩歌鑒賞多個圖象像束花，(0,1)這點把它扎撇增捺減無例外，底互倒時縱軸夾x1為判底線，交點y標(biāo)看小大重視數(shù)形結(jié)合法，橫軸上面圖象察此詩每行字?jǐn)?shù)相等，且押韻，讀起來倍感順口，內(nèi)容簡潔明了，使讀者在無形之中把指數(shù)函數(shù)圖象的特點牢記于心如圖所示的就是上面舉的指數(shù)函數(shù)的圖象不難看出，它們就像一束花每個指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(0,1)這點，所以說“(0,1)這點把它扎”就順理成章了對于指數(shù)函數(shù)的圖象來說，“撇增捺減”就絕對是事實當(dāng)a>1時，從左往右看指數(shù)函數(shù)yax的圖象是上升的，類似于漢字中的撇，這時，指數(shù)函數(shù)yax是增函數(shù)；

2、當(dāng)0<a<1時，從左往右看指數(shù)函數(shù)yax的圖象是下降的，類似于漢字的捺，這時，指數(shù)函數(shù)yax是減函數(shù)由y2x和y()x的圖象，可以看出它們是關(guān)于y軸對稱的而底數(shù)2與是倒數(shù)，所以自然而然地得到“底互倒時縱軸夾”，這也可以從y3x和y()x的圖象中得到充分的體現(xiàn)解讀指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用一、要點掃描學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)要記住圖象，理解圖象，由圖象能說出它的性質(zhì)關(guān)鍵在于弄清楚底數(shù)a對于函數(shù)值變化的影響，對于a>1與0<a<1時函數(shù)值變化的情況不同，不能混淆，為此必須利用圖象，數(shù)形結(jié)合二、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)a>10<a<1圖象圖象特征圖象分布在一、二象限，與y軸相

3、交，落在x軸的上方都過點(0,1)第一象限的點的縱坐標(biāo)都大于1；第二象限的點的縱坐標(biāo)都大于0且小于1第一象限的點的縱坐標(biāo)都大于0且小于1；第二象限的點的縱坐標(biāo)都大于1從左向右圖象逐漸上升從左向右圖象逐漸下降性質(zhì)定義域為R值域為(0，)圖象過定點(0,1)，即x0時，y1x>0y>1；x<00<y<1x>00<y<1；x<0y>1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)三、圖象應(yīng)用1比較大小例1 若a<0，則2a，()a,0.2a的大小順序是_解析分別作出函數(shù)y2x，y()x和y0.2x的圖象，如圖所示，從圖象可以看出，當(dāng)a<0時，有0

4、.2a>()a>2a.答案0.2a>()a>2a點評本題涉及三個指數(shù)函數(shù)圖象，因此在作圖時，一定要抓住圖象的特征點(0,1)或特征線y1及指數(shù)函數(shù)圖象的走向正確作圖：當(dāng)a>1時，底數(shù)a越大圖象越陡；當(dāng)0<a<1時，底數(shù)a越小圖象越陡2求解方程根的問題例2 確定方程2xx22的根的個數(shù)解根據(jù)方程的兩端分別設(shè)函數(shù)f(x)2x，g(x)x22.在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)2x與g(x)x22的圖象，如圖所示由圖可以發(fā)現(xiàn)，二者僅有兩個交點，所以方程2xx22的根的個數(shù)為2.點評利用指數(shù)函數(shù)的圖象確定方程的根的關(guān)鍵是要正確作出方程兩端對應(yīng)的函數(shù)的圖象，遇到含有

5、參數(shù)的方程時，還要注意分類討論3求解參數(shù)問題例3 若直線y2a與函數(shù)y|ax1|1(a>0且a1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是_解析當(dāng)a>1時，通過平移變換和翻折變換可得如圖1所示的圖象，則由圖可知1<2a<2，即<a<1與a>1矛盾當(dāng)0<a<1時，同樣通過平移變換和翻折變換可得如圖2所示的圖象，則由圖可知1<2a<2，即<a<1，即為所求答案<a<1點評(1)解答此題時要注意底數(shù)的不確定性，因此作圖時要注意討論；(2)根據(jù)條件確定直線y2a與函數(shù)的圖象位置關(guān)系，然后由位置關(guān)系建立不等式，進而求得

6、結(jié)果，其處理的過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想指數(shù)函數(shù)定義學(xué)習(xí)中的兩個注意點定義：函數(shù)yax(a>0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)定義域是R.注意點1：為什么要規(guī)定a>0且a1呢？(1)若a0，則當(dāng)x>0時，ax0；當(dāng)x0時，ax無意義(2)若a<0，則對于x的某些數(shù)值，可使ax無意義如(2)x，這時對于x，x，在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在(3)若a1，則對于任意xR，ax1是一個常量，沒有研究的必要性為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a>0且a1.在規(guī)定以后，對于任意xR，ax都有意義，且ax>0.因此指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是(0，)注意點2：函數(shù)y3&#

