1、2022年3月17日振動力學2kcm建模方法建模方法1：將車、人等全部作為一個質量考慮，并考慮彈性和阻尼將車、人等全部作為一個質量考慮，并考慮彈性和阻尼要求：對轎車的上下振動進行動力學建模要求：對轎車的上下振動進行動力學建模例子：轎車行駛在路面上會產生上下振動例子：轎車行駛在路面上會產生上下振動缺點：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪、車輪與地面之缺點：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互影響間的相互影響優(yōu)點：模型簡單優(yōu)點：模型簡單分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運動存在耦合分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運動存在耦合多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動2022

2、年3月17日振動力學3k2c2m車車m人人k1c1建模方法建模方法2：車、人的質量分別考慮，并考慮各自的車、人的質量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼彈性和阻尼優(yōu)點：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合優(yōu)點：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合缺點：沒有考慮車與車輪、車輪與地面之間的相互影響缺點：沒有考慮車與車輪、車輪與地面之間的相互影響多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動2022年3月17日振動力學4m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m車車m輪輪m輪輪建模方法建模方法3：車、人、車輪的質量分別考慮，車、人、車輪的質量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點：分別考慮

3、了人與車、車與優(yōu)點：分別考慮了人與車、車與車輪、車輪與地面之間的車輪、車輪與地面之間的相互耦合，模型較為精確相互耦合，模型較為精確問題：如何描述各個質量之間的相互耦合效應？問題：如何描述各個質量之間的相互耦合效應？多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動2022年3月17日振動力學5多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動2022年3月17日振動力學6先看幾個例子先看幾個例子 例例1：雙質量彈簧系統(tǒng)，兩質量分別受到激振力：雙質量彈簧系統(tǒng)，兩質量分別受到激振力不計摩擦和其他形式的阻尼不計摩擦和其他形式的阻尼試建立系統(tǒng)的運動微分方程試建立系統(tǒng)的運動微分方程m1m2k3k1k2u1u2 f1(t) f2(t)2.1

4、 多自由度系統(tǒng)的振動方程多自由度系統(tǒng)的振動方程2022年3月17日振動力學7解：解：1,u2u21,mm的原點分別取在的原點分別取在 的靜平衡位置的靜平衡位置 建立坐標：建立坐標：設某一瞬時：設某一瞬時：21mm、1u、2u上分別有位移上分別有位移12uu、加速度加速度受力分析：受力分析：f1(t)k1u1k2(u1-u2)1 1mu m1f2(t)k2(u1-u2)22m u m2k3u2m1m2k3k1k2u1u2 f1(t) f2(t)2.1 多自由度系統(tǒng)的振動方程多自由度系統(tǒng)的振動方程2022年3月17日振動力學8建立方程：建立方程：1 11 1212122212332()( )()(

5、 )muk uk uuf tm uk uuk uf t矩陣形式：矩陣形式：122111122322220( )0( )kkkmuuf tkkkmuuf t力量綱力量綱坐標間的耦合項坐標間的耦合項 f1(t)k1u1k2(u1-u2)1 1mu m1f2(t)k2(u1-u2)22m u m2k3u22.1 多自由度系統(tǒng)的振動方程多自由度系統(tǒng)的振動方程2022年3月17日振動力學9例例2：轉動運動：轉動運動兩圓盤兩圓盤轉動慣量轉動慣量 21,II軸的三個段的扭轉剛度軸的三個段的扭轉剛度 321,kkk試建立系統(tǒng)的運動微分方程試建立系統(tǒng)的運動微分方程 1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM1)

6、(),(21tMtM外力矩外力矩 2.1 多自由度系統(tǒng)的振動方程多自由度系統(tǒng)的振動方程2022年3月17日振動力學10解：解：建立坐標：建立坐標：角位移角位移21,設某一瞬時：設某一瞬時：角加速度角加速度21, 受力分析：受力分析：1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM111k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k2.1 多自由度系統(tǒng)的振動方程多自由度系統(tǒng)的振動方程2022年3月17日振動力學11建立方程：建立方程：)()()()(2332222121211111tMkkItMkkI 矩陣形式：矩陣形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkk

