1、聯(lián)絡(luò)方式聯(lián)絡(luò)方式 Email: Tel: 86770204 辦公室：工北辦公室：工北413-2 82903705汕頭大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系汕頭大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 陳燕明陳燕明第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)函數(shù)一、基本概念1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的具有某種特定性質(zhì)的事物的總體總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集無限集無限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就說說則則必必若若BABxAx .BA 記記作作數(shù)集分類數(shù)集分類:N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q

2、-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN .,相相等等與與就就稱稱集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 則則不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集.)(記作記作例如例如,01,2 xRxx規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.2.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,baRba 且且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間,),(ba記記作作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記作記作oxa

3、boxabbxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義區(qū)間長(zhǎng)度的定義: :兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.3.3.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).,( aU記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . ),( axaxaUxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點(diǎn)點(diǎn) a. 0),( axxaU,鄰鄰域域的的稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)集集

4、aaxx 二、函數(shù)概念因變量因變量自變量自變量.)(,000處處的的函函數(shù)數(shù)值值為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxfDx .),(稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的值值域域函函數(shù)數(shù)值值全全體體組組成成的的數(shù)數(shù)集集DxxfyyW 數(shù)集數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的叫做這個(gè)函數(shù)的定義域定義域)(xfy 如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)Dx ,()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域定義域與與對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則.xyDW約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的一切實(shí)數(shù)值.21xy 例例如如， 1 , 1 : D2

5、11xy 例例如如，)1 , 1(: D定義定義: :.)(),(),(的圖形的圖形函數(shù)函數(shù)稱為稱為點(diǎn)集點(diǎn)集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自變量在定如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)則叫與多值函數(shù)例例如如，222ayx (1) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3

6、4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).例例2 2.)3(,212101)(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界M-MyxoX0 x,)(, 0,成成立立有有若若MxfXx

7、MDX 1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:.)(否則稱無界否則稱無界上有界上有界在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)Xxf2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ;)(上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf),()()1(21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI,)(DIDxf區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上上是是單單調(diào)調(diào)減減少少的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf,)(DIDxf區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任

8、任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對(duì)對(duì)于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf有有對(duì)對(duì)于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的的定定義義域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)

9、如如果果存存在在一一個(gè)個(gè)不不為為零零的的)()(xflxf 且為為周周則則稱稱)(xf.)( ,DlxDxl 使使得得對(duì)對(duì)于于任任一一數(shù)數(shù).)(,的的周周期期稱稱為為期期函函數(shù)數(shù)xfl.恒恒成成立立四、反函數(shù)0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函函數(shù)數(shù)oxyDW)(yx 反反函函數(shù)數(shù)o)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數(shù)數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱.xy 五、基本初等函數(shù)1、冪函數(shù)冪函數(shù))( 是是常常數(shù)數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù))1, 0( aaa

10、yxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 3、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4、三角函數(shù)、三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xxycos1sec xysec xxysin1csc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 5、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarccos 反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)x

11、yarctan xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).xycot 反反余余切切函函數(shù)數(shù)arcxycot arc六、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)1、復(fù)合函數(shù)、復(fù)合函數(shù),uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy 定義定義:,自變量自變量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或

12、, 11)(2 xx; 1 x,1)(20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 注意注意: :1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy 例例如如;22xu )2arcsin(2xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成合構(gòu)成.,2cotxy 例例如如,uy ,cotvu .2xv 2、初等函數(shù)、初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次由常數(shù)和基

13、本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示一個(gè)式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù).七、小結(jié)基本概念基本概念集合集合, 區(qū)間區(qū)間, 鄰域鄰域, 常量與變量常量與變量.函數(shù)的概念函數(shù)的概念函數(shù)的特性函數(shù)的特性有界性有界性, ,單調(diào)性單調(diào)性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函數(shù)反函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù)思考題思考題設(shè)設(shè)0 x，函函數(shù)數(shù)值值21)1(xxxf ，求求函函數(shù)數(shù))0()( xxfy的的解解析析表表達(dá)達(dá)式式.思考題解答思考題解答設(shè)設(shè)ux 1則則 2111uuuf ,112uu 故故)

14、0(.11)(2 xxxxf思考題思考題下下列列函函數(shù)數(shù)能能否否復(fù)復(fù)合合為為函函數(shù)數(shù))(xgfy ，若若能能，寫寫出出其其解解析析式式、定定義義域域、值值域域,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)( xxgu思考題解答思考題解答2)()1(xxxgfy ,10| xxDx21, 0)( Df)2(不能不能01sin)( xxg)(xg的的值值域域與與)(uf的的定定義義域域之之交交集集是是空空集集.練練 習(xí)習(xí) 題題225tt 222)1(2)1(5 tt11練練 習(xí)習(xí) 題題(4,6)2, 0( ._1反反三三角角函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，三三角角函函數(shù)數(shù)和和、冪冪函函數(shù)數(shù)，指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，._)(ln31)(2的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)，的定義域?yàn)?、函?shù)xfxf一、填空題一、填空題:._32復(fù)合而成的函數(shù)為復(fù)合而成的函數(shù)為，、由函數(shù)、由函數(shù)xueyu .復(fù)合而成由、函數(shù)_2lnsin4xy 練練 習(xí)習(xí) 題題基本初等函數(shù)基本初等函數(shù),3