1、輔導(dǎo)答疑第一章微積分的根底和研究對(duì)象1.問：如何理解微積分大學(xué)數(shù)學(xué)的開展歷史？微積分與初等數(shù)學(xué)的主要區(qū)別是什么？答：微積分的根底是-集合、實(shí)數(shù)和極限,微積分的開展歷史可追溯到17世紀(jì),在物理力學(xué)等實(shí)際問題中出現(xiàn)大量的與面積、體積、極值有關(guān)的問題,用微積分得到了很好的解決.到19世紀(jì),經(jīng)過無數(shù)數(shù)學(xué)家的努力,微積分的理論根底才得以奠定.可以說,經(jīng)過300多年的開展,微積分課程的根本內(nèi)容已經(jīng)定型,并且已經(jīng)有了為數(shù)眾多的優(yōu)秀教材.但是,人們?nèi)匀桓械轿⒎e分的教與學(xué)都不是一件容易的事,這與微積分學(xué)科本身的歷史進(jìn)程有關(guān).微積分這座大廈是從上往下施工建造起來的.微積分從誕生之初就顯示了強(qiáng)大的威力,解決了許多過

2、去認(rèn)為高不可攀的困難問題,取得了輝煌的勝利,創(chuàng)始微積分?jǐn)?shù)學(xué)的大師們著眼于開展強(qiáng)有力的方法,解決各式各樣的問題,他們沒來得及為這門學(xué)科建立起嚴(yán)格的理論根底.在以后的開展中,后繼者才對(duì)邏輯細(xì)節(jié)作了逐一的修補(bǔ).重建根底的細(xì)致工作當(dāng)然是非常重要的,但也給后世的學(xué)習(xí)者帶來了不利的影響,今日的初學(xué)者在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)只見樹木不見森林.微積分重用極限的思想,重用連續(xù)的概念,主要是在研究函數(shù),屬于變量數(shù)學(xué)的范疇.而初等數(shù)學(xué)研究不變的數(shù)和形,屬于常量數(shù)學(xué)的范疇.2問：大學(xué)數(shù)學(xué)中研究的函數(shù)與初等數(shù)學(xué)研究的函數(shù)有何不同之處？答：在自然科學(xué),工程技術(shù)甚至社會(huì)科學(xué)中,函數(shù)是被廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)概念之一,其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了數(shù)學(xué)范

3、圍,在數(shù)學(xué)中函數(shù)處于根底核心地位.函數(shù)不僅是貫穿中學(xué)?代數(shù)?的一條主線,它也是?大學(xué)數(shù)學(xué)?這門課程的研究對(duì)象.?大學(xué)數(shù)學(xué)?課程中,將在原有初等數(shù)學(xué)的根底上,對(duì)函數(shù)的概念、性質(zhì)進(jìn)行重點(diǎn)復(fù)習(xí)和深入的討論,并采用極限為工具研究函數(shù)的各種分析性質(zhì),進(jìn)而應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)去解決實(shí)際問題.第二章微積分的直接根底-極限1問：阿基里斯追趕烏龜?shù)你Ｕ摰降兹绾谓鉀Q的？答：阿基里斯追趕烏龜?shù)你Ｕ撌且粋€(gè)很有趣的悖論.如果芝諾的結(jié)論是正確的,那么追趕者無論跑得多么快也追不上在前面跑的人,這顯然與我們?cè)谏钪薪?jīng)常見到的現(xiàn)象相違背.芝諾的說法中有合理的成分：阿基里斯追趕烏龜?shù)倪^程確實(shí)是一個(gè)無窮的過程-一個(gè)無窮的位置變化過程.芝