7、183;()x是指數(shù)函數(shù)嗎？根據(jù)定義，指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)ax中，ax的系數(shù)是1.有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù)，實際上卻不是，如yaxk(a>0且a1，kZ)；有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù)，實際上卻是，如yax(a>0且a1)，因為它可以化為y()x，其中>0，且1.學(xué)習(xí)根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算三注意有關(guān)根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算，和我們學(xué)過的加、減、乘、除運算一樣，是十分重要的，它也是我們繼續(xù)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)由于這一部分內(nèi)容的概念較多，初學(xué)時很容易出錯，首先要注意以下三點(1)根式的運算中，有開方和乘方兩種情況并存的情況，此時要注意兩種運算的順序是否可換如當(dāng)a0時，()m，而當(dāng)a

8、<0時，則不一定可換，應(yīng)視m，n的情況而定(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不能對指數(shù)隨意約分(3)對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，不能同時含有分母和負(fù)指數(shù)錯例分析一、有關(guān)方根的概念不清與忽視方根的性質(zhì)致錯分析例4 設(shè)f(x)，且0<a1，求f(a)的值錯解f(a) a.剖析在開方運算中忽視根式的兩個重要性質(zhì)：(1)當(dāng)n為奇數(shù)時，a；(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，|a|性質(zhì)(2)在解題中是很容易被忽視的，因為此時的n為偶數(shù)，所以不論a取怎樣的值，總有意義因此在上面的解答中應(yīng)有：由0<a1，得1，所以a0，從而 |a|a.二、忽視分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義致錯分析例5 下列化簡與計算中，正確的個數(shù)

9、是()(1)(a3)2a9；(2)a·aa(a>0)；(3)aa；(4)(8)(8)2；(5)××.A0 B1 C2 D3請同學(xué)們給出答案后根據(jù)基礎(chǔ)知識分析致錯的原因剖析忽視運算性質(zhì)致錯：(1)應(yīng)為(a3)2a6，比如，(23)28229；(2)應(yīng)為a·aaa.忽視字母的取值范圍致錯：(3)應(yīng)為a|a|，比如(2)應(yīng)是一個正數(shù)，而(2)卻是一個負(fù)數(shù)在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的化簡中致錯：(4)顯然應(yīng)是一個正數(shù)，這里(8)(8)；(5)顯然.故答案為A.教材中，規(guī)定了正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義a(a>0，m，nN*，且為既約分?jǐn)?shù))，從而指數(shù)的概念擴充到了有理數(shù)

10、指數(shù)，繼而又?jǐn)U充到了實數(shù)指數(shù)這時底數(shù)、指數(shù)的范圍發(fā)生了變化，這在解題中是很容易被忽視的，由于在后面有關(guān)指數(shù)函數(shù)求定義域的問題中經(jīng)常用到，這里就不再贅述三、忽視隱含條件致錯例6 化簡：(1x)(x1)2(x).錯解(1x)(x1)2(x)(1x)(x1)1(x)(x).剖析題目中含有(x)，要注意考慮x0這個前提條件，即x0.正解由(x)可知x0，即x0，所以(1x)(x1)2(x)(1x)(1x)1(x)(x).點評在指數(shù)運算過程中，一定要注意題目中隱含的一些特殊條件，只有充分挖掘這些隱含的特殊條件，才能為正確解答打下堅實的基礎(chǔ)初學(xué)指數(shù)函數(shù)應(yīng)當(dāng)心一、指數(shù)函數(shù)概念出錯例7 已知指數(shù)函數(shù)yax的底

11、數(shù)a滿足方程a2a60，求該指數(shù)函數(shù)錯解由方程a2a60，解得a2或a3.所以該指數(shù)函數(shù)為y2x或y(3)x.剖析在解題過程中忽視了指數(shù)函數(shù)的定義中對底數(shù)a的限定，這個隱含條件對解題往往起到至關(guān)重要的作用正解由方程a2a60，解得a2或a3.由于指數(shù)函數(shù)yax的底數(shù)a滿足a>0且a1，故取a2.所以該指數(shù)函數(shù)為y2x.點評指數(shù)函數(shù)定義中的底數(shù)a滿足a>0且a1這個隱含條件，在解答過程中一定要加以注意二、指數(shù)函數(shù)值域出錯例8 求函數(shù)y2的定義域和值域錯解要使函數(shù)y2有意義，則x10，即x1.所以函數(shù)y2的定義域為x|x1因為x1，即0，所以21.所以函數(shù)y2的值域為y|y1剖析在解題

12、過程中忽視了指數(shù)函數(shù)的值域y|y>0這個隱含條件，而只是根據(jù)題目條件得出y1是不全面的正解要使函數(shù)有意義，則x10，即x1.所以函數(shù)y2的定義域為x|x1因為x1，即0，所以21.又2>0，所以函數(shù)y2的值域為y|y>0，且y1點評指數(shù)函數(shù)yaf(x)(a>0，且a1)的值域只能是R的子集，解題時一定要結(jié)合具體情況加以分析討論三、指數(shù)函數(shù)圖象出錯例9 根據(jù)函數(shù)y|2x1|的圖象，判斷當(dāng)實數(shù)m為何值時，方程|2x1|m無解？有一解？有兩解？錯解由方程|2x1|m可得2x1±m，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象(如圖)可知：當(dāng)2x1±m0，即m1或m1時，方程|2x1

