1、 連續(xù)時間連續(xù)時間LTILTI系統(tǒng)：卷積積分；系統(tǒng)：卷積積分；n單位沖激與單位階躍函數(shù)的介紹單位沖激與單位階躍函數(shù)的介紹n離散情況的奇異函數(shù)離散情況的奇異函數(shù)n連續(xù)情況的奇異函數(shù)連續(xù)情況的奇異函數(shù)n沖激函數(shù)的性質(zhì)沖激函數(shù)的性質(zhì)-采樣性、齊次性采樣性、齊次性n連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)n簡單系統(tǒng)簡單系統(tǒng)-RC電路、銀行利息電路、銀行利息n系統(tǒng)的互聯(lián)系統(tǒng)的互聯(lián)-串聯(lián)、并聯(lián)和反饋串聯(lián)、并聯(lián)和反饋n基本的系統(tǒng)性質(zhì)基本的系統(tǒng)性質(zhì)n記憶、可逆、因果、穩(wěn)定、時不變、線性記憶、可逆、因果、穩(wěn)定、時不變、線性2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講3n前面介紹了信號和系統(tǒng)的基本概念前面介紹了

2、信號和系統(tǒng)的基本概念n進(jìn)一步了解進(jìn)一步了解LTI系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系n將信號表示為延時脈沖的線性組合來求解將信號表示為延時脈沖的線性組合來求解n對于離散時間系統(tǒng)對于離散時間系統(tǒng)n卷積和的概念用于表達(dá)輸入輸出之間關(guān)系卷積和的概念用于表達(dá)輸入輸出之間關(guān)系n對于連續(xù)時間系統(tǒng)對于連續(xù)時間系統(tǒng)n卷積概念用于表達(dá)輸入和輸出之間的關(guān)系卷積概念用于表達(dá)輸入和輸出之間的關(guān)系n線性時不變系統(tǒng)的特殊性質(zhì)線性時不變系統(tǒng)的特殊性質(zhì)n常系數(shù)微（差）分方程求解常系數(shù)微（差）分方程求解n求解系統(tǒng)響應(yīng)有幫助的奇異函數(shù)介紹求解系統(tǒng)響應(yīng)有幫助的奇異函數(shù)介紹2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講4n1.用脈沖

3、表示離散時間信號用脈沖表示離散時間信號n任何離散序列可以當(dāng)做一串單任何離散序列可以當(dāng)做一串單個脈沖來想象個脈沖來想象n數(shù)學(xué)上用一系列的加權(quán)延遲脈數(shù)學(xué)上用一系列的加權(quán)延遲脈沖線性組合表示沖線性組合表示n綜合表達(dá)為綜合表達(dá)為n特別在特別在xn=un2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講5n2.離散時間離散時間LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及卷積和表示系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及卷積和表示n用單位脈沖來表示任何的信號的意義用單位脈沖來表示任何的信號的意義n可以將系統(tǒng)分析簡單化，對于可以將系統(tǒng)分析簡單化，對于LTI系統(tǒng)，知道系統(tǒng)對單位脈沖有系統(tǒng)，知道系統(tǒng)對單位脈沖有什么反應(yīng)，對其他信號的反應(yīng)就是一個線性疊加的問題了什么

4、反應(yīng)，對其他信號的反應(yīng)就是一個線性疊加的問題了輸入為單位脈沖得到的系統(tǒng)輸出稱為單位脈沖響應(yīng)輸入為單位脈沖得到的系統(tǒng)輸出稱為單位脈沖響應(yīng)根據(jù)單位脈沖響應(yīng)，就可以求解任何輸入信號的響應(yīng)根據(jù)單位脈沖響應(yīng)，就可以求解任何輸入信號的響應(yīng)2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講6n任意信號的響應(yīng)表達(dá)任意信號的響應(yīng)表達(dá) 任意信號任意信號xn的響應(yīng)的響應(yīng)yn是單位脈沖響應(yīng)的加權(quán)和，權(quán)是單位脈沖響應(yīng)的加權(quán)和，權(quán)值為信號值為信號xn分解為單位脈沖信號組合時的對應(yīng)權(quán)值分解為單位脈沖信號組合時的對應(yīng)權(quán)值2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講7n響應(yīng)響應(yīng)yn的表達(dá)式的表達(dá)式-卷積和表達(dá)卷積和表達(dá)采用卷積和表達(dá)符號的表達(dá)方式采用卷

5、積和表達(dá)符號的表達(dá)方式 yn=xn*hn由此一來，單位脈沖響應(yīng)成為系統(tǒng)表達(dá)的重要特征由此一來，單位脈沖響應(yīng)成為系統(tǒng)表達(dá)的重要特征卷積和的計算卷積和的計算n時間反轉(zhuǎn)時間反轉(zhuǎn)n時間位移時間位移n相乘相乘n求和求和h khkhkh nk x k h nk kx k h nk 2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講8n卷積和計算舉例卷積和計算舉例2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講9n卷積和計算舉例卷積和計算舉例2.1(圖解方式圖解方式)2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講10n卷積和計算舉例卷積和計算舉例2.2（級數(shù)求和）（級數(shù)求和）2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講11n有限長序列的卷積和計算有限長序列的

