1、 期權(quán)定價是所有衍生金融工具定價中最復雜的，它 涉及到隨機過程等較為復雜的概念。而期權(quán)定價又是整個金融工程學科的重要基礎。因此，本章內(nèi)容相當?shù)闹匾Ｔ谥R結(jié)構(gòu)安排上，本章將從證券價格的運動規(guī)律講起，逐步推導出BS期權(quán)定價模型，同時，對該模型的實證研究成果進行一定的概況性敘述。 6.1.1 研究意義 了解 6.1.2 效率市場假說和馬爾可夫隨機過程 熟悉6.1.3 布朗運動 掌握6.1.4 伊藤過程和伊藤引理 掌握6.1.5 證券價格變化過程 掌握 6.2 布萊克舒爾斯期權(quán)定價模型布萊克舒爾斯期權(quán)定價模型 6.2.1 布萊克舒爾斯微分方程的基本假設 熟悉6.2.2 布萊克舒爾斯微分方程的推導 掌

2、握6.2.3 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式 掌握6.2.4 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的基本推廣 熟悉 6.3 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的實證研究和應布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的實證研究和應用用 了解6.3.1 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的實證研究 了解6.3.2 布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的應用 熟悉 6.1 證券價格的變化過程證券價格的變化過程 期權(quán)是標的資產(chǎn)的衍生工具，其價格波動的來源就是標的資產(chǎn)價格的變化，期權(quán)價格受到標的資產(chǎn)價格的影響。因此期權(quán)定價使用的是相對定價法，即相對于證券價格的價格，因而要為期權(quán)定價首先必須研究證券價格。 期權(quán)的價值正是來源于簽訂合約時，未來標的資產(chǎn)價格與合約執(zhí)行價格之間

3、的預期差異變化，在現(xiàn)實中，資產(chǎn)價格總是隨機變化的。需要了解其所遵循的隨機過程。 研究變量運動的隨機過程，可以幫助我們了解在特定時刻，變量取值的概率分布情況。 1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價格對新的市場信息的反應是迅速而準確的，證券價格能完全反應全部信息；市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應的價格變動是相互獨立的 1、弱式效率市場假說認為，證券價格變動的歷史不包含任何對預測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術分析獲得超過平均收益率的收益。2、半強式效率市場假說認為，證

4、券價格會迅速、準確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價格和成交量等技術面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價格被高估或低估的證券。3、強式效率市場假說認為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關信息都已反映在股價中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對挑選證券都沒有用處。根據(jù)眾多學者的實證研究，發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。 隨機過程（Stochastic Process）是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。根據(jù)時間是否連續(xù)和變量取值范圍是否連續(xù)，隨機過程可以做如下的劃分： 時間的連續(xù)性 離散時間隨機過程 連續(xù)時間隨機過程變量取值范圍的連續(xù)性 離散變量隨

5、機過程 連續(xù)變量隨機過程 從嚴格意義上說，證券價格的變化過程屬于離散變量的離散時間隨機過程，為了研究方便，我們可以把它近似為連續(xù)變量的連續(xù)時間的隨機過程。 隨機過程有許多類型，在本課程中，我們將涉及一些符合證券價格變化規(guī)律的隨機過程。 一般認為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機過程（Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。 馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。在這個過程中，只有變量的當前值才與未來的預測有關，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預測無關。 如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則意味著其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格，這顯然和弱式效率

6、市場假說是一致的。 布朗運動（Brownian Motion）起源于物理學中對完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運動的描述。 對于標準布朗運動來說：設 代表一個小的時間間隔長度， 代表變量z在 時間內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的 具有兩種特征：特征特征1： 和 的關系滿足： =其中， 代表從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。特征特征2：對于任何兩個不同時間間隔 ， 的值相互獨立。t tz z zttzzt當 0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動：dtdzt1、為何定義 = 而非 = ？ zttt 當我們需要考察任意時間長度間隔中的變量變化的情況時，獨立的正態(tài)分布

7、，期望值和方差具有可加性，而標準差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時間長度成比例，不受時間劃分方法的影響。相應的一個結(jié)果就是：標準差的單位變?yōu)?年2、下面我們來考查符合標準布朗運動的變量z在一段較長時間T中的變化情形：令z（T）z(0)表示變量z在T中的變化量，顯然該變量又可被看作是在N個長度為的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/ t 。tzTzNii1)0()(很顯然，這是n個相互獨立的正態(tài)分布的和： 因此，z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為N t =T，標準差 。 T普通布朗運動 若變量x 遵循普通布朗運動： 其中：1、a和b均為常數(shù)，dz遵循標準布朗運動。 2

