1、1231 概述概述 32 傳動(dòng)軸的外力偶矩傳動(dòng)軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖33 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)34 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 強(qiáng)度分析強(qiáng)度分析35 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 剛度條件剛度條件36 等直圓桿的扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題等直圓桿的扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 331 概概 述述 軸：軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOMeMeOBA扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角（）：）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移

2、4工工 程程 實(shí)實(shí) 例例另見課本圖3.1、圖3.2532 傳動(dòng)軸的外力偶矩傳動(dòng)軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 一、傳動(dòng)軸的外力偶矩一、傳動(dòng)軸的外力偶矩 傳動(dòng)軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系： 已知某傳動(dòng)軸的傳遞功率為(kW），轉(zhuǎn)速為（rpm),求該軸上作用的外力偶矩Me。作用在軸上的外力偶矩Me在每秒鐘內(nèi)完成的功應(yīng)等于給軸輸入的功：m)(kN55. 9MenP其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）s /mkN1kW1m/s)P(kNn)/602(Me63 扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定： “T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿

3、足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負(fù)。反之為負(fù)。二、扭矩及扭矩圖二、扭矩及扭矩圖 1 扭矩：扭矩：構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩MeMeMeTeexMTMTM00 x74 扭矩扭矩圖圖：表示各橫截面上扭矩沿桿件軸線變化的圖線。：表示各橫截面上扭矩沿桿件軸線變化的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。例前軸的扭矩圖如下：xT8例例1已知：一傳動(dòng)軸， n =300r/min，主動(dòng)輪輸入 P1=500kW，從動(dòng)輪輸出 P2=P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nA B C DMe2 Me3 Me1 Me4解

4、：解：計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555. 9M11enPm)(kN 78. 43001509.5555. 9MM23e2enPm)(kN 37. 63002009.5555. 9M44enP9nA B C DMe2 Me3 Me1 Me4112233求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）mkN78. 4M 0M , 0M2e12e1xTTmkN56. 9)78. 478. 4(MM , 0MM 3e2e23e2e2TTmkN37. 6M , 0M 4e334eTT10繪制扭矩圖繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險(xiǎn)截面。段為危險(xiǎn)截面。x

5、T(kN.m)nA B C DMe2 Me3 Me1 Me44.789.566.371133 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）一、實(shí)驗(yàn)：一、實(shí)驗(yàn)：加載前：加載前：繪縱向線，圓周線。繪縱向線，圓周線。施加一對(duì)外力偶施加一對(duì)外力偶 Me。12施加一對(duì)外力偶施加一對(duì)外力偶 Me后：后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線?？v向線變成斜直線。（小變形）（小變形）3.結(jié)論：結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。 各縱向線均傾斜了同一微小

6、角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。13 acddxbdy 無(wú)正應(yīng)力 橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4. 與與 的關(guān)系：的關(guān)系：LRRL 微小矩形單元體如圖所示：微小矩形單元體如圖所示：)tan(14二、薄壁圓筒切應(yīng)力二、薄壁圓筒切應(yīng)力 大?。捍笮。?tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：平均半徑所作圓的面積。15三、切應(yīng)力互等定理：三、切應(yīng)力互等定理： )()(0故dydxtdxdytmz上式稱為切應(yīng)力

7、互等定理為切應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb dy tz16四、剪切胡克定律：四、剪切胡克定律： 單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力作用，這種情況稱為種情況稱為純剪切。純剪切。17 T=Me)( ) 2( 0RLtAT 剪切胡克定律：剪切胡克定律：當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極

8、限時(shí)（時(shí)（ p)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。 18G 式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無(wú)量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）： 可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來(lái)。)1 ( 2EG1934 等直圓軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件等直圓軸橫截面應(yīng)力等直圓軸橫截面應(yīng)力變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系靜力關(guān)系 1. 橫截

9、面變形后仍為平面；橫截面變形后仍為平面； 2. 軸向無(wú)伸縮；軸向無(wú)伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行?？v向線變形后仍為平行。一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：20二、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：二、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：xxGGdddtan1xdd距圓心為距圓心為 任一點(diǎn)處的切應(yīng)變?nèi)我稽c(diǎn)處的切應(yīng)變 與該點(diǎn)到圓心的與該點(diǎn)到圓心的距離距離 成正比。成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角 沿軸線的變化率。212. 物理關(guān)系：物理關(guān)系：虎克定律：代入上式得： GxGGddxGdd223. 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系： OdAAxGAxGATAAAddd ddd