6、卷積和計算n已知已知n求兩序列的卷積和求兩序列的卷積和n解：解：n依次可以求得依次可以求得y(3)=6、 y(4)=5、 y(5)=3、 y(6)=0、其它, 02 , 1 , 0, 1)(kkf其它, 03 , 2 , 1 , 0,)(kkkh 0 1 2 k f(k) 0 1 2 3 k h(k) kjjkhjfkhkfky0)()()()()(000 : (0)( ) ()(0) (0)0jkyfj hjfh101: (0)( ) (1)(0) (1)(1) (0)1jkyfj hjfhfh202 : (0)( ) (2)(0) (2)(1) (1)(2) (0)3jkyfj hjfhf

7、hfh2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講12n作出序列陣表格作出序列陣表格n根據(jù)陣列關(guān)系計算相關(guān)乘積項(xiàng)的和，得到結(jié)果根據(jù)陣列關(guān)系計算相關(guān)乘積項(xiàng)的和，得到結(jié)果 h(0)h(k) f(0) f(1) f(2) f(3) f(k)h(1)h(2) h(3)： f(0)h(0) f(1)h(0) f(2)h(0) 0 f(0)h(1) f(1)h(1) f(2)h(1) 0 f(0)h(2) f(1)h(2) f(2)h(2) 0 f(0)h(3) f(1)h(3) f(2)h(3) 0 0 0 0 0y(0)=0y(1)=1y(2)=3y(3)=6y(4)=5y(5)=32022-3-15信號與系統(tǒng)

8、第3講13n將有限長序列寫成多項(xiàng)式，尾部對齊，逐項(xiàng)相乘將有限長序列寫成多項(xiàng)式，尾部對齊，逐項(xiàng)相乘n對于本例，對于本例， f (k) = 1,1,1 h(k) = 0,1,2, ,3n相乘過程相乘過程n結(jié)果為結(jié)果為 f(k)*h(k) = 0,1,3,6,5,30 1 3 6 5 30 1 2 3 1 1 10 1 2 31 2 31 2 3+002022-3-15信號與系統(tǒng)第3講14n類似連續(xù)時間系統(tǒng)中的方式類似連續(xù)時間系統(tǒng)中的方式n反褶平移相乘取和反褶平移相乘取和n對于本例對于本例nK=0 ; y(0)=f(0)h(0)=0nK=1; y(1)=f(0)h(1)+ f(1)h(0)=1nK=

9、2; y(2)=f(2)h(0)+ f(1)h(1)+ f(0)h(2)=3nK=3; y(3)=3+2+1=6n 0 1 2 j f(j) 0 1 2 3 jh(j) -3 -2 -1 0 jh(-j) -3 -2 -1 0 jh(1-j) -3 -2 -1 0 1 2 jh(2-j) -3 -2 -1 0 1 2 3 jh(3-j) 2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講1512000(1)111( )( )(1)111kkkkjkjkjkkZSNjjjkkkykGjn例題例題 已知已知 求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)n解：解：n(1)當(dāng)當(dāng)0k0隨隨k增加而減?。┰黾佣鴾p?。?,1()0

10、,1NjNGjjN1001112(1)0011( )( )( )( )(1)111kNkkjkjkjZSNNNjjj NNNkjkjkNjjNkNkkykGjGjGj1 yZS(k) 0 1 2 3 N-1 k 2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講17n1.用沖激表示連續(xù)時間信號用沖激表示連續(xù)時間信號n與離散時間系統(tǒng)類似，可以通過沖擊信號來表示任何連與離散時間系統(tǒng)類似，可以通過沖擊信號來表示任何連續(xù)時間信號，以簡化對連續(xù)時間系統(tǒng)的分析續(xù)時間信號，以簡化對連續(xù)時間系統(tǒng)的分析n對于離散時間系統(tǒng)，任意信號的單位脈沖表達(dá)式為對于離散時間系統(tǒng)，任意信號的單位脈沖表達(dá)式為n連續(xù)時間信號的沖擊函數(shù)表示為連續(xù)時

11、間信號的沖擊函數(shù)表示為2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講18n任意函數(shù)分解任意函數(shù)分解n將信號在垂直方向分成小塊，每個小塊長度趨近于將信號在垂直方向分成小塊，每個小塊長度趨近于0 的近似的近似0()()( )()nu tn tu tn ttx tx n ttt 00( )( ) ()tx txtd 當(dāng)2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講19n2.連續(xù)時連續(xù)時LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)及卷積積分表示系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)及卷積積分表示n對于連續(xù)對于連續(xù)LTI系統(tǒng)，輸入為單位沖激信號，系統(tǒng)的響應(yīng)稱系統(tǒng)，輸入為單位沖激信號，系統(tǒng)的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)為單位沖激響應(yīng)n對于任意連續(xù)時間信號，其響應(yīng)的表示過程對于