8、、a為漂移率（Drift Rate），是指單位時間內(nèi)變量 z均值的變化值。 3、b2為方差率（Variance Rate），是指單位時間的方差。 bdzadtdx普通布朗運動的離差形式為 ，顯然，x也具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標準差為 ，方差為tbtaxtatb tb 21、顯然，遵循普通布朗運動的變量x是關于時間和dz的動態(tài)過程，其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是隨機項，它表明對x的動態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。2、在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標準差為 ，方差為b2T。3、標準布朗運動

9、的漂移率a為0,方差率為1。 TbTb 普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們就可以得到 ，這就是伊藤過程（Ito Process） 其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 dztxbdttxadx),(),( 在伊藤過程的基礎上，數(shù)學家伊藤（K.Ito）進一步推導出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222 其中，dz是一個標準布朗運動。這就是著名的伊藤引理。 首先，我們要明確，在研究證券價格變化過程的時候，我們的目標

10、是找到一個合適的隨機過程表達式，來盡量準確地描述證券價格的變動過程，同時盡量實現(xiàn)數(shù)學處理上的簡單性。一般來說，金融研究者認為證券價格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為 S2的伊藤過程來表示： 2dSSdtSdz兩邊同除以S得： dzdtSdS 該隨機過程又可以稱為幾何布朗運動。其中S表示證券價格，表示證券在瞬間內(nèi)以連續(xù)復利表示的期望收益率（又稱預期收益率）， 表示證券收益率瞬間的方差， 表示證券收益率瞬間的標準差，簡稱證券價格的波動率（Volatility），dz表示標準布朗運動。其中，和的時間度量單位一般都采用年。幾何布朗運動的離散形式為：2ttSS 為什么證券價格可以用幾何布朗運動表示？

11、 1、市場一般認同股票市場符合“弱式效率市場假說”，而幾何布朗運動的隨機項來源于標準布朗運動dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式效率的假說。 2 2、投資者感興趣的不是股票價格S，而是獨立于價格的收益率。投資者不是期望股票價格以一定的絕對價格增長，而是期望股票價格以一定的增長率在增長。因此需要用百分比收益率代替絕對的股票價格（幾何布朗運動的離散形式）。 3 3、幾何布朗運動最終隱含的是：股票價格的連續(xù)復利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價格為對數(shù)正態(tài)分布。這比較符合現(xiàn)實。 在短時間 后，證券價格比率的變化值 為： tSSttSS 可見， 也具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標準差為 ，方差

12、為 。也就是說其中 表示均值為m ，標準差為s的正態(tài)分布。SStt),(ttSSt2),(sm但是，在一個較長的時間T后， 不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)：這就是百分比多期收益率的乘積問題。因此，盡管是短期內(nèi)股票價格百分比收益率的標準差，但是在任意時間長度T后，這個收益率的標準差卻不再是 。股票價格的年波動率并不是一年內(nèi)股票價格百分比收益率變化的標準差。 SST 但是 ,如果我們運用Ito引理來推導證券價格自然對數(shù)lnS（設為G）所遵循的隨機過程，就可以得到 可以看到，這個隨機過程屬于普通布朗運動，具有恒定的漂移率和恒定的方差率；在任意時間長度T之后，G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為 ，方差為 。標準

13、差仍然可以表示為 ，和時間長度平方根成正比。 dzdtdG)2(2)(2/(2tT )(2tT tT 從以上分析，我們可以得到兩點重要結(jié)論：1、幾何布朗運動意味著股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。令t時刻G的值為lnS，T時刻G的值為lnST，其中S表示t時刻（當前時刻）的證券價格，ST表示T時刻（將來時刻）的證券價格，則在Tt期間G的變化為： SSTlnln這意味著：這意味著： 進一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到：進一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到：),)(lnln22tTtTSST),)(lnln22tTtTSST 也就是說，證券價格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對