13、|m無解；當(dāng)2x1±m>0，即1<m<1時，方程|2x1|m有一解；不存在實數(shù)m使方程|2x1|m有兩解剖析不能充分理解函數(shù)圖象的交點與方程解的關(guān)系沒有充分結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象的變換加以解答可以把這個問題加以轉(zhuǎn)換，將求方程|2x1|m的解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)y|2x1|與ym的圖象交點個數(shù)去理解，而不能結(jié)合運算加以分析，這樣容易導(dǎo)致錯誤正解函數(shù)y|2x1|的圖象可由指數(shù)函數(shù)y2x的圖象先向下平移一個單位長度，然后再作x軸下方的部分關(guān)于x軸的對稱圖形，如圖所示函數(shù)ym的圖象是與x軸平行的直線，觀察兩圖象的關(guān)系可知：當(dāng)m<0時，兩函數(shù)圖象沒有公共點，此時方程|2x

14、1|m無解；當(dāng)m0或m1時，兩函數(shù)圖象只有一個公共點，此時方程|2x1|m有一解；當(dāng)0<m<1時，兩函數(shù)圖象有兩個公共點，此時方程|2x1|m有兩解點評由于方程解的個數(shù)與它們對應(yīng)的函數(shù)圖象交點的個數(shù)是相等的，所以對于含字母方程解的個數(shù)討論，往往用數(shù)形結(jié)合方法加以分析，準(zhǔn)確作出相應(yīng)函數(shù)的圖象是正確解題的前提和關(guān)鍵.指數(shù)運算中的幾種變形技巧常見的指數(shù)運算問題有：化簡、求值、證明等，而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的引入為這類問題的解決增加了難度，為幫助大家更好的學(xué)習(xí)，本文就這類問題的求解方法試作分析一、逆用公式例1 已知a，b，c，試比較a，b，c的大小解因為a，b，c，而121<123<12

15、5，所以a>c>b.即>>.二、妙用公式變形引入負(fù)指數(shù)及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，賦予新的活力，如：ab(ab)(aabb)，ab(ab)(ab)等等，運用這些公式新變形，可快速巧妙求解問題例2 ÷(12)×.解原式÷×a.××a··aa·a·aa.三、整體代換在指數(shù)運算中，若進行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化為整數(shù)指數(shù)冪，使指數(shù)間的關(guān)系比較明顯顯現(xiàn)出來，易于求解例3 已知a23a10，求aa的值分析若先求出a的值，再代入計算很繁瑣，探尋

16、條件與結(jié)論之間的關(guān)系，分析條件，把條件轉(zhuǎn)化為與結(jié)論有明顯關(guān)系的式子解a23a10，a0，a3.而(aa)2a1a2325，aa.四、化異為同例4 計算()2 008·()2 009.分析注意到兩個底數(shù)與互為有理化因式，且它們的指數(shù)相差不大，所以互化為同指數(shù)計算解原式()2 008·()2 008·()()·()2 008·()12 008·().五、化負(fù)為正例5 化簡.解方法一原式1.方法二原式1.點評對于式子，方法一是利用分子分母同時乘4x化簡，而方法二是把2寫成2·4x·4x，通過約分化簡，兩種方法都是巧用4x

17、·4x1實現(xiàn)化簡的指數(shù)函數(shù)常見題型解法探究一、指數(shù)函數(shù)的定義例6 已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2,4)，試求f()的值解設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)ax(a>0，a1)，由已知得f(2)4，即a24(a>0，a1)，所以a2.故f()2.二、考查指數(shù)的運算性質(zhì)例7 若f(x)，g(x)，則f(2x)等于()A2f(x) B2g(x)C2f(x)g(x) D2f(x)·g(x)解析f(2x)2·2f(x)·g(x)故選D.答案D三、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例8 設(shè)y140.9，y280.48，y3()1.5，則()Ay3>y1>y2 By2&g

18、t;y1>y3Cy1>y2>y3 Dy1>y3>y2解析y140.921.8，y280.4821.44，y3()1.521.5.由于指數(shù)函數(shù)f(x)2x是R上的增函數(shù)，且1.8>1.5>1.44，所以y1>y3>y2，選D.答案D四、定義域和值域例9 已知函數(shù)yf(x)的定義域為(1,2)，則函數(shù)yf(2x)的定義域為_解析由函數(shù)的定義，得1<2x<20<x<1.所以應(yīng)填(0,1)答案(0,1)五、圖象過定點問題例10 已知不論a為何正實數(shù)，yax12的圖象恒過定點，則這個定點的坐標(biāo)是_解析因為指數(shù)函數(shù)yax(a&g

19、t;0，a1)的圖象恒過定點(0,1)，而函數(shù)yax12的圖象可由yax(a>0，a1)的圖象向左平移1個單位后，再向下平移2個單位而得到，于是，定點(0,1)(1,1)(1，1)所以函數(shù)yax12的圖象恒過定點(1，1)答案(1，1)六、圖象依據(jù)：(1)指數(shù)函數(shù)yax(a>0，a1)的圖象；(2)函數(shù)yf(x)的圖象與yf(xa)、yf(x)b、yf(x)、yf(x)、yf(x)、y|f(x)|、yf(|x|)的圖象之間的關(guān)系例11 利用函數(shù)f(x)2x的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象：(1)yf(x1)；(2)yf(|x|)；(3)yf(x)1；(4)yf(x)；(5)y|f(x)

