1、第一章第一章 第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)函數(shù)關(guān)于函數(shù)矩陣與矩陣微分方程 (2)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁，共45頁稱為函數(shù)矩陣，其中所有的元素稱為函數(shù)矩陣，其中所有的元素都是定義在閉區(qū)間都是定義在閉區(qū)間 上的實(shí)函數(shù)。上的實(shí)函數(shù)。函數(shù)矩陣與數(shù)字矩陣一樣也有加法，數(shù)乘，函數(shù)矩陣與數(shù)字矩陣一樣也有加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等幾種運(yùn)算，并且運(yùn)算法則完全乘法，轉(zhuǎn)置等幾種運(yùn)算，并且運(yùn)算法則完全相同。相同。例：例：已知已知( ),1,2,;1,2,ijaxim jn , a b現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁，共45頁1sin1cos,11xxxxxxABexex計(jì)算計(jì)算定義：定義：設(shè)設(shè) 為一個(gè)為一個(gè) 階函數(shù)矩陣，如果存階函數(shù)矩陣，如果存在

2、在 階函數(shù)矩陣階函數(shù)矩陣 使得對(duì)于任何使得對(duì)于任何 都有都有那么我們稱那么我們稱 在區(qū)間在區(qū)間 是是可逆的可逆的。,2 ()TxAB AB AABn( )B x , xa bn( ) ( )( ) ( )A x B xB x A xI( )A x , a b( )A x現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁，共45頁稱稱 是是 的逆矩陣，一般記為的逆矩陣，一般記為例例 ：已知已知那么那么 在區(qū)間在區(qū)間 上是可逆的，其上是可逆的，其逆為逆為( )B x( )A x1( )Ax11( )0 xxA xe ( )A x1( )10 xxxxeAxe3,5現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁，共45頁函數(shù)矩陣可逆的充分必要條件函數(shù)矩陣可逆

3、的充分必要條件定理定理 : 階矩陣階矩陣 在區(qū)間在區(qū)間 上可逆的上可逆的充分必要條件是充分必要條件是 在在 上處處不為零上處處不為零，并且，并且其中其中 為矩陣為矩陣 的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。定義：定義：區(qū)間區(qū)間 上的上的 型矩陣函數(shù)不恒型矩陣函數(shù)不恒等于零的子式的最高階數(shù)稱為等于零的子式的最高階數(shù)稱為 的的秩秩。mn( )A x , a b( )A x , a b1*1( )( )( )AxA xA x*( )A x( )A x , a b( )A x現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁，共45頁特別地，設(shè)特別地，設(shè) 為區(qū)間為區(qū)間 上的上的 階矩陣階矩陣函數(shù)，如果函數(shù)，如果 的秩為的秩為 ，則稱，則稱 一個(gè)一

4、個(gè)滿秩矩陣滿秩矩陣。注意：對(duì)于階矩陣函數(shù)而言，滿秩與可逆不是注意：對(duì)于階矩陣函數(shù)而言，滿秩與可逆不是等價(jià)的。即：可逆的一定是滿秩的，但是滿秩等價(jià)的。即：可逆的一定是滿秩的，但是滿秩的卻不一定是可逆的。的卻不一定是可逆的。例例 ：已知已知( )A x , a bn( )A xn( )A x201( )A xxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁，共45頁那么那么 。于是。于是 在任何區(qū)間在任何區(qū)間 上的秩都是上的秩都是2。即。即 是滿秩的。但是是滿秩的。但是 在在 上是否可逆，完全依賴于上是否可逆，完全依賴于 的取值。當(dāng)區(qū)間的取值。當(dāng)區(qū)間 包含有原點(diǎn)時(shí)，包含有原點(diǎn)時(shí)， 在在 上有零點(diǎn)，從而上有零點(diǎn)，從而 是不可