4、諾的說法中的錯(cuò)誤在于：他把阿基里斯追趕烏龜?shù)臒o窮的位置變化過程與無窮的時(shí)間變化過程混為一談了.芝諾的結(jié)論阿基里斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜中的永遠(yuǎn)一詞,指的當(dāng)然是時(shí)間.條件中談的是位置的變化,結(jié)論卻談時(shí)間,這是芝諾悖論偷梁換柱之所在.事實(shí)上,阿基里斯追趕烏龜?shù)你Ｕ摰慕鉀Q借助于高等數(shù)學(xué)的一局部重要內(nèi)容-無窮級(jí)數(shù),在那里,我們將會(huì)看到,盡管是無窮多個(gè)數(shù)相加,卻可以等于一個(gè)有限的數(shù).雖然芝諾將追趕時(shí)間一段一段表達(dá),造成無窮多個(gè)時(shí)間的迷惑,實(shí)際上,這無窮多個(gè)時(shí)間的和是個(gè)有限的數(shù).從而,阿基里斯在有限的時(shí)間內(nèi)就可以追趕上烏龜了,這與我們的生活常識(shí)一致.2問：極限的定性描述和定量描述有何不同之處？答：極限的定性描述

5、是用所謂的描述性語言,例如,“無限趨近“越來越靠近這些都只是一種模糊的描述,一種直觀的想象,缺乏精確性；為防止直觀想象可能帶來的錯(cuò)誤判斷,作為微積分工具的極限概念,必須有定量描述的精確定義.在R.克朗的名著?數(shù)學(xué)是什么?一書中,數(shù)學(xué)大師也提到：定量描述極限的語言接受起來有一定的心理上的困難,但是文科學(xué)生要通過這種定量定義,理解、領(lǐng)悟、欣賞數(shù)學(xué)語言區(qū)別于自然語言的簡(jiǎn)潔、一義、科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆矫?3問：如何理解連續(xù)的概念？連續(xù)函數(shù)有什么應(yīng)用？答：自然界中連續(xù)變化的現(xiàn)象是很多的,例如,我們身邊的容易理解例子：空氣的流動(dòng),植物的生長(zhǎng),溫度的變化,這種種現(xiàn)象反映到數(shù)學(xué)的函數(shù)關(guān)系上,就是函數(shù)的連續(xù)性.實(shí)際遇

6、到的情形是：當(dāng)自變量的改變非常小時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值改變也非常小.例如,氣溫作為時(shí)間的函數(shù),就有這種性質(zhì).一天之中的溫差可能很大,但考慮時(shí)間間隔很短的瞬間,溫度的改變將是很微小的連續(xù)函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)中著重要討論的一類重要函數(shù).一方面,連續(xù)函數(shù)是人們?cè)诳茖W(xué)實(shí)驗(yàn),生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)常碰到的一類函數(shù)例如,初等函數(shù)在具有定義的區(qū)間內(nèi)均為連續(xù)的；另一方面,在數(shù)學(xué)上,人們經(jīng)常用連續(xù)函數(shù)去逼近非連續(xù)函數(shù),進(jìn)而研究非連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和近似計(jì)算函數(shù)值.第三章變量變化速度與局部改變量估值問題-導(dǎo)數(shù)與微分1 .問：導(dǎo)數(shù)是如何引進(jìn)的？舉例說明導(dǎo)數(shù)的實(shí)際運(yùn)用.答：在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,常常需要研究函數(shù)相對(duì)于自變量變化的快慢程度.例

7、如,要預(yù)報(bào)人造地球衛(wèi)星飛過各大城市的時(shí)間,就要知道衛(wèi)星的飛行速度,要研究軸和梁的彎曲變形問題,就必須會(huì)求曲線的切線的斜率,等等.求曲線的切線斜率、求速度的問題,叫做求變化率的問題,數(shù)學(xué)上稱為求導(dǎo)數(shù).例如,我們可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念,證實(shí)旋轉(zhuǎn)拋物面的光學(xué)性質(zhì).拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面就是旋轉(zhuǎn)拋物面.放在焦點(diǎn)處的光源所發(fā)出的光,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)拋物面各點(diǎn)反射之后就形成平行光束,人們利用這一性質(zhì)制造需要發(fā)射平行光的燈具,例如,探照燈、汽車前燈等.2 .問：如何理解微分的概念？答：可以從多個(gè)角度和方面來理解和加深對(duì)微分的熟悉.1從幾何角度考,微分dy=fxodx正好是切線函數(shù)的增量；2從代數(shù)角度看,微分