20、1|.解利用指數(shù)函數(shù)y2x的圖象及變換作圖法可作所要作的函數(shù)圖象其圖象如圖所示：點評函數(shù)y2|x|，y2|x|，y|2x1|的值域和單調(diào)性如何？七、考查參數(shù)的取值范圍例12 已知函數(shù)y(axax)(a>0，a1)在(，)上遞增，求a的取值范圍解設(shè)任意x1，x2R，且x1<x2，則f(x1)f(x2)<0，即(ax1ax1)(ax2ax2)(ax1ax2)(1)<0，所以(a22)(ax1ax2)<0或解得a>或0<a<1.異底指數(shù)比大小五法一、化同底例13 比較20.6，()0.7,80.3的大小解化同底得20.6，()0.720.7,80.32

21、0.9.因為函數(shù)y2x在R上是增函數(shù)，且0.6<0.7<0.9，所以20.6<20.7<20.9，即20.6<()0.7<80.3.點評因為化同底后即可運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所以能夠化同底的盡可能化同底二、商比法例14 比較下列兩個數(shù)的大?。?.10.2與1.30.1.解因為()0.1()0.1>()01，所以1.10.2>1.30.1.點評不同底但可以化為同指數(shù)的兩數(shù)比較大小，用商比法即可迎刃而解，這時要特別注意分母的正負(fù)三、取中間值例15 下列大小關(guān)系正確的是()A0.43<30.4<0 B0.43<0<30.

22、4C30.4<0.43<0 D0<30.4<0.43解析因為01,0.43<0.401,30.4>301，所以0.43<0<30.4，故選B.答案B點評不同底也不同指數(shù)時比較大小，宜先與中間值0或1比較大小，再間接地得出所求解四、估算法例16 若3a0.618，ak，k1，則k_.解析因為kak1，所以3k3a3k1.把3a0.618代入得3k0.6183k1.估算得0.6181，即310.61830.解得k1.答案1點評估算法既可快速達(dá)到比較大小的目的，又可培養(yǎng)同學(xué)們的估算能力，它是同學(xué)們必備的一種技能，在考試中解答填空、選擇題時可用五、圖解法

23、例17 已知實數(shù)a，b滿足等式()a()b，下列五個關(guān)系式：0<b<a；a<b<0；0<a<b；b<a<0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式有()A1個 B2個 C3個 D4個解析在同一坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)y()a，y()b的圖象由圖觀察可知，當(dāng)b<a<0時，等式()a()b不可能成立；又當(dāng)0<a<b時，等式()a()b也不可能成立，故選B.答案B點評把所要比較的指數(shù)化為指數(shù)函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，可以直觀地看出其中的大小關(guān)系指數(shù)函數(shù)考什么？1(福建高考)已知函數(shù)f(x)若f(a)f(1)0，則實數(shù)a的值等于()

24、A3 B1 C1 D3解析由題意知f(1)212.f(a)f(1)0，f(a)20.當(dāng)a>0時，f(a)2a,2a20無解；當(dāng)a0時，f(a)a1，a120，a3.答案A2(全國高考)已知函數(shù)f(x)a.若f(x)為奇函數(shù)，則a_.解析定義域為R，且函數(shù)為奇函數(shù)，f(0)0，即a0，a.答案3(全國高考)函數(shù)yex的圖象()A與yex的圖象關(guān)于y軸對稱B與yex的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱C與yex的圖象關(guān)于y軸對稱D與yex的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱解析函數(shù)yex與yex的自變量x取相反數(shù)時，函數(shù)值y也為相反數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱答案D4(湖北高考)若函數(shù)yaxb1 (a>0且a1)的

25、圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則必有()Aa>0，b<1 B0<a<1，b<0C0<a<1，b>0 Da>1，b<0解析數(shù)形結(jié)合是解題中常用的方法之一，熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì)是利用數(shù)形結(jié)合法解題的前提由指數(shù)函數(shù)yax向下平移1b個單位，使1b>1即可得知答案B5(全國高考)設(shè)函數(shù)f(x)若f(x0)<1，則x0的取值范圍是()A(1,1)B(1，)C(，2)(0，)D(，1)(1，)解析當(dāng)x0時，2x01<1，得x0<2，即x0>1，當(dāng)x>0時，x0<1，得x0<1.答案A6(湖北

26、高考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)g(x)ex，則g(x)()Aexex B.(exex)C.(exex) D.(exex)解析f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)ex.又f(x)g(x)ex，g(x).答案D§2.2對數(shù)函數(shù)解讀對數(shù)概念及運算對數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容之一，理解對數(shù)的定義，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)是學(xué)習(xí)對數(shù)的重點內(nèi)容現(xiàn)梳理這部分知識，供同學(xué)們參考一、對數(shù)的概念對數(shù)概念與指數(shù)概念有關(guān)，指數(shù)式和對數(shù)式是互逆的，即abNlogaNb(a>0，且a1)，據(jù)此可得兩個常用恒等式：(1