5、逆的是不可逆的 。 定義：定義：如果如果 的所有各元的所有各元素素 在在 處有極限，即處有極限，即 ( )A xx( )A x , a b( )A x( )A x , a b, a b , a b( )A x , a b( )A x( )( )ijm nA xax( )ijax0 xx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁，共45頁0lim( )(1,;1, )ijijxxaxaim jn其中其中 為固定常數(shù)。則稱為固定常數(shù)。則稱 在在 處有處有極極限限，且記為，且記為其中其中ija0 xx0lim( )xxA xA111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa( )A x現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁，共45頁如

6、果如果 的各元素的各元素 在在 處連續(xù)，處連續(xù)，即即則稱則稱 在在 處處連續(xù)連續(xù)，且記為，且記為其中其中( )A x( )ijax0 xx00lim( )()(1,;1, )ijijxxaxaxim jn( )A x0 xx00lim( )()xxA xA x現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁，共45頁1101201021022020010200()()()()()()()()()()nnmmmnaxaxaxaxaxaxA xaxaxax容易驗(yàn)證下面的等式是成立的：容易驗(yàn)證下面的等式是成立的：設(shè)設(shè)則則00lim( ),lim( )xxxxA xAB xB0(1)lim( ( )( )xxA xB xAB現(xiàn)在學(xué)

7、習(xí)的是第十頁，共45頁00(2)lim( )(3)lim( ( ) ( )xxxxkA xkAA x B xAB定義定義：如果如果 的所有各元素的所有各元素 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處(或在區(qū)間或在區(qū)間 上上)可導(dǎo)，便稱此函數(shù)矩陣可導(dǎo)，便稱此函數(shù)矩陣 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處(或在區(qū)間或在區(qū)間 上上)可導(dǎo)可導(dǎo)，并且記為，并且記為( )( )ijm nA xax( )(1,;1, )ijax im jn0 xx , a b( )A x0 xx , a b現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁，共45頁00000110120102102202010200d ( )()()()limd()()()()()()()()()xx xnnmmm

8、nA xA xxA xA xxxaxaxaxaxaxaxaxaxax 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁，共45頁函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算有下列性質(zhì)：函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算有下列性質(zhì)： 是常數(shù)矩陣的充分必要條件是是常數(shù)矩陣的充分必要條件是 設(shè)設(shè)均可導(dǎo)，則均可導(dǎo)，則 ( )A xd ( )0dA xx( )( ), ( )( )ijm nijm nA xaxB xb xdd ( )d ( ) ( )( )dddA xB xA xB xxxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁，共45頁dd ( )d ( ) ( ) ( )( )( )dddk xA xk x A xA xk xxxx設(shè)設(shè) 是是 的純量函數(shù)，的純量函數(shù)， 是函數(shù)矩是函數(shù)

9、矩陣，陣， 與與 均可導(dǎo)，則均可導(dǎo)，則特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 是常數(shù)是常數(shù) 時(shí)有時(shí)有( )k xx( )A x( )k x( )A x( )k xkdd ( )( )ddA xkA xkxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁，共45頁(4) 設(shè)設(shè) 均可導(dǎo)，且均可導(dǎo)，且 與與 是可乘的，則是可乘的，則因?yàn)榫仃嚊]有交換律，所以因?yàn)榫仃嚊]有交換律，所以( ), ( )A x B x( )A x( )B xdd ( )d ( ) ( ) ( )( )( )dddA xB xA x B xB xA xxxx232dd ( )( )2 ( )dddd ( )( )3( )ddA xAxA xxxA xA xAxxx現(xiàn)在學(xué)

10、習(xí)的是第十五頁，共45頁(5) 如果如果 與與 均可導(dǎo)，則均可導(dǎo)，則(6) 設(shè)設(shè) 為矩陣函數(shù)，為矩陣函數(shù)， 是是 的純量的純量函數(shù)，函數(shù)， 與與 均可導(dǎo)，則均可導(dǎo)，則( )A x1( )Ax111d( )d ( )( )( )ddAxA xAxAxxx ( )A x( )xf tt( )A x( )f tdd ( )d ( )( )( )( )dddA xA xA xf tf txxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁，共45頁定義：定義： 如果函數(shù)矩陣如果函數(shù)矩陣 的的所有各元素所有各元素 在在 上可積，則稱上可積，則稱 在在 上上可積可積，且，且( )( )ijm nA xax( )(1,;1, )ij