7、kII 坐標間的耦合項坐標間的耦合項 11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k2.1 多自由度系統(tǒng)的振動方程多自由度系統(tǒng)的振動方程2022年3月17日振動力學12122111122322220( )0( )kkkmuuf tkkkmuuf t)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 多自由度系統(tǒng)的角振動與直線振動在數(shù)學描述上相同多自由度系統(tǒng)的角振動與直線振動在數(shù)學描述上相同 如同在單自由度系統(tǒng)中做過的那樣，在多自由度系統(tǒng)中如同在單自由度系統(tǒng)中做過的那樣，在多自由度系統(tǒng)中也將質量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。也將質量、剛度、位移、

8、加速度及力都理解為廣義的。m1m2k3k1k2f1(t)f2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM2.1 多自由度系統(tǒng)的振動方程多自由度系統(tǒng)的振動方程2022年3月17日振動力學13小結：小結：122111122322220( )0( )kkkmuuf tkkkmuuf t)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 可統(tǒng)一表示為：可統(tǒng)一表示為： ( )( )( )tttM U UF例例1：例例2：作用力方程作用力方程位移向量位移向量加速度向量加速度向量質量矩陣質量矩陣剛度矩陣剛度矩陣激勵力向量激勵力向量若系統(tǒng)有若系統(tǒng)有 n 個自由度，則各項皆為個自由度，則各項皆為

9、 n 維維 2.1 多自由度系統(tǒng)的振動方程多自由度系統(tǒng)的振動方程2022年3月17日振動力學142022年3月17日振動力學151 牛頓第二定律和質系動量矩定理牛頓第二定律和質系動量矩定理 n DOFs vibrating system 廣義位移、速度、加廣義位移、速度、加速度均為正速度均為正 2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學161121211212111)()()(xmxxkxkxxcxctF iiiiiiiiiiiiiiixmxxkxxkxxcxxctF )()()()()(111111)1, 3, 2(ninnnnnnnnnnnnnxmxk

10、xxkxcxxctF 1111)()()(整理后用矩陣形式表示為整理后用矩陣形式表示為 tFxKxCxM 1 牛頓第二定律和質系動量矩定理牛頓第二定律和質系動量矩定理 2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學17 tFxKxCxM T21,nixxxxxT21,nixxxxx T21,nixxxxx 位移向量位移向量速度向量速度向量加速度向量加速度向量外激勵向量外激勵向量 T21)(,),(,),(),()(tFtFtFtFtFni1 牛頓第二定律和質系動量矩定理牛頓第二定律和質系動量矩定理 2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年

11、3月17日振動力學18 tFxKxCxM 剛度矩陣剛度矩陣Stiffness Matrix 111113322221000000nnnnnnniiiikkkkkkkkkkkkkkkkkkK1 牛頓第二定律和質系動量矩定理牛頓第二定律和質系動量矩定理 2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學19 tFxKxCxM 質量矩陣質量矩陣Mass Matrix對稱、正定對稱、正定Symmetry, positive definitenimmmmM000000211 牛頓第二定律和質系動量矩定理牛頓第二定律和質系動量矩定理 2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分

12、方程的方法2022年3月17日振動力學20 tFxKxCxM 阻尼矩陣阻尼矩陣Damping Matrx 對稱對稱Symmetry 111113322221000000nnnnnnniiiiccccccccccccccccccC1 牛頓第二定律和質系動量矩定理牛頓第二定律和質系動量矩定理 2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學21質量矩陣質量矩陣M是是對角矩陣對角矩陣，對角元對角元mii=mi，即第即第i個對角元素就是第個對角元素就是第i個個質量元件的質量。質量元件的質量。nimmmmM000000212.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方

