1、二次根式的概念與性質編稿：莊永春審稿：邵劍英責編：張楊一、目標認知1 .學習目標：I兇理解二次根式的概念，了解被開方數是非負數的理由；理解并掌握下列結論：員之帥四，必心0）,并利用它們進行計算和化簡.2 .重點：匡J之貼加；雨;h"）及其運用.3 .難點：利用620（窗30）向,呼二皿沙解決具體問題.二、知識要點梳理知識點一：二次根式的概念稱為二次根號.般地，我們把形如V。（a>0）?的式子叫做二次根式,要點詮釋:二次根式的兩個要素：根指數為2;被開方數為非負數知識點二：二次根式的性質1 .Q0（心0）；2 .（研二心。）；3.a(4之0)p(a<0).4 .積的算術平方

2、根的性質：向二（4之0,辦之0）；5 .商的算術平方根的性質：忑要點詮釋:二次根式而（a >0）的值是非負數，其性質（心0）、“可以正用亦可逆用，正用時去掉根號起到化簡的作用；逆用時可以把一個非負數寫成完全平方的形式，有利于在實數范圍內進行因式分解.知識點三：代數式形如5,a,a+b,ab,f,x3,g。之0)這些式子，用基本的運算符號(基本運算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數和表示數的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數式(algebraicexpression).三、規(guī)律方法指導1 .如何判斷一個式子是否是二次根式？(1)必須含有二次根號，即根指數為2;(2)被開方數可以是

3、數也可以是代數式但必須是非負的，否則在實數范圍內無意義.2 .如何確定二次根式在實數范圍內有意義？要使二次根式在實數范圍內有意義必須滿足被開方數為非負數.要確定被開方數中所含字母的取值范圍，可根據題意列出不等式，通過解不等式確定字母的取值范圍.當二次根式作為分母時要注意分母不能為零.經典例題透析類型一：二次根式的概念11年i1、下列式子,哪些是二次根式，哪些不是二次根式:1/、密、X、 4(x>0)、而、也、-也、1工+y、歷 (x >0, y>0).思路點撥：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號”；第二，被開方數是正數或0.解：二次根式有:也、&x>0)、

4、(x >0, y>0);1不是二次根式的有：物、工、啦、工+y.02、當x是多少時，底H在實數范圍內有意義？國思路點撥：由二次根式的定義可知，被開方數一定要大于或等于0,所以3x-10,?收二1才能有意義.1解：由3x-1>0,得：x>3I當x3時，板二i在實數范圍內有意義.總結升華：要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開方數是非負數.舉一反三【變式11x是怎樣的實數時，下列各式實數范圍內有意義？曲+1>；(2);解：(i)由a+D>o,解得：x取任意實數；當x取任意實數時，二次根式Jo+i廠在實數范圍內都有意義.(2)由x-1>0,且x-1W0

5、,解得：x>1當x>1時，二次根式qRN在實數范圍內都有意義.1_【變式2當x是多少時，忘用+X+1在實數范圍內有意義？思路點撥：要使蘇3十工+1在實數范圍內有意義，必須同時滿足J2兀+3中的2x+3>0和X+1中的x+1W0.2x+3>0<解：依題意，得卜+1H°3由得：x-2由得：XW-13工當X-2且xw-1時，也1+3+x+l在實數范圍內有意義.類型二：二次根式的性質思路點撥：我們可以直接利用(a >0)的結論解題.(6)(3折-(5曲；45-乃二-30.舉一反三【變式11計算:思路點撥：(1)因為x>0,所以x+1>0;(3)

6、a 2+2a+1=(a+1)2>0；(2)a 2>0;(4)4x 2-12x+9=(2x) 2-2 - 2x - 3+32=(2x-3) 2>0.所以上面的4題都可以運用(A) = a (a > O')的重要結論解題.解: 因為x>0,所以x+1>0一2一2(3) .a+2a+1=(a+1)又(a+l)2>0,aa2+2a+1>0,.H"=a+2a+1;(4) V4x2-12x+9=(2x)2-2-2x-3+32=(2x-3)2又.(2x-3)2>02i2c八.4x2-12x+9>0,=4x2-12x+9.4、化簡:

7、但瓦(2)；(3)而；(4)k牙.思路點撥：因為(1)9=32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,所以都可運用必二20)去化簡.(2)娘<=11=4;(4) V-=一廠=3.j當a<0時，M,?并根據這一性質回答5、填空：當a>0時，M=卜歹1問題.H(1)若必=a,則a可以是什么數？(2)若=-a,則a可以是什么數?(3)必>a,則a可以是什么數？思路點撥：-=a(a>0),.要填第一個空格可以根據這個結論，第二空格就不行，應變形，使“()2”中的數是正數,因為，當a&0時，曲=戶，那么-a>0.(1)根據結論求條件