8、dy=fx0dx是增量Ay=fx+Ax-fx的線性主要局部,二者之差是一個(gè)高階無窮小量ogx；3有了微分的概念以后,可以把導(dǎo)數(shù)的記號(hào)電解釋為dy與dx之商：dx=fxo,故導(dǎo)數(shù)也稱為微商；dx4可以利用微分做近似計(jì)算和誤差估計(jì)Ay之dy,但精度受限.第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題-洛必達(dá)法那么、函數(shù)的性質(zhì)和圖像1 .問：微分學(xué)的中值定理的作用？如何運(yùn)用中值定理解決問題答：微分中值定理是由函數(shù)的局部性質(zhì)來研究函數(shù)的整體性質(zhì)的橋梁,其應(yīng)用十分廣泛.在具體處理問題時(shí),注意首先確定函數(shù)以及討論的區(qū)間,判斷函數(shù)在所討論的區(qū)問上是否滿足中值定理的條件.人們常用中值定理證實(shí)某些不等式或者涉及函數(shù)和它的一階導(dǎo)數(shù)的問題.

9、補(bǔ)充一點(diǎn)：中值定理有三種常用的形式：Rolle中值定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,這三種形式一個(gè)比一個(gè)適用范圍要廣.但最常用的還是Lagrange中值定理,故人們一般提到微分中值定理時(shí)均指Lagrange中值定理.2 .問：應(yīng)用計(jì)算不定式極限的一般方法-洛必達(dá)法那么時(shí),有什么考前須知？答：1洛必達(dá)法那么可以處理7種函數(shù)不定式極限,十分好用；但是在山極gx限不存在的情況下,洛必達(dá)法那么失效；故,不能從f極限不存在推出fx極gxgx限不存在；2盡管洛必達(dá)法那么只針對(duì)未定式是函數(shù)的極限形式,但對(duì)于未定式是數(shù)列的極限形式,可以通過歸結(jié)原那么將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限,再利用洛必達(dá)法

10、那么.注意：沒有數(shù)列極限的洛必達(dá)法那么3 .問：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像和進(jìn)行函數(shù)圖像的繪制與初等數(shù)學(xué)中的描點(diǎn)作圖的區(qū)別是什么？答：中學(xué)?代數(shù)?應(yīng)用描點(diǎn)法繪制了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像.但是應(yīng)用描點(diǎn)法得到的函數(shù)是比擬粗糙的,這是由于,描點(diǎn)法所選取的點(diǎn)不可能很多,而一些關(guān)鍵的點(diǎn),如極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等可能被漏掉；曲線的單調(diào)性、描述其彎曲性質(zhì)的凸性等一些重要性態(tài)常常得不到確切的反映.因此,用描點(diǎn)法所描繪的函數(shù)圖象常與真實(shí)的函數(shù)圖象相差很多.現(xiàn)在,有了微積分這個(gè)工具,我們已經(jīng)掌握了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性、極值、凸性、拐點(diǎn)、漸近線等的方法,再結(jié)合前面所講的周期性、奇偶性等知識(shí)就能比擬準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖像.注意,利用

11、微積分的方法作圖,也具有一定的局限性,更何況許多實(shí)際問題所得到的函數(shù)不一定可以用公式表示的,而只是測(cè)得一系列數(shù)據(jù),因而數(shù)值計(jì)算適當(dāng)?shù)囟嗨愠鲆恍c(diǎn),然后描點(diǎn)作圖,仍不失為一種有效的作圖方法.隨著電子計(jì)算機(jī)的開展和應(yīng)用的普及,用描點(diǎn)作圖就更方便、更精確了.第五章微積分的逆運(yùn)算問題-不定積分1 .問：不定積分與原函數(shù)是同一個(gè)概念嗎？答：不是同一個(gè)概念.前者是一個(gè)集合,是所有原函數(shù)構(gòu)成的集合,后者是集合中的一個(gè)元素.2 .問：不定積分運(yùn)算與微分運(yùn)算(求導(dǎo)運(yùn)算)有何關(guān)系？答：由不定積分的定義,有如下關(guān)系式：d-最f(x)dx=f(x)或djf(x)dx=f(x)dx尸(x)dx=F(x)+C或1dF(x