11、ax im jn , a b( )A x , a b111212122212( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )dbbbnaaabbbbnaaaabbbmmmnaaaaxxaxxaxxaxxaxxaxxA xxaxxaxxaxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁，共45頁( )d( )d ( )( )d( )d( )dbbaabbbaaakA xxkA xxkRA xB xxA xxB xx函數(shù)矩陣的定積分具有如下性質(zhì)：函數(shù)矩陣的定積分具有如下性質(zhì)：例例1 ：已知函數(shù)矩陣已知函數(shù)矩陣試計(jì)算試計(jì)算21( )0 xA xx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁，共45頁23231(1)(

12、 ),( ),( )(2)( )(3)( )dddA xA xA xdxdxdxdA xdxdAxdx證明：證明：02( )10 xdA xdx220( )00 xdA xdx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁，共45頁由于由于 ，所以，所以下面求下面求 。由伴隨矩陣公式可得。由伴隨矩陣公式可得 3300( )00dA xdx3( )A xx 2( )3dA xxdx 1( )Ax現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁，共45頁1*23231( )( )( )1001111AxA xA xxxxxxx 再求再求1( )dAxdx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁，共45頁213410( )23dxAxdxx例例2 ：已知函數(shù)矩陣已知函數(shù)

13、矩陣23sincossin( )10 xxxxxA xexxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁，共45頁試求試求d(2)( )dA xx0(1)lim( )xA xd(5)( )dA xx22d(3)( )dA xxd(4)( )dA xx例例3 ：已知函數(shù)矩陣已知函數(shù)矩陣試求試求證明：證明：sincos( )cossinxxA xxx200( ),( )xxA x dxA x dx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十三頁，共45頁00000sincos( )cossin1cossinsin1cosxxxxxxdxxdxA x dxxdxxdxxxxx同樣可以求得同樣可以求得222220sincos( )2cossinx

14、xxA x dxxxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十四頁，共45頁例例4 ：已知函數(shù)矩陣已知函數(shù)矩陣試計(jì)算試計(jì)算22( )20300 xxxxexexA xeex3100( ),( )xA x dxA x dx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十五頁，共45頁定義定義：設(shè)有定義在區(qū)間設(shè)有定義在區(qū)間 上的上的 個(gè)連續(xù)的函個(gè)連續(xù)的函數(shù)向量數(shù)向量如果存在一組不全為零的常實(shí)數(shù)如果存在一組不全為零的常實(shí)數(shù)使得對(duì)于所有的使得對(duì)于所有的 等式等式成立，我們稱，在成立，我們稱，在 上上 , a bm12( )( ),( ),( )(1,2,)iiiinxax axaxim12,mk kk , xa b1122( )( )( )0mmkxk

15、xkx , a b12( ),( ),( )mxxx線性相關(guān)線性相關(guān)?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十六頁，共45頁12( ),( ),( )mxxx否則就說否則就說 線性無關(guān)。即線性無關(guān)。即如果只有在如果只有在 等式才成立，等式才成立，那么就說那么就說 線性無關(guān)。線性無關(guān)。定義定義：設(shè)設(shè) 是是 個(gè)個(gè)定義在區(qū)間定義在區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)向量上的連續(xù)函數(shù)向量記記120mkkk12( ),( ),( )mxxx12( ),( ),( )mxxxm , a b12( )( ),( ),( )(1,2,)iiiinxax axaxim( )( )d( ,1,2,)bTijijagxxxi jm現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十七頁，