27、)logaabb；(2)alogaNN.例1 計算：log22log51log39log32.分析根據(jù)定義，再結(jié)合對數(shù)兩個恒等式即可求值解原式10log333(3log32)21342.點評解決此類問題關(guān)鍵在于根據(jù)冪的運算法則將指數(shù)式和對數(shù)式化為同底數(shù)二、對數(shù)的運算法則常用的對數(shù)運算法則有：對于M>0，N>0.(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM.例2 計算：lg 142lg lg 7lg 18.分析運用對數(shù)的運算法則求解解由已知，得原式lg(2×7)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32

28、5;2)lg 2lg 72lg 72lg 3lg 72lg 3lg 20.點評對數(shù)運算法則是進行對數(shù)運算的根本保證，同學(xué)們必須能從正反兩方面熟練應(yīng)用三、對數(shù)換底公式根據(jù)對數(shù)的定義和運算法則 可以得到對數(shù)換底公式：logab(a>0且a1，c>0且c1，b>0)由對數(shù)換底公式又可得到兩個重要結(jié)論：(1)logab·logba1；(2)loganbmlogab.例3 計算：(log25log4125)×.分析在利用換底公式進行化簡求值時，一般是根據(jù)題中對數(shù)式的特點選擇適當(dāng)?shù)牡讛?shù)進行換底，也可選擇以10為底進行換底解原式(log25log25)×log

29、25×log52.點評對數(shù)的換底公式是“同底化”的有力工具，同學(xué)們要牢記通過上面講解，同學(xué)們可以知道對數(shù)的定義是對數(shù)式和指數(shù)式互化的依據(jù)，正確進行它們之間的相互轉(zhuǎn)換是解題的有效途徑對數(shù)的運算性質(zhì)，同學(xué)們要熟練掌握，在應(yīng)用過程中避免錯誤，將公式由“正用”“逆用”逐步達(dá)到“活用”的境界對數(shù)換底公式的證明及應(yīng)用設(shè)a>0，c>0且a1，c1，N>0，則有l(wèi)ogaN，這個公式稱為對數(shù)的換底公式，它在對數(shù)的運算中有著重要的應(yīng)用，課本中沒有給出證明，現(xiàn)證明如下：證明記plogaN，則apN.*式兩邊同時取以c為底的對數(shù)(c>0且c1)得logcaplogcN，即plogca

30、logcN.所以p，即logaN.推論1：logab·logba1.推論2：loganbmlogab(a>0且a1，b>0)例4 (1)已知log189a,18b5，求log3645的值；(2)求log23·log34·log45··log6364的值解(1)因為log189a,18b5，所以a.所以lg 9alg 18，lg 5blg 18.所以log3645.(2)log23·log34·log45··log6364····6.點評對數(shù)運算法則中，對

31、數(shù)式都是同底的，凡不同底的對數(shù)運算，都需要用換底公式將底統(tǒng)一，一般統(tǒng)一成常用對數(shù)例5 已知log8alog4b，log8blog4a27，求ab的值解由已知可得即解得所以a26，b23.故ab26·23512.點評發(fā)現(xiàn)底數(shù)“4”，“8”與“2”的關(guān)系，將底數(shù)統(tǒng)一成“2”，解決問題比較簡單此外還有下面的關(guān)系式：logNM；logaM·logbNlogaN·logbM；logab；NlogaMMlogaN.對數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)的簡單應(yīng)用對數(shù)函數(shù)圖象是對數(shù)函數(shù)的一種表達(dá)形式，形象顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究它的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性它是探求解題思路、獲得問題結(jié)果的重要途

32、徑能準(zhǔn)確地作出對數(shù)函數(shù)的圖象是利用平移、對稱的變換來研究復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)的前提，而數(shù)形結(jié)合是研究與對數(shù)函數(shù)的有關(guān)問題的常用思想一、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例6 畫出函數(shù)ylog2x2的圖象，并根據(jù)圖象指出它的單調(diào)區(qū)間解當(dāng)x0時，函數(shù)ylog2x2滿足f(x)log2(x)2log2x2f(x)，所以ylog2x2是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對稱當(dāng)x>0時，ylog2x22log2x，因此先畫出y2log2x(x>0)的圖象為C1，再作出C1關(guān)于y軸對稱的圖象C2，C1與C2構(gòu)成函數(shù)ylog2x2的圖象，如圖所示由圖象可以知道函數(shù)ylog2x2的單調(diào)減區(qū)間是(，0)，單調(diào)增區(qū)間是(0，)點評作圖

33、象時一定要考慮定義域，否則會導(dǎo)致求出錯誤的單調(diào)區(qū)間，同時在確定單調(diào)區(qū)間時，要注意增減區(qū)間的分界點，特別要注意區(qū)間的開與閉問題二、利用圖象求參數(shù)的值例7 若函數(shù)f(x)loga(x1)(a>0，a1)的定義域和值域都是0,1，則a等于()A. B. C. D2解析當(dāng)a>1時，f(x)loga(x1)的圖象如圖所示f(x)在0,1上是單調(diào)增函數(shù)，且值域為0,1，所以f(1)1，即loga(11)1，所以a2，當(dāng)0<a<1時，其圖象與題意不符，故a的值為2，故選D.答案D點評(1)當(dāng)對數(shù)的底數(shù)不確定時要注意討論；(2)注意應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值(值域)三、利用圖象比較