8、；(2)根據第二個填空的分析，逆向思想；根據(1)、可知G二I,而IN要大于a,只有什么時候才能保證呢？解：(1)因為插二金，所以a>0；(2)因為?二一口,所以a<0；(3)因為當a>0時必二&,要使曲,即使a>a所以a不存在；當a<0時，后二”，要使,即使-a>a,即a<0；綜上，a<0.類型三：二次根式性質的應用6當x=-4時，求二次根式J1-21的值.思路點撥：二次根式也是一種代數式，求二次根式的值和求其他代數式的值方法相同.解：將x=-4代入二次根式，得五=J1-2x(-4)二后二3.7、(1)已知y=12二+J1-2+5,求J

9、的化也若小口+也T=0,求/8+網曲的化j_2解：(1)由2一工之0,1-2加可得1=2,二產5,1y5(2),'、二一一一-11.1.+=0,曲-=0二1+1=0,-1=0.a=-8=1二/圖+S.=(-l)w+吁=2.O8、在實數范圍內分解因式：回(1)x2-5;(2)x3-2x;解:(1)原式二工-(而，o;.（2）原式二式3a=府-（揚”=#+）（片企）.學習成果測評基礎達標一、選擇題101i11ii.下列式子中，不是二次根式的是（）2A.&B.任C.加D.x2 .已知一個正方形的面積是5,那么它的邊長是（）A.5B.C.二D.以上皆不對3 .（福建省福州市）若代數式在

10、實數范圍內有意義，則x的取值范圍為（）A.x>0B.x>0C,xw0D.x>0且x豐14 .悶+2F的值是（）22A.0B.3C.43D.以上都不對5 .a0時，矛、-,比較它們的結果，下面四個選項中正確的是（）A.一寸”、"B.、娘"'C.rD.一一.6 .（遼寧省大連市）如圖，數軸上點N表示的數可能是（）B.A.D.、填空題1 .若五二4,貝tjx=2 .若孩+3有意義，則a的取值范圍是3 .-J0-0004=.7 .若加'+那=0,則加若=3a-1_則口8 .化簡：兒考=.、+菅畫9 .計算：(1)12/=;,(24+3極2A3物二?

11、10 .(內蒙古鄂爾多斯市)如圖，在數軸上，AB兩點之間表示整數的點有個.三、解答題1 .求下列二次根式中字母a的取值范圍:2.某工廠要制作一批體積為 方形，試問底面邊長應是多少？(2)Al；(3)J("歹1m3的產品包裝盒，具高為0.2m,按設計需要，？底面應做成正能力提升一、選擇題1 .使式子J-陵-今'有意義的未知數x有()個A. 0 B. 1 C. 2D.無數2 .(山西省臨汾市)若屏弘+，=3-&,則a與3的大小關系是()A.a二B.,C.D.，：3 .下列計算正確的是()A(4后巧b.(-=$C.-=$D.-(-同=$4 .(福建省廈門市)下列四個結論中，

12、正確的是()375557533后而5<<<<<<21<<一A.一1二B.一二二C.二一D.-二、填空題而一-11 .若,貝.2,若標晟是一個正整數，則正整數m的最小值是.3.已知實數a，。在數軸上的對應點如圖所示，則三、解答題1 .當x是多少時，X+X2在實數范圍內有意義?2 .若出-1+J1有意義,求的值.3 .（北京市海淀區(qū)）已知實數x,y滿足卜一5|+5日二°,求代數式（工+）的值.4 .已知屈5+杵7=°,求x+y的值.綜合探究1 .（福建省南安市）觀察分析下列數據，尋找規(guī)律：0,后，茅，3,2后，屈，3折，那么第10

13、個數據應是.2 .（江蘇省蘇州市）等式,一1二）（'+力+（）中的括號應填入.3 .先化簡冉求值：當a=9時，求a+Jl-2a+J的值，甲乙兩人的解答如下:甲的解答為：原式=a+J*-"）=a+（1-a）=1；乙的解答為：原式=a+J。-"）=a+（a-1）=2a-1=17.兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是.4 .若-3WxW2時，試化簡|了-2|+而甲+廬而石.5 .在實數范圍內分解下列因式：F-2；（2）X*-9.答案與解析基礎達標一、1.D2.B3.D4.C5.A6.B、1.162.13.-0.024.：二|<0,>-7. 三38. 2獨盼

14、9. (1) 2 ；(2)6 ; (3)-65.2-x10.41.解：(1)由a+1>0,得a>-1字母a的取值范圍是大于或等于-1的實數。1(2) 1-2白>0,得1-2a>0,即a<21字母a的取值范圍是小于2的實數。(3)因為無論a取何值，都有MTN。,所以a取值范圍是全體實數2.解：設底面邊長為x,則0.2x2=1,解答：x=75.能力提升一、1.B2.B3.B4.D二、1.-2.53.b1.解：依題意得:2x+3>0兀M 03.,.當 x>- 2 且 xw0 時,工 +x2在實數范圍內有意義.2 .解：-3之°,且白-，+，工-3有意義.1.書一x=0,=0,x=33 .解：蟲-5戶°，之0且|一|十二0.|x-5|=0,1y+4=。.；z-5=0,y+4=0x=5,y=Y/v20087(x+丁)=14 .解：；J“，/