12、任意連續(xù)時間信號，其響應(yīng)的表示過程n輸入信號輸入信號n沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)n所求響應(yīng)所求響應(yīng)n取極限取極限2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講20n卷積積分卷積積分n積分表達(dá)式積分表達(dá)式n稱為卷積積分，可以用卷積運(yùn)算符表示為稱為卷積積分，可以用卷積運(yùn)算符表示為ny(t) = x(t) * h(t)由此一來，單位沖激響應(yīng)成為系統(tǒng)表達(dá)的重要特征由此一來，單位沖激響應(yīng)成為系統(tǒng)表達(dá)的重要特征卷積的計算卷積的計算n時間反轉(zhuǎn)時間反轉(zhuǎn)n時間位移時間位移n相乘相乘n積分積分h()h()( )xh(t)( )( )y txh(t)dh()h(t)2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講21n卷積積分計算舉例卷積積分計算舉例

13、在在t1的時候的時候 x()h(t-) = 0，所以y(t)=02022-3-15信號與系統(tǒng)第3講22n卷積積分計算舉例卷積積分計算舉例2.32022-3-15信號與系統(tǒng)第3講23n卷積積分計算舉例卷積積分計算舉例2.32022-3-15信號與系統(tǒng)第3講242022-3-15信號與線性系統(tǒng)第3講24例：求下圖中方波例：求下圖中方波 f1(t) 與三角波與三角波 f2(t) 卷積后的卷積后的 g(t) 的表達(dá)式。的表達(dá)式。 -0.50.501f1(t)t110f2(t)t-0.50.501f2(0-)-1-0.50.501f2(0.5-)-0.50.501f2(1-)1-0.50.501f2(1

14、.5-)1 1.5-0.50.501t1 1.5dtfftg)()()(213/81/21/82022-3-15信號與系統(tǒng)第3講252022-3-15信號與線性系統(tǒng)第3講251 -0.5 t 0.5f1(t)=0 其它 1-t 0 t 1 f2(t)=0 其它f1()=1 -0.5 0.50 其它f2(t-)=1-(t-) 0 t- 10 其它上式可改寫成f2(t-)= +(1-t) t-1 t0 其它將將 t 分為四段：分為四段：(1) t 1.5 f1() f2(t-)=0 2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講262022-3-15信號與線性系統(tǒng)第3講26f1() f2(t-)= +(1-t

15、)0-0.5 t其它8321215.015.021 121 121 1)(2225.025.0tttttttdttgtt第2段解析解 -0.5 t 0.5分別用 t = - 0.5，0，和 0.5 代入，可得 g(- 0.5) = 0， g(0) = 3/8， g(0.5) = 1/22022-3-15信號與系統(tǒng)第3講272022-3-15信號與線性系統(tǒng)第3講27第3段解析解 分別用 t = 0.5，1，和 1.5 代入，可得 g(0.5) = 1/2， g(1) = 1/8， g(1.5) = 0f1() f2(t-)= +(1-t)0t-1 0.5其它892321111215.0 15.0

16、21 121 1)(2225.0125.01tttttttdttgtt2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講282022-3-15信號與線性系統(tǒng)第3講28性質(zhì)性質(zhì)1. 互換律)()()()(tutvtvtu2. 分配律)()()()()()()(twtutvtutwtvtu3. 結(jié)合律 )()()()()()(twtvtutwtvtu4. 卷積的微分)()()()()()(tvdttdudttdvtutvtudtd2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講292022-3-15信號與線性系統(tǒng)第3講29性質(zhì)性質(zhì)5. 卷積的積分tvdxxudxxvtudxxvxuttt dttdvdxxudxxvdttdut

17、vtutt)()()()()()(2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講302022-3-15信號與線性系統(tǒng)第3講30性質(zhì)性質(zhì)例題例題 利用卷積運(yùn)算的性質(zhì)證明利用卷積運(yùn)算的性質(zhì)證明ttdxxfdxxtftfttf)()()()()()(和證：根據(jù)沖擊函數(shù)抽樣性)()()()()(ttfdtftf將上式兩邊微分可證得)()()()()()()(ttfttfttfdtdtf若將該式兩邊積分，則可得)()()()()()()()()(ttfdxxtftdxxfdxxxfdxxftttt微分器積分器2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講312022-3-15信號與線性系統(tǒng)第3講31性質(zhì)性質(zhì)例題：求例題：求)1()2()2()1(tettt解：查表 2-1 公式 11，得)(1)()(tettetttt) 3()2() 12() 121() 1()2()2()3() 12() 1(tettettettttt6. 卷積積分的時移性若)()()(21tftftf則)()()(212211tttfttfttf2022-3-15信號與系統(tǒng)第3講322022-3-15信號與線性系統(tǒng)第3講32性