13、法2 視察法視察法2022年3月17日振動力學22阻尼矩陣阻尼矩陣C是是對稱矩陣對稱矩陣非對角元非對角元cij = cji ，對角元對角元cii為所有與第為所有與第i個質個質量元件相連接的阻尼元件量元件相連接的阻尼元件阻尼系數(shù)之和，阻尼系數(shù)之和，cij是連接第是連接第i個質量元件和個質量元件和第第j個質量元件的阻尼元件個質量元件的阻尼元件阻尼系數(shù)之和。阻尼系數(shù)之和。 111113322221000000nnnnnnniiiiccccccccccccccccccC2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2 視察法視察法2022年3月17日振動力學23剛度矩陣剛度矩陣K 是是對稱矩陣對

14、稱矩陣非對角元非對角元kij = kji ，對角元對角元kii為所有與第為所有與第i個質個質量元件相連接的彈性元件剛量元件相連接的彈性元件剛度之和，度之和，連接第連接第i個質量元件和第個質量元件和第j個個質量元件的彈性元件剛度之質量元件的彈性元件剛度之和是和是kij 。 111113322221000000nnnnnnniiiikkkkkkkkkkkkkkkkkkK2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2 視察法視察法2022年3月17日振動力學24建立廣義坐標如圖所示，建立廣義坐標如圖所示，坐標原點在系統(tǒng)靜平衡坐標原點在系統(tǒng)靜平衡時各質量的位置。時各質量的位置。振動微分方程振動

15、微分方程 : 0 xKxCxM T4321,xxxxx T4321,xxxxx T4321,xxxxx4321000000000000mmmmM2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2 視察法視察法2022年3月17日振動力學25 0 xKxCxM T4321,xxxxx T4321,xxxxx T4321,xxxxx 000000000646226262cccccccccC振動微分方程振動微分方程 :2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2 視察法視察法2022年3月17日振動力學26鏈式系統(tǒng)鏈式系統(tǒng) 0 xKxCxM T4321,xxxxx T4321,xxxx

16、x T4321,xxxxx 5556543363322626210000kkkkkkkkkkkkkkkkkkK振動微分方程振動微分方程 :Example 2-19 2 視察法視察法2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學27The kij represents what force is needed at the location i to obtain a unit displacement at location j.3 剛度法和柔度法剛度法和柔度法2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學28例：寫出例：寫出

17、 M 、 K 及及運動微分方程運動微分方程 m1m2k3k1k2f1(t)f2(t)m3k4k5k6f3(t)解：解：先只考慮靜態(tài)先只考慮靜態(tài) 令令100TU 2111kkk221kk 031k 令令T010U212kk653222kkkkk332kk令令T100U013k323kk4333kkk剛度矩陣：剛度矩陣：43336532222100kkkkkkkkkkkkK剛度矩陣法剛度矩陣法2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學29只考慮動態(tài)只考慮動態(tài) 令令100TU111mm021m031m有：有：令令010TU012 m222mm 032 m有：有：

18、令令001TU013 m023 m333mm 有：有：m1m2k3k1k2f1(t)f2(t)m3k4k5k6f3(t)質量矩陣：質量矩陣：321000000mmmM2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學3043336532222100kkkkkkkkkkkkK321000000mmmM111221122223563223333433000( )00( )000( )mukkkuf tmukkkkkkuf tmukkkuf t運動微分方程：運動微分方程： m1m2k3k1k2f1(t)f2(t)m3k4k5k6f3(t)(tPKXXM 2.2 建立系統(tǒng)

19、微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學31柔度矩陣法柔度矩陣法對于靜定結構，有時通過對于靜定結構，有時通過柔度矩陣柔度矩陣建立建立位移方程位移方程比通過比通過剛度矩陣剛度矩陣建立建立作用力方程作用力方程來得更方便些。來得更方便些。 柔度柔度定義為彈性體在單位力作用下產生的變形定義為彈性體在單位力作用下產生的變形物理意義及量綱與剛度恰好相反物理意義及量綱與剛度恰好相反 以一個例子說明位移方程的建立以一個例子說明位移方程的建立 u1m1u2m2f1 f2無質量彈性梁，有若干集中質量無質量彈性梁，有若干集中質量（質量連續(xù)分布的彈性梁的簡化（質量連續(xù)分布的彈性梁的簡化 ）假設

