1、o章末歸納總結(jié)章末歸納總結(jié)o 一、集合的概念與表示，集合間的關(guān)系與運(yùn)算o 1理解用描述法表示的集合中元素的屬性是解決集合問題的重要基本功o 例1(1)集合Ay|yx，By|yx2，則AB_.o (2)集合A(x，y)|yx，B(x，y)|yx2，則AB_.o 解析(1)集合A是函數(shù)yx的值域，AR，集合B是函數(shù)yx2的值域，By|y0，ABy|y0故填y|y0o 2熟練地用數(shù)軸與Venn圖來表達(dá)集合之間的關(guān)系與運(yùn)算能起到事半功倍的效果o 例2集合Ax|x2，Bx|4xp0，若BA，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_o 例3設(shè)全集Ua，b，c，d，e，若ABb，(UA)Bd，(UA)(UB)a，e，則下列結(jié)

2、論中正確的為()o AcA且cBBcA且c Bo Cc A且cB Dc A且c Bo 答案Bo 解析畫出Venn圖如圖，依次據(jù)條件將元素填入，ABb，故b填在A與B公共部分，(UA)Bd，故d填在A圈外，B圈內(nèi)，又(UA)(UB)a，e，a，e填在A、B兩圈外，只剩下一元素c不能填在上述三個(gè)位置，故應(yīng)填在A內(nèi)B外，cA且c B，選B.o 3含字母的集合的相等、包含、運(yùn)算關(guān)系問題常常要進(jìn)行分類討論討論時(shí)要特別注意集合元素的互異性o 4空集是任何集合的子集，解題時(shí)要特別注意o 例5集合Ax|x2xa0，B2,1，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_o 5新定義集合，關(guān)鍵是理解“定義”的含義，弄清集合中的

3、元素是什么o 例6A、B都是非空集合，定義A*Bx|xabab，aA，bB且b AB，若A1,2，B0,2,3，則A*B中元素的和為_o 解析由A*B的定義知，a可取1,2，b可取0,3，A*B中的元素xabab，o A*B1,7,2,11，其元素之和為21.o 6熟練掌握ABABAABB及集合的運(yùn)算是解決一些集合問題的基礎(chǔ)o 例7(1)如果全集Ux|x25x60，xN，A2,3，B1,3,5，則U(AB)_，AUB_.o (2)設(shè)Ax|xa0，Bx|ax10，且ABB，則實(shí)數(shù)a的值為()o A1 B1o C1或1 D1，1或0o 解析(1)Ux|(xb)(x1)0，xNx|1x0)個(gè)單位，可

4、以得到函數(shù)yf(xa)(yf(xa)的圖象o 將yf(x)的圖象上各點(diǎn)向上(下)平移a(a0)個(gè)單位，可以得到y(tǒng)f(x)a(或yf(x)a)的圖象o (7)y|f(x)|的圖象可由yf(x)的圖象位于x軸及上方的部分不變，下方圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱翻折而得到o yf(|x|)的圖象在y軸及其右側(cè)部分與yf(x)圖象相同，而yf(|x|)是偶函數(shù)，再在y軸左側(cè)作右側(cè)部分的對(duì)稱圖形即可o 例3已知函數(shù)f(x)x22ax2，x5,5o (1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；o (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)o 分析第(1)問，將a1代入，根據(jù)二次函數(shù)的圖象得出

5、結(jié)論；第(2)問，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸的位置確定單調(diào)性o 解析(1)當(dāng)a1時(shí)，o f(x)x22x2(x1)21，x5,5，o f(x)的對(duì)稱軸為x1.o x1時(shí)，f(x)取最小值1；o x5時(shí)，f(x)取最大值37.o (2)f(x)x22ax2(xa)22a2的對(duì)稱軸為xa，f(x)在5,5上是單調(diào)函數(shù)o a5，或a5，即a5，或a5.o 三、注重?cái)?shù)學(xué)思想與方法的提煉與掌握，養(yǎng)成自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法分析解決數(shù)學(xué)問題的思維習(xí)慣o 1數(shù)形結(jié)合的思想o 例1設(shè)函數(shù)f(x)x22|x|1(3x3)o (1)證明f(x)是偶函數(shù)；o (2)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個(gè)單調(diào)區(qū)間上f(x)

6、是增函數(shù)還是減函數(shù)；o (3)求函數(shù)的值域o 解析(1)f(x)(x)22|x|1o x22|x|1f(x)，f(x)是偶函數(shù)o (2)當(dāng)x0，時(shí)，f(x)x22x1(x1)22，o 當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x1(x1)22，o 根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象，如下圖所示o 函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為3，1)，1,0)，0,1)，1,3o f(x)在區(qū)間3，1，0,1上為減函數(shù)，在1，0)，1,3上為增函數(shù)o (3)當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)(x1)22的最小值為2，最大值為f(3)2.o 當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)(x1)22的最小值為2，最大值為f(3)2；o 故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2o

7、例2已知關(guān)于x的方程x24|x|5m有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_o 解析設(shè)y1x24|x|5，y2m，由于y1x24|x|5為偶函數(shù)，畫出x0的圖象，再由對(duì)稱性可畫出x0時(shí)的圖象，由圖可見1m5時(shí)方程有4個(gè)根1m0的解集為()o A(，4)(4，)o B(4,0)(0,4)o C(，4)(0,4)o D(4,0)(4，)o 例4函數(shù)ya|x|與yxa的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()o A(1，)o B(1,1)o C(，11，)o D(，1)(1，)o 解析畫出ya|x|與yxa的圖象o 2函數(shù)與方程的思想o 函數(shù)與方程可以相互轉(zhuǎn)化，注意運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決問