34、實數(shù)的大小例8 已知logm2<logn2，m，n>1，試確定實數(shù)m和n的大小關(guān)系解在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)ylogmx與ylognx的圖象如圖所示，再作x2的直線，可得m>n.點評不同底的對數(shù)函數(shù)圖象的規(guī)律是：(1)底都大于1時，底大圖低(即在x>1的部分底越大圖象就越接近x軸)；(2)底都小于1時，底大圖高(即在0<x<1的部分底越大圖象就越遠(yuǎn)離x軸)四、利用圖象判斷方程根的個數(shù)例9 已知關(guān)于x的方程|log3x|a，討論a的值來確定方程根的個數(shù)解因為y|log3x|在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與ya的圖象，如圖可知：(1)當(dāng)a<0時，兩個函數(shù)圖象

35、無公共點，所以原方程根的個數(shù)為0；(2)當(dāng)a0時，兩個函數(shù)圖象有一個公共點，所以原方程根有1個；(3)當(dāng)a>0時，兩個函數(shù)圖象有兩個公共點，所以原方程根有2個點評利用圖象判斷方程根的個數(shù)一般都是針對不能將根求出的題型，與利用圖象解不等式一樣，需要先將方程等價轉(zhuǎn)化為兩端對應(yīng)的函數(shù)為基本函數(shù)(最好一端為一次函數(shù))，再作圖象若含有參數(shù)，要注意對參數(shù)的討論，參數(shù)的取值不同，函數(shù)圖象的位置也就不同，也就會引起根的個數(shù)不同三類對數(shù)大小的比較一、底相同，真數(shù)不同例10 比較loga與loga的大小分析底數(shù)相同，都是a，可借助于函數(shù)ylogax的單調(diào)性比較大小解由()68<()69，得<.當(dāng)

36、a>1時，函數(shù)ylogax在(0，)上是增函數(shù)，故loga<loga；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)ylogax在(0，)上是減函數(shù)，故loga>loga.點評本題需對底數(shù)a的范圍進行分類討論，以確定以a為底的對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而應(yīng)用函數(shù)ylogax的單調(diào)性比較出兩者的大小二、底不同，真數(shù)相同例11 比較log0.13與log0.53的大小分析底數(shù)不同但真數(shù)相同，可在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)ylog0.1x與ylog0.5x的圖象，借助于圖象來比較大??；或應(yīng)用換底公式將其轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)大小問題解方法一在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)ylog0.1x與ylog0.5x的圖象，如右圖在區(qū)

37、間(1，)上函數(shù)ylog0.1x的圖象在函數(shù)ylog0.5x圖象的上方，故有l(wèi)og0.13>log0.53.方法二log0.13，log0.53.因為3>1，故ylog3x是增函數(shù)，所以log30.1<log30.5<0.所以>.即log0.13>log0.53.方法三因為函數(shù)ylog0.1x與ylog0.5x在區(qū)間(0，)上都是減函數(shù)，故log0.13>log0.1101，log0.53<log0.521，所以log0.13>log0.53.點評方法一借助于對數(shù)函數(shù)的圖象；方法二應(yīng)用換底公式將問題轉(zhuǎn)化為比較兩個同底數(shù)的對數(shù)大小；方法三借助

38、于中間值來傳遞大小關(guān)系三、底數(shù)、真數(shù)均不同例12 比較log3與log5的大小分析底數(shù)、真數(shù)均不相同，可通過考察兩者的范圍來確定中間值，進而比較大小解因為函數(shù)ylog3x與函數(shù)ylog5x在(0，)上都是增函數(shù)，故log3<log310，log5>log510，所以log3<log5.點評當(dāng)?shù)讛?shù)、真數(shù)均不相同時，可找中間量(如1或0等)傳遞大小關(guān)系，從而比較出大小綜上所述，比較兩個(或多個)對數(shù)的大小時，一看底數(shù)，底數(shù)相同的兩個對數(shù)可直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由“底”的范圍決定，若“底”的范圍不明確，則需分“底數(shù)大于1”和“底數(shù)大于0且小于1”兩種情

39、況討論，如例10；二看真數(shù)，底數(shù)不同但真數(shù)相同的兩個對數(shù)可借助于圖象，或應(yīng)用換底公式將其轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)來比較大小，如例11；三找中間值，底數(shù)、真數(shù)均不相同的兩個對數(shù)可選擇適當(dāng)?shù)闹虚g值(如1或0等)來比較，如例12.初學(xué)對數(shù)給你提個醒對數(shù)函數(shù)是函數(shù)的重要內(nèi)容之一，由于同學(xué)們對概念、定義域、值域、圖象等知識點掌握得不夠好，經(jīng)常出現(xiàn)解題錯誤，現(xiàn)將這些錯誤進行歸納并舉例說明一、忽視0沒有對數(shù)例13 求函數(shù)ylog3(1x)2的定義域錯解對于任意的實數(shù)x，都有(1x)20，所以原函數(shù)的定義域為R.剖析只考慮到負(fù)數(shù)沒有對數(shù)事實上，由對數(shù)的定義可知，零和負(fù)數(shù)都沒有對數(shù)正解x|x1二、忽視1的對數(shù)為0例14