14、數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布的特性，以及符號的定義，我們可以得到 和)()(tTTSeSE 1)var()()(222tTtTTeeSS2、股票價格對數(shù)收益率服從正態(tài)分布 由于dG實際上就是連續(xù)復利的對數(shù)收益率。因此幾何布朗運動實際上意味著對數(shù)收益率遵循普通布朗運動，對數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對數(shù)收益率的標準差與時間的平方根成比例。:1、幾何布朗運動中的期望收益率。 2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理， 取決于該證券的系統(tǒng)性風險、無風險利率水平、以及市場的風險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復雜。然而幸運的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價與標的資產(chǎn)的

15、預期收益率 是無關的。 3 、較長時間段后的連續(xù)復利收益率的期望值等于 1.0元，因此在第一個除權(quán)日前期權(quán)不應當執(zhí)行。4148. 0)1 (501 0833. 01 . 0)(2eeXtTr由于0.41481.0元，因此在第二個除權(quán)日前有可能提前執(zhí)行。第二次除權(quán)日前不等右邊為： 然后，要比較1年期和11個月期歐式看漲期權(quán)價格。對于1年期歐式看漲期權(quán)來說，由于紅利的現(xiàn)值為：元8716. 10 . 10 . 19167. 01 . 04167. 01 . 0ee因此S=50-1.8716=48.1284元 將S=48.1284，代入式（9）得：)(2419.45)(1284.48)(50)(128

16、4.4821211 . 0112dNdNdNedNc其中， 0562. 013 . 03562. 03562. 013 . 01)2/09. 01 . 0()50/1284.48ln(21dd由于N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224，因此元1293. 75224. 02419.456392. 01284.4812c對于11個月期的歐式看漲期權(quán)來說，由于紅利的現(xiàn)值為：元9592. 00 . 14167. 01 . 0e因此 S=50-0.9592=49.0408元 因此將S=49.0408元，代入式（9）得： )(6203.45)(0408.49)(50)(0408

17、.492129167. 01 . 0111dNdNdNedNc其中， 3952. 09167. 03 . 09167. 0)2/09. 01 . 0()50/0408.49ln(1d元2824. 7543. 06203.456536. 00408.491080. 09167. 03 . 03952. 0112cd由于 1112cc，因此該美式看漲期權(quán)價值近似為7.2824元。 美式看跌期權(quán)的定價 美式看跌期權(quán)無論標的資產(chǎn)有無收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對應的看漲期權(quán)也不存在精確的平價關系，因此我們一般通過數(shù)值方法來求美式看跌期權(quán)的價值。 對于精度問題，我們可以運用布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式計

18、算出期權(quán)價格的理論值，然后與市場上的期權(quán)價格進行比較。實證研究顯示：1、舒爾斯期權(quán)定價公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低2、高估實值期權(quán)的價格，低估虛值期權(quán)的價格。3、改變波動率的估計的方式會提高布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式在預測實際價格時的表現(xiàn)。的期權(quán)。造成用布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式估計的期權(quán)價格與市場價格存在差異的原因主要有以下幾個：計算錯誤；2.期權(quán)市場價格偏離均衡； 3.使用的錯誤的參數(shù)；4.布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式建立在眾多假定的基礎上。評估組合保險成本 證券組合保險是指事先能夠確定最大損失的投資策略。比如在持有相關資產(chǎn)的同時買入看跌期權(quán)就是一種組合保險。 假設你掌管著價值1億的股票

19、投資組合，這個股票投資組合于市場組合十分類似。這時可以購買一份看跌期權(quán)來為組合提供保險。顯然，期權(quán)的執(zhí)行價格越低，組合保險的成本越小，此時市場上可能根本就沒有對應的期權(quán)，要準確估算成本就必須采用布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式。比如也許10的損失是可以接受的，那么執(zhí)行價格就可以設為9000萬，然后再將利率、波動率和保值期限的數(shù)據(jù)代進公式，就可以合理估算保值成本。 可轉(zhuǎn)換債券是一種可由債券持有者轉(zhuǎn)換成股票的債券，因此可轉(zhuǎn)換債券相當于一份普通的公司債券和一份看漲期權(quán)的組合。即CBBCVVVCBVCBVCBVBVCVCV 其中 表示可轉(zhuǎn)換債券的價值， 代表從可轉(zhuǎn)換債券中剝離出來的債券的價值， 代表從可轉(zhuǎn)換債券中剝離出來