8、題o 要特別注意掌握一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的分布o(jì) 方程()有兩不等實(shí)根0，方程()有兩相等實(shí)根0，方程()無實(shí)根0 Bk4o C4k0 Dk0o 解析設(shè)f(x)2kx22x3k2，o 由題意知kf(1)0，o k0或k4，故選D.o 3分類討論的思想o 在求解數(shù)學(xué)問題中，遇到下列情形常常要進(jìn)行分類討論o 涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；o 運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；o 求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性；o 由運(yùn)算的限制條件引起的分類o 由實(shí)際問題的實(shí)際意義引起的分類o 數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果o 較復(fù)雜的或非常規(guī)

9、的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的o 由圖形的不確定性引起分類o 例8若f(x)(m1)x2(m1)x3(m1)0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍是()o A(1，)o B(，1)o 解析當(dāng)m10時(shí)，顯然成立o 當(dāng)m10時(shí)，2，b2，比較ab與ab的大小o 解析令a2x，b2y，則x0，y0，o ab(ab)(2x)(2y)(4xy)xyxy0，abab.o 點(diǎn)評(píng)將a2，b2的條件量化，化不等關(guān)系為相等關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)的正負(fù)判斷，促成了問題的解決o 例12定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在0，)上的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)ab0，給出下列不等式，其中成立的是(

10、)o f(b)f(a)g(a)g(b)；o f(b)f(a)g(b)g(a)；o f(a)f(b)0時(shí)，0f(x)1.o (1)證明：f(0)1且x1；o (2)證明：f(x)在R上單調(diào)遞減o 分析解決這類問題應(yīng)去掉抽象函數(shù)符號(hào)，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，化為普通函數(shù)o 解析(1)在f(mn)f(m)f(n)中，o 取m0，n0，有f(m)f(m)f(0)o x0時(shí)，0f(x)1，f(m)0，f(0)1.o 又設(shè)mx0，則0f(x)1，o f(mn)f(0)f(x)f(x)，o (2)設(shè)x10.o 0f(x2x1)0.o yf(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)o f(x2x1)f(x1)f

11、(x1)o f(x1)f(x2x1)10且a1)的性質(zhì)，可類比指數(shù)函數(shù)f(x)ax，結(jié)合已知條件進(jìn)行討論o 5換元法o 總結(jié)評(píng)述：此題解法稱為“換元法”，通過換元法把函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)，然后求出二次函數(shù)在t0時(shí)的值域即得原函數(shù)的值域，用換元法解題，換元后一定要先確定新元的取值范圍o 此題也可利用函數(shù)的單調(diào)性來解o 例16已知f(x1)x22x，求f(x)o 解析令tx1，則xt1，o f(t)(t1)22(t1)t24t3，o f(x)x24x3.o 6配湊法o 例18求f(x)2x24x1(1x1)的值域o 解析f(x)2(x1)21，此函數(shù)在1,1上單減，最大值f(1)7，最小值f(

12、1)1，o 值域?yàn)?,7o 7待定系數(shù)法o 例19一次函數(shù)yf(x)滿足：當(dāng)x1時(shí)，y2，當(dāng)x2時(shí)，y4，則f(5)_.o 解析設(shè)一次函數(shù)解析式為ykxb(k0)，o 例20設(shè)二次函數(shù)f(x)二次項(xiàng)系數(shù)為1，滿足f(1)f(2)0，則f(1)_.o 解析設(shè)f(x)x2pxq，o f(1)f(2)0，o 8關(guān)于對(duì)稱與平移o 例21已知f(x)是偶函數(shù)，且其圖象與x軸有n(nN)個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)0的所有實(shí)根之和為()o A4B2o C1D0o 解析由f(x)是偶函數(shù)可知，f(x)與x軸的n個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即f(x)0的n個(gè)根x1，x2，x3xn中，若有一根在x軸右側(cè)，則必有關(guān)于y軸對(duì)稱的另一

13、根在左側(cè)，x1x2xn0.選D.o 例22設(shè)函數(shù)yf(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)yf(x1)與yf(1x)的圖象關(guān)于()o A直線y0對(duì)稱 B直線x0對(duì)稱o C直線y1對(duì)稱 D直線x1對(duì)稱o 解析應(yīng)用復(fù)合函數(shù)知識(shí)，令x1u，則yf(x1)f(u)，yf(1x)f(u)o 顯然f(u)與f(u)關(guān)于直線u0對(duì)稱，即關(guān)于x10對(duì)稱所以yf(x1)與yf(1x)關(guān)于直線x1對(duì)稱選D.o 四、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用o 例1某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購(gòu)，決定當(dāng)一次訂購(gòu)量超過100個(gè)時(shí)，每多訂購(gòu)一個(gè)多訂購(gòu)的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元o (1)當(dāng)一次訂購(gòu)量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？o (2)設(shè)一次訂購(gòu)量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫出函數(shù)Pf(x)的表達(dá)式；o (3)當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是多少元？如果訂購(gòu)1000個(gè)，利潤(rùn)