20、假設12ff、是常力是常力 以準靜態(tài)方式作用在梁上以準靜態(tài)方式作用在梁上 梁只產生位移（即撓度），不產生加速度梁只產生位移（即撓度），不產生加速度 21mm、12uu、取質量取質量的靜平衡位置為坐標的靜平衡位置為坐標的原點的原點 2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學32111udm1 位移：位移：221udm2 位移：位移：1210ff、時時（1）1201ff、時時（2）112udm1 位移：位移：222udm2 位移：位移：12ff、 同時作用同時作用（3）111 1122ud fd fm1 位移：位移：221 1222ud fdfm2 位移：位移

21、：d11d21f1=1d12d22f2=1u1m1u2m2f1f22.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學3312ff、 同時作用時：同時作用時：111 1122ud fd f221 1222udfdf矩陣形式：矩陣形式：UDF12uuU11122122ddddD12ffF其中：其中：柔度矩陣柔度矩陣物理意義：物理意義：系統(tǒng)僅在第系統(tǒng)僅在第 j 個坐標受到個坐標受到單位力作用時相應于第單位力作用時相應于第 i 個坐標上產生的位移個坐標上產生的位移 ijd柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù) d11d21f1=1d12d22f2=1u1m1u2m2f1f22.2 建立

22、系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學34UDF12uuU11122122ddddD12ffF12ff、當當 是動載荷時是動載荷時集中質量上有慣性力存在集中質量上有慣性力存在 1111211 122122222( )( )uddf tmuuddf tm u1111211122122222( )0( )0uddf tmuuddf tmu ()UD FMU位移方程位移方程u1m1u2m2f1f21 1mu 22m u m1m2f1(t)f2(t)2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學35()UD FMU位移方程：位移方程：DM

23、UUDF又可：又可：作用力方程：作用力方程： MKUUFKUFMU1()UKFMU若若K非奇異非奇異柔度矩陣與剛度矩陣的關系：柔度矩陣與剛度矩陣的關系：1DKDKI或：或：2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學364 利用利用Lagrange方程建立振動微分方程方程建立振動微分方程 2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法只要寫出能量表達式即可得到系統(tǒng)的運動微只要寫出能量表達式即可得到系統(tǒng)的運動微分方程。分方程。(1)jjjjdTTVfjNdtqqqN 自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：jq：廣義坐標：廣義坐標if：對應于

24、有勢力以外的其它非有勢力的廣義力：對應于有勢力以外的其它非有勢力的廣義力對于定常約束系統(tǒng)：對于定常約束系統(tǒng)： 動能：動能：12T TU MU12V TU KU勢能：勢能：2022年3月17日振動力學37例：例：研究汽車上研究汽車上下振動和俯仰振動下振動和俯仰振動的力學模型的力學模型表示車體的剛性桿表示車體的剛性桿AB的質量為的質量為m，桿，桿繞質心繞質心C的轉動慣的轉動慣量為量為Ic懸掛彈簧和前后輪胎的彈性用剛度為懸掛彈簧和前后輪胎的彈性用剛度為 k1 和和 k2 的兩個彈簧來表示的兩個彈簧來表示寫出車體微振動的微分方程寫出車體微振動的微分方程選取選取D點的垂直位移點的垂直位移 和繞和繞D點的

25、角位移點的角位移 為坐標為坐標DDxABCDa1a2el1l2lk1k22.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學38ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2簡化形式簡化形式2.2 建立系統(tǒng)微分方程的方法建立系統(tǒng)微分方程的方法2022年3月17日振動力學39ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDDxCxD)(11DDaxk )(22DDaxk DPDM車體所受外力可以向車體所受外力可以向D點簡點簡化為合力化為合力 PD 和合力矩和合力矩 MD由于微振動，桿質心的垂直由于微振動，桿質心的垂直位移、桿繞質心的角位移：位移、桿繞質心的角位移：DDCexx DC 首先采用拉格朗日方程建首先采用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程立系統(tǒng)的運動微分方程系統(tǒng)的動能：系統(tǒng)的動能：222121