40、 求函數(shù)y的定義域錯解由2x3>0，得x>，所以定義域為x|x>剖析當(dāng)2x31時，log210，分母為0沒有意義，上述解法忽視了這一點正解x|x>且x1三、忽視底數(shù)的取值范圍例15 已知log(2x5)(x2x1)1，則x的值是()A4 B2或3C3 D4或5錯解由2x5x2x1，化簡得x2x60，解得x2或x3.故選B.剖析忽視了底數(shù)有意義的條件：2x5>0且2x51.當(dāng)x2時，2x51，應(yīng)舍去，只能取x3.正解C四、忽視真數(shù)大于零例16 已知lg xlg y2lg(x2y)，求log的值錯解因為lg xlg y2lg(x2y)，所以xy(x2y)2，即x25x

41、y4y20，所以xy或x4y，即1或4，所以log0，或log4.剖析錯誤的原因在于忽視了原式中的三個對數(shù)式隱含的條件，x>0，y>0，x2y>0，所以x>2y>0，所以xy不成立正解因為lg xlg y2lg(x2y)，所以xy(x2y)2，即x25xy4y20，所以xy或x4y，因為x>0，y>0，x2y>0，所以xy應(yīng)舍去，所以x4y，即4，所以log4.五、對數(shù)運算性質(zhì)混淆例17 下列運算：(1)log2；(2)log283log22；(3)log2(84)log28log24；(4)log2·log23log2(×3

42、)其中正確的有()A4個 B3個C2個 D1個錯解A剖析(1)真數(shù)8與4不能相除；(3)中l(wèi)og2(84)不能把log乘進去運算，沒有這種運算的，運算log2log28log24才是對的；(4)錯把log提出來運算了，也沒有這種運算，正確的只有(2)正解D六、忽視對含參底數(shù)的討論例18 已知函數(shù)ylogax(2x4)的最大值比最小值大1，求a的值錯解由題意得loga4loga2loga21，所以a2.剖析對數(shù)函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)a，錯在沒有討論a與1的大小關(guān)系而直接按a>1解題正解(1)若a>1，函數(shù)ylogax(2x4)為增函數(shù)，由題意得loga4loga2loga21，所以a2，

43、又2>1，符合題意(2)若0<a<1，函數(shù)ylogax(2x4)為減函數(shù)，由題意得loga2loga4loga1，所以a，又0<<1，符合題意，綜上可知a2或a.巧借對數(shù)函數(shù)圖象解題數(shù)形結(jié)合思想，就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維相結(jié)合通過對圖形的認(rèn)識、數(shù)形轉(zhuǎn)化，來提高思維的靈活性、形象性、直觀性，使問題化難為易、化抽象為具體它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面一、利用數(shù)形結(jié)合判斷方程解的范圍方程解的問題可以轉(zhuǎn)化為曲線的交點問題，從而把代數(shù)與幾何有機地結(jié)合起來，使問題的解決得到簡化例1 方程lg xx3的解所在區(qū)間為()A(0,1)

44、 B(1,2)C(2,3) D(3，)答案C解在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)ylg x與yx3的圖象(如圖所示)它們的交點橫坐標(biāo)x0顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi)，由此可排除選項A、D.實際上這是要比較x0與2的大小當(dāng)x02時，lg x0lg 2，3x01.由于lg 2<1，因此x0>2，從而判定x0(2,3)點評本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lg xx3的解所在的區(qū)間數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算x0的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進行判斷二、利用數(shù)形結(jié)合求解的個數(shù)例2 已知函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，當(dāng)x1,1)時，f(x)x，則方程f

45、(x)lg x的根的個數(shù)是_解析構(gòu)造函數(shù)g(x)lg x，在同一坐標(biāo)系中畫出f(x)與g(x)的圖象，如圖所示，易知有4個根答案4點評本題學(xué)生極易填3，其原因是學(xué)生作圖不標(biāo)準(zhǔn)，尤其是在作對數(shù)函數(shù)的圖象時沒有考慮到當(dāng)x10時，y1.因此，在利用數(shù)形結(jié)合法解決問題時，要注意作圖的準(zhǔn)確性三、利用數(shù)形結(jié)合解不等式例3 使log2x<1x成立的x的取值范圍是_解析構(gòu)造函數(shù)f(x)log2x，g(x)1x，在同一坐標(biāo)系中作出兩者的圖象，如圖所示，直接從圖象中觀察得到x(0,1)答案(0,1)點評用數(shù)形結(jié)合的方法去分析解決問題，除了會讀圖外，還要會畫圖，繪制圖形既是利用數(shù)形結(jié)合方法的需要，也是培養(yǎng)我們