12、)=F(x)+C由此可見,微分運(yùn)算(記號(hào)為d)與不定積分運(yùn)算(記號(hào)為)是互逆的.當(dāng)記號(hào)合在一起時(shí),或者抵消,或者抵消后差一個(gè)常數(shù).3 .問：第一類換元積分法與第二類換元積分法有何不同？答：第一類換元積分法：假設(shè)J70)后=連續(xù)可導(dǎo),那么f(x)尸(x)dx=F(x)C.第二類換元積分法：設(shè)是單調(diào)的可微函數(shù),并且dH0,又/呢).具有原函數(shù).那么有換元公式不同在于：前者是作變量代換平(x)=t,后者是作變量代換x=cP(t)o在求不定積分時(shí),先考慮用第一換元積分法,即湊微分法,如果用此法失效,再考慮用第二換元積分法.4 .問：在分部積分法如何選取u(x),v(x)?答：在分部積分公式udv=uv

13、-fvdu中,一般來說,選取u(x),v(x)的原那么就是：使得jv(x)ux)dx比ju(x)vx)dx簡(jiǎn)單,具體說有2個(gè)原那么：(1)積分容易者選為dv;(2)求導(dǎo)簡(jiǎn)單者選為u,在二者不可兼得的情況下,首先要保證的是前者.在分部積分法中常用湊微分的形式將v(x)dx湊成dv(x),因此應(yīng)熟記常見的湊微分形式.5 .問：是不是所有的初等函數(shù)都可以求出其不定積分？答：不是.如fWxjsnxdxJsinxQx都“積不出來,它們都不能用初等函數(shù)lnxx表小O第六章求總量的問題-定積分1 .問：定積分與不定積分有何區(qū)別？答：定積分和不定積分有很大的不同,不定積分f(x)dx表示函數(shù)f(x)的所有b原

14、函數(shù)構(gòu)成的集合,而If(x)dx是一個(gè)常數(shù).并且定積分有明顯的幾何意義.但在計(jì)算方法上二者是相通的,各種求不定積分的方法都適用于定積分,結(jié)合牛頓-萊布尼茲公式便可以求得定積分.2 .問：積分中值定理與微分中值定理有何區(qū)別？答：積分中值定理：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),那么在積分區(qū)間a,b上至少存在一點(diǎn)二使下式成立：Jbf(x)dx=f(町b-a).,a積分中值定理中的已在整個(gè)閉區(qū)間a,b上取值,且結(jié)論中含有的是函數(shù)f(x)在、處的函數(shù)值f(),而不是函數(shù)f(x)在2處的導(dǎo)數(shù)(與.而微分中值定理中的在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取值,且結(jié)論中含有的是函數(shù)f(x)在自處的導(dǎo)數(shù)f(與.第七章偶然中蘊(yùn)

15、含必然的問題-概率統(tǒng)計(jì)初步1 .問：隨機(jī)現(xiàn)象有規(guī)律性嗎？答：有.例如：在相同條件下,屢次重復(fù)地拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,正面朝上的次數(shù)大致占總拋擲次數(shù)的一半,再如：從嬰兒出生的調(diào)查來看,男、女嬰孩的可能性各占一半.這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.在大量試驗(yàn)中才顯示出來,不是個(gè)別試驗(yàn)或某個(gè)對(duì)象顯示的特性.2 .問：頻率與概率之間有何關(guān)系？答：隨機(jī)事件的頻率,指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值,它具有一定的穩(wěn)定性,即穩(wěn)定在某一常數(shù)附近,而偏離的可能性很小.為了說明這種規(guī)律,我們把這個(gè)常數(shù)稱為這個(gè)隨機(jī)事件的概率,即頻率的穩(wěn)定值就是時(shí)間的概率.它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小,而頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的