16、共45頁以以 為元素的常數(shù)矩陣為元素的常數(shù)矩陣稱為稱為 的的Gram矩陣，矩陣， 稱為稱為Gram行列式行列式。定理定理：定義在區(qū)間定義在區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)向量上的連續(xù)函數(shù)向量 線性無關(guān)的充要條件線性無關(guān)的充要條件是它的是它的Gram矩陣為滿秩矩陣。矩陣為滿秩矩陣。 ijg()ijm nGg12( ),( ),( )mxxxdetG , a b12( ),( ),( )mxxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十八頁，共45頁12( )(0, ),( )( ,0)xxxx例例 ： 設(shè)設(shè)則則于是于是 的的Gram矩陣為矩陣為233111221233221d()301d()3babagxxbagggxxba12(

17、),( )xx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十九頁，共45頁33331()0310()3baGba所以所以故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 在在 上是線性無關(guān)的。上是線性無關(guān)的。33 21det()9Gba12det0,( ),( )Gxxab , a b現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十頁，共45頁定義：定義： 設(shè)設(shè) 是是 個(gè)定義在區(qū)間個(gè)定義在區(qū)間 上的上的 有有 階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)向量，記階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)向量，記那么稱矩陣那么稱矩陣12( )( ),( ),( )iiiinxax axax(1,2,)imm1m , a b11112122122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmmmnx

18、axaxaxxaxaxaxA xxaxaxax現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十一頁，共45頁(1)111212122212(1)(1)(1)11121(1)(1)(1)21222(1)(1)12( )( ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mm mnnnmmmnmmmnmmmnmmmmW xA x A xAxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa(1)( )mmnx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十二頁，共45頁是是 的的Wronski矩陣矩陣。12( ),( ),( )mxxx(1)( ),( ),( )m

19、A xA xAx其中其中 分別是分別是 的一階，二階，的一階，二階， 階導(dǎo)數(shù)矩陣。階導(dǎo)數(shù)矩陣。定理：定理： 設(shè)設(shè) 是是 的的Wronski矩陣。如果在區(qū)間矩陣。如果在區(qū)間 上的某個(gè)點(diǎn)上的某個(gè)點(diǎn) ，常數(shù)矩陣，常數(shù)矩陣 的秩等于的秩等于 ，則向量則向量 在在 上上線性無關(guān)。線性無關(guān)。( )A x1m ( )W x12( ),( ),( )mxxx0 , xa b0()W xm12( ),( ),( )mxxx , a b , a b現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十三頁，共45頁例例 ： 設(shè)設(shè)則則因?yàn)橐驗(yàn)?的秩為的秩為2，所以，所以 與與 線性線性無關(guān)。無關(guān)。212( )(1, ,),( )(,1, )xxx x

20、xex221( )1012( )011012( )101xxxxxxA xexxA xexxxW xexe(0)W1( )x2( )x現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十四頁，共45頁 1111122112211222221122( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )nnnnnnnnnnndxa t x ta t x ta t x tf tdtdxa t x ta t x ta t x tf tdtdxa t x ta t x ta t x tf tdt 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十五頁，共45頁( )( ) ( )

21、( )dx tA t x tf tdt1 11 212 12 22121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ),( ),( )( )( ),( ),( )nnnnn nTnTnatatatatatatA tatatatx txtxtxtftftftft現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十六頁，共45頁1112121222121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ),( ),( )( )( ),( ),( )nnnnnnTnTnatatatatatatA tatatatx tx tx tx tf tf tf tft現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十七

22、頁，共45頁上述方程組的初始條件為上述方程組的初始條件為可以表示成可以表示成定理：定理：設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 階常數(shù)矩陣，則微分方階常數(shù)矩陣，則微分方程組程組滿足初始條件滿足初始條件 的解為的解為1010202000( ),( ),( )nnx txx txx tx010200( ),Tnx txxxAn( )( )dx tAx tdt00( )x tx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十八頁，共45頁0()0A t txex定理：定理：設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 階常數(shù)矩陣，則微分方程階常數(shù)矩陣，則微分方程組組滿足初始條件滿足初始條件 的解為的解為例例1 ：設(shè)設(shè)An( )( )( )dx tAx tf tdt00( )x tx000()()0( )tA