46、動手能力的需要對數(shù)函數(shù)常見題型歸納一、考查對數(shù)函數(shù)的定義例4 已知函數(shù)f(x)為對數(shù)函數(shù)，且滿足f(1)f(1)1，求f(1)f(1)的值解設(shè)對數(shù)函數(shù)f(x)logax(a>0，a1)，由已知得loga(1)loga(1)1，即loga(1)×(1)1a2.所以f(x)log2x(x>0)從而得f(1)f(1)log2(1)×(1)2.二、考查對數(shù)的運算性質(zhì)例5 的值是()A. B1 C. D2解析原式···.答案A三、考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化例6 已知logax2，logbx3，logcx6，求logabcx的值解由已知，得a2x

47、，b3x，c6x，所以ax，bx，cx.于是，有abcxx1，所以xabc，則logabcx1.四、考查對數(shù)函數(shù)定義域和值域(最值)例7 (江西高考)若f(x)，則f(x)的定義域為()A. B.C. D(0，)答案A解析要使f(x)有意義，需log(2x1)>0log1，0<2x1<1，<x<0.例8 已知函數(shù)f(x)2log3x(1x9)，則函數(shù)g(x)f2(x)f(x2)的最大值為_，最小值為_解析由已知，得函數(shù)g(x)的定義域為1x3.且g(x)f2(x)f(x2)(2log3x)22log3x2logx6log3x6.則當(dāng)log3x0，即x1時，g(x)

48、有最小值g(1)6；當(dāng)log3x1，即x3時，g(x)有最大值g(3)13.答案136五、考查單調(diào)性例9 若函數(shù)f(x)logax(0<a<1)在區(qū)間a,2a上的最大值是最小值的3倍，則a為()A. B. C. D.解析由于0<a<1，所以f(x)logax(0<a<1)在區(qū)間a,2a上遞減，在區(qū)間a,2a上的最大值為f(a)，最小值為f(2a)，則f(a)3f(2a)，即logaa3loga(2a)a.答案A六、考查對數(shù)函數(shù)的圖象例10 若不等式x2logax<0在(0，)內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是_解析由已知，不等式可化為x2<logax.所

49、以不等式x2<logax在(0，)內(nèi)恒成立，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)x(0，)時，函數(shù)yx2的圖象在函數(shù)ylogax圖象的下方，如圖所示答案，1)點評不等式x2<logax左邊是一個二次函數(shù)，右邊是一個對數(shù)函數(shù)，不可能直接求解，充分發(fā)揮圖象的作用，則可迅速達(dá)到求解目的巧比對數(shù)大小一、中間值法若兩對數(shù)底數(shù)不相同且真數(shù)也不相同時，比較其大小通常運用中間值作媒介進行過渡理論依據(jù)：若A>C，C>B，則A>B.例11 比較大?。簂og9，log8.解由于log9<log9log8<log8，所以log9<log8.點評以為紐帶，建立起放縮的橋梁，解題時常通過觀察確定中間

50、值的選取二、比較法比較法是比較對數(shù)大小的常用方法，通常有作差和作商兩種策略理論依據(jù)：(1)作差比較：若AB>0，則A>B；(2)作商比較：若A，B>0，且>1，則A>B.例12 比較大小：(1)log47，log1221；(2)log1.10.9，log0.91.1.解(1)log47log1221(log471)(log12211)log4log12，由于0<log4<log12，所以>，即log47>log1221.(2)由于log1.10.9，log0.91.1都小于零，所以(log1.10.9)2(log1.10.9)2(log1.

51、1)2>(log1.1)21，故|log1.10.9|>|log0.91.1|，所以log1.10.9<log0.91.1.點評將本例(1)推廣延伸為：若1<A<B，C>0，則logAB>logAC(BC)，進而可比較形如此類對數(shù)的大小三、減數(shù)法將對數(shù)值的大概范圍確定后，兩邊同減去一個數(shù)，通過局部比較大小理論依據(jù)：若AC>BC，則A>B.例13 比較大小：logn2(n1)，logn1n(n>1)解因為logn2(n1)1logn2>logn2>logn1logn1n1.所以logn2(n1)>logn1n.點評將本

52、例推廣延伸為：若1<A<B，C>0，則logAC(BC)>logAB，進而可比較形如此類對數(shù)的大小四、析整取微法將對數(shù)的整數(shù)部分分別析取出來，通過比較相應(yīng)小數(shù)部分的大小使得問題獲解理論依據(jù)：若AlogaMkx，BlogbNky，且x>y，則A>B.例14 比較大?。簂og3，log8.解令log32x，log82y，于是2(2x)3,3(2y)8，則2x3y<0，故2x<3y.兩邊同時取對數(shù)，化簡得xlg 2>ylg 3，則>>1，即x>y，故log3>log8.點評這種方法便于操作，容易掌握，并且所涉及的知識又都是通性通法，有利于“回歸課本，夯實基礎(chǔ)”，此法值得深思例15 對于函數(shù)yf(x)，xD，若存在一常數(shù)c，對任意x1D，存在惟一的x2D，使c，則稱函數(shù)f(x)在D上的均值為c.已知f(x)lg x，x10,100，則函數(shù)f(x)lg x在10,100上的均值為()A. B. C. D10分析該題通過定義均值的方式命題，以定義給出題目信息，是當(dāng)前的一種命題趨勢其本質(zhì)是考查關(guān)于對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì)和對定義的理解與轉(zhuǎn)化解析首先從均值公式可得lg (x1x2)2c，所以x1x2102c