16、前提下可近似地作為這個(gè)事件的概率.例如,一根棒在一定條件下具有長(zhǎng)度這一特性,而我們通常用某次測(cè)量的結(jié)果作為其長(zhǎng)度.3 .問：互斥與等可能的區(qū)別是什么？答：互斥事件和等可能事件是迥然不同的兩個(gè)概念.在一次試驗(yàn)中,由于某種對(duì)稱性條件使得假設(shè)干個(gè)隨機(jī)事件中每一事件發(fā)生的可能性是完全相同的,那么稱這些事件為等可能事件.在數(shù)目上它可為2個(gè)或多個(gè).而互斥事件僅指不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件.例如：擲一個(gè)均勻骰子,出現(xiàn)1或2與出現(xiàn)2或3這兩個(gè)事件是等可能的,但它們不是互斥事件.4 .問：事件互斥和事件對(duì)立的關(guān)系如何？答：互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件,而對(duì)立事件是其中必有一個(gè)發(fā)生的事件.因此,對(duì)立事件必須是

17、互斥事件,但互斥事件不一定是對(duì)立事件,也就是說,互斥是對(duì)立的必要但不充分的條件.例如：擲一個(gè)均勻骰子,出現(xiàn)1點(diǎn)和出現(xiàn)2點(diǎn)是互斥的,但不是對(duì)立的,因?yàn)橛锌赡?點(diǎn)和2點(diǎn)都不出現(xiàn).又如：擲一個(gè)硬幣,出現(xiàn)正面和出現(xiàn)反面是對(duì)立的.5 .問：如何理解“兩個(gè)事件相互獨(dú)立這一概念,如何判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立？答：在實(shí)際生活中,我們常常注意到事件之間的聯(lián)系.例如：“昨天晚上沒休息好和“今天測(cè)試成績(jī)差是有聯(lián)系的.雖然沒休息好不一定導(dǎo)致成績(jī)不好,但增大了成績(jī)不好的可能性.“兩個(gè)事件互不影響抽象為數(shù)學(xué)模型,就得到“獨(dú)立事件的數(shù)學(xué)概念,但我們還要注意兩者之間的差異.前一句話,是日常生活用語,是不準(zhǔn)確的,如果用它來代替

18、“獨(dú)立事件的概念,就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.例如：“廣州下雨和“北京在同一天下雨這兩個(gè)事件,看來是互不相關(guān)的,但是它們并不是互相獨(dú)立的事件.又如擲一個(gè)均勻的骰子,出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)和“出現(xiàn)1或2這兩個(gè)事件是互相獨(dú)立的,但如果骰子不是均勻的,那么這兩個(gè)事件就不一定互相獨(dú)立的.所以,判定兩個(gè)事件A,B是否相互獨(dú)立,一般要按定義,即根據(jù)條件P(AB)=P(A)P(B)是否成立來決定.在實(shí)際問題中,判斷兩個(gè)事件的獨(dú)立性常?？蓱{經(jīng)驗(yàn),只要一個(gè)事件發(fā)生與否不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率,或者兩個(gè)事件之間沒有關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)很微弱,就可以認(rèn)為這兩個(gè)事件相互獨(dú)立.6 .問：如何求“至少或“至多等事件發(fā)生的概率？答：求某個(gè)事件的概率時(shí),常遇到求“至少或“至多等事件概率的問題.假設(shè)從正面考察這些事件,它們往往是諸多事件的和或積,求解時(shí)很繁瑣.但“至少、“至多這些事件的對(duì)立事件卻又比擬簡(jiǎn)單,且其概率也很容易求出.此時(shí),采用先求其對(duì)立事件的概率,然后再求原來事件的概率.7 .問：如何正確看待小概率事件?答：小概率事件通常指發(fā)生的概率小于5%勺事件.對(duì)于這類事件來說,在大量重復(fù)試驗(yàn)中,平均每試驗(yàn)20次才發(fā)生1次,所以認(rèn)為小概率事件在一