10、 d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關(guān)系式 得：xGdd pIT 稱為橫截面對(duì)圓心的極慣性矩。 pI23pIT橫截面上距圓心為橫截面上距圓心為 處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等截面僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等截面 圓軸。圓軸。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過(guò)外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過(guò)外力偶矩求得。 該點(diǎn)到圓心的距離。該點(diǎn)到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。24單位：?jiǎn)挝唬洪L(zhǎng)度長(zhǎng)度4AIA

11、pd2 盡管由等直實(shí)心圓軸推出，但同樣適用于等直空心圓軸，盡管由等直實(shí)心圓軸推出，但同樣適用于等直空心圓軸，也近似適用于截面沿軸線變化緩慢的小錐度圓軸。也近似適用于截面沿軸線變化緩慢的小錐度圓軸。 32 d2 d42022DAIDAp對(duì)于實(shí)心圓截面：DdO25對(duì)于空心圓截面：)1 (32 )(32 d2 d44442222DdDAIDdAp)(DddDOd26 應(yīng)力分布應(yīng)力分布（實(shí)心圓截面）（空心圓截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。27 確定最大剪應(yīng)力：確定最大剪應(yīng)力：pIT由知：當(dāng)max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTpt

12、tpp令tWTmaxWt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：長(zhǎng)度3。對(duì)于實(shí)心圓截面：163DRIWpt對(duì)于空心圓截面：16)1 (43DRIWpt28三、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象三、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋面斷開。29四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面圓軸：對(duì)于等截面圓軸：對(duì)變截面圓軸對(duì)變截面圓軸:maxmaxmaxtWT 稱為許用切應(yīng)力。強(qiáng)度計(jì)算三方面：強(qiáng)度計(jì)算三方面： 校核強(qiáng)度： 設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實(shí)：433116 16 DDWt

13、maxmaxtWT 30 例例2 2 功率為150kW，轉(zhuǎn)速為924轉(zhuǎn)/分的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖， 許用切應(yīng)力 =30M Pa, 試校核其強(qiáng)度。nPmTBC55. 9m)(kN55. 1m)(kN92415055. 9解：計(jì)算扭矩計(jì)算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度此軸滿足強(qiáng)度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmMPa231607. 01055. 133maxtWT3135 等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 剛度條件剛度條件一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由公式pGITx dd 知：長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 為值不變）若 dT,( GIT dGIT dP

14、0plxll32二、單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)二、單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn) 角：角：(rad/m) GIT dd px /m)( 180GIT dd px 或三、剛度條件三、剛度條件 (rad/m) GIT pmaxmax /m)( 180GIT pmaxmax 或GIp反映了桿件抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為桿件的抗扭剛度桿件的抗扭剛度。 稱為許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。33剛度計(jì)算的三方面：剛度計(jì)算的三方面： 校核剛度： 設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷： max GTI max p IGT pmax 34 例例33長(zhǎng)為 L=2m 的空心圓軸受均布力偶 m=20N.m/m 的作用，如圖，若軸的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa

15、 ，許用切應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計(jì)軸的外徑；并求右端面轉(zhuǎn)角。解：設(shè)計(jì)軸的外徑maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD35314max 116）（TD40NmxT代入數(shù)值得：D 0.0226m，取D=23mm。()36右端面轉(zhuǎn)角為：弧度）( 033. 0 )4(102040)(202200 xxGIdxGIxdxGIxTPPLP37 例例44 某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率P1 = 368 kW， 輸出功率分別 P2 = 148kW及 P3 = 220kW，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1

16、和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？解： 扭矩如圖，由強(qiáng)度條件得： 500400P1P3P2ACBTx 7.03 4.2(kN.m)m)(kN55. 9MenP ()()3816 3TdWt mm4 .67107014.3420016163632Td 32 4 GTdIp mm80107014. 3703016163631Td由剛度條件得： AB段:BC段:39 mm4 .741108014. 3180420032 3249242 GTdmm841108014. 3180703032 3249241 GTdmm75 ,mm8421 dd綜上：全

17、軸選同一直徑時(shí) mm841 ddBC段:AB段:40 軸上的絕對(duì)值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng) 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時(shí),軸的最大直徑才 為 75mm。Tx 4.2(kNm)2.8()()4136 等直圓軸的扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題等直圓軸的扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題解決扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題的方法步驟：解決扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題的方法步驟：平衡方程；平衡方程；幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；變形協(xié)調(diào)方程；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。42 例例55長(zhǎng)為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑 D=22.6mm ，G