1、新人教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)相似全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理(提高)-新人教版九年級(jí)下冊(cè)初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)相似全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識(shí)講解（提高） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；2、通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等、 對(duì) 應(yīng)邊成比例、周長(zhǎng)的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題；3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小，在同一直角坐標(biāo)系中，感受位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化；4、結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探

2、索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力，以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似圖形及比例線段1相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).要點(diǎn)詮釋： (1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形； (2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩 個(gè)圖形全等；2.相似多邊形如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說(shuō)它們是相似多邊形要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比

3、.3. 比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段要點(diǎn)詮釋：（1）若a:b=c:d ，則ad=bc；（d也叫第四比例項(xiàng)）（2）若a:b=b:c ，則 =ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）要點(diǎn)二、相似三角形1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.判定方法（三）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：此方法要求用三

4、角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法（四）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.2. 相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比； 相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.(3) 相似三角形

5、周長(zhǎng)的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質(zhì)： （1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等（2）相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方要點(diǎn)三、位似1.位似圖形定義: 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；（2) 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比； （3）位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.要點(diǎn)詮釋：(1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相

6、似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.（2）位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.要點(diǎn)四、黃金分割1.定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段與大段的長(zhǎng)度之比等于大段的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)之比，即（此時(shí)線段AP叫作線段PB、AB的比例中項(xiàng)），則P點(diǎn)就是線段AB的黃金分割點(diǎn)（黃金點(diǎn)），這種分割就叫黃金分割2.黃金三角形：頂角為36°的等腰三角形，它的底角為72°，恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形黃金三角形性質(zhì)：底角平分線將其腰黃金分割要點(diǎn)五、射影定理在RtABC中

7、，ACB=90°，CDAB于D，ABCACDCBD（“角角”）； ； （射影定理）； （等積）【典型例題】類型一、相似三角形【:相似專題復(fù)習(xí) 394502：例1-2】1. 已知：如圖，ABC=CDB=90°，AC=a，BC=b，當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)三角形相似？【答案與解析】AC=a，BC=b， AB=，當(dāng)ABCBDC時(shí)， ,即.當(dāng)ABCCDB時(shí)， ，即.【總結(jié)升華】相似三角形中未明確對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)邊時(shí)，要注意分類討論.舉一反三【變式】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直線MN對(duì)折，使A、C重合，直線MN交AC于O.（1）求證：COMCBA；

8、（2）求線段OM的長(zhǎng)度.【答案】（1）證明： A與C關(guān)于直線MN對(duì)稱，ACMN，COM=90°，在矩形ABCD中，B=90°，COM=B ，又ACB=ACB，COMCBA ，（2）在RtCBA中，AB=6，BC=8，AC=10 ，OC=5，COMCBA， ，OM=. 2. 如圖，在ABC中，C90°，將ABC沿直線MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處，已知MNAB，MC6，NC，則四邊形MABN的面積是（ ）A B C D【答案】C；【解析】由MC6，NC，C90°得SCMN=，再由翻折前后CMNDMN得對(duì)應(yīng)高相等；由MNAB得CMNCAB且相似比

9、為1:2，故兩者的面積比為1:4，從而得SCMN：S四邊形MABN=1:3，故選C.【總結(jié)升華】本題綜合考查了直角三角形的面積算法、翻折的性質(zhì)、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似圖形的面積比等于相似比的平方等一些類知識(shí)點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)豐富；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的能力.難度較大.類型二、相似三角形的綜合應(yīng)用3.（2015上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，且OE=OB，連接DE（1）求證：DEBE；（2）如果OECD，求證：BDCE=CDDE【答案與解析】證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，BO=BD，OE=OB，OE=BD，BED=9

10、0°，DEBE；（2）OECDCEO+DCE=CDE+DCE=90°，CEO=CDE，OB=OE，DBE=CDE，BED=BED，BDEDCE，BDCE=CDDE【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵4. （2016杭州）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AED=B，射線AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且（1）求證：ADFACG；（2）若，求的值【思路點(diǎn)撥】（1）欲證明ADFACG，由可知，只要證明ADF=C即可（2）利用相似三角形的性質(zhì)得到=，由此即可證明【答案與解析】（1）證明：AE

11、D=B，DAE=DAE，ADF=C，=，ADFACG（2）解：ADFACG，=，又=，=，=1【總結(jié)升華】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，記住相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題中考?？碱}型舉一反三：【變式】（2015湘潭）如圖，在RtABC中，C=90°，ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處（1）求證：BDEBAC；（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長(zhǎng)度【答案與解析】證明：（1）C=90°，ACD沿AD折疊，C=AED=90°，DEB=C=90°，B=B，BDEBAC；（2）由勾股定理得，AB=1

12、0由折疊的性質(zhì)知，AE=AC=6，DE=CD，AED=C=90°BE=ABAE=106=4，在RtBDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8CD）2，解得：CD=3，在RtACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=【: 相似專題復(fù)習(xí) 394502：例7】5. 如圖，已知在梯形ABCD中，AD【總結(jié)升華】利用相似三角形得到的比例式，構(gòu)建線段關(guān)系求得函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解題.舉一反三【變式】如圖所示，在RtABC中，A=90°，AB=8，AC=6若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止，運(yùn)動(dòng)速

13、度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度過(guò)點(diǎn)D作DEBC交AC于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，AE的長(zhǎng)為y(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，BDE的面積S有最大值，最大值為多少?【答案】(1)因?yàn)镈EBC，所以ADEABC，所以. 又因?yàn)锳B=8，AC=6， 所以，即， 自變量x的取值范圍為.(2). 所以當(dāng)時(shí)，S有最大值，且最大值為6.類型三、黃金分割6.如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線段AE，然后通過(guò)折疊使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置B，因而EB=EB類似地，在AB上折出點(diǎn)B使AB=AB這是B就是AB的黃金分割點(diǎn)請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論【答案與解析】設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2， E為BC的中點(diǎn)，BE=1AE=，又BE=BE=1，AB=AE-BE=-1，AB=AB=-1AB：AB=(-1):2點(diǎn)B是線段AB的黃金分割點(diǎn)【總結(jié)升華】本題考查了黃金分割的應(yīng)用，知道黃金比并能求出黃金比是解題的關(guān)鍵舉一反三【變式】如圖，已知ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，A=36°，C=72°，ADB=108°求證：