1、第八章第八章 多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)8.1 8.1 預(yù)備知識預(yù)備知識8.28.2 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念8.3 8.3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分8.5 8.5 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值8.6 8.6 二重積分二重積分8.4 8.4 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法 區(qū)域區(qū)域（1）鄰域）鄰域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域（2 2）區(qū)域）區(qū)域8.1 8.1 預(yù)備知識預(yù)備知識平面方程平面方程AxByCzD0一般式：截距式：xyz1abc球面方程球面方程標

2、準式：一般式：2222000(xx )(yy )(zz )R222xyzAxByCzD0練練 習(xí)習(xí) 一一例例1 1：已知平面與已知平面與 軸、軸、 軸、軸、 軸的截距依次軸的截距依次為為3，-4，5，則平面方程為，則平面方程為。（P138.3）xyz例例2:2: 球心為（球心為（3 3，4 4，5 5）半徑為）半徑為6 6的球面方的球面方程為程為。8.2 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念一、一、 多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義二、二、 二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限 三、二元函數(shù)的連續(xù)性三、二元函數(shù)的連續(xù)性一、多元函數(shù)的定義一、多元函數(shù)的定義定義定義當當2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函

3、函數(shù)數(shù).類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)1.1.求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域( (練習(xí)練習(xí)P P139139,6),6)練練 習(xí)習(xí) 二二xyyxyxf2),(22 )3, 2(f, 則則2. 設(shè)設(shè)_.3. P139，8二、二元函數(shù)的極限二、二元函數(shù)的極限說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似方法：代入法、根式有理化、重要極限方法：代入法、根式有理化、重要

4、極限P139,11定義定義 . 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)( )f P定義在定義在 D 上上,00lim( )()PPf Pf P 0( )f PP在在點點如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上上各點處各點處都連續(xù)都連續(xù), 則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)在在 D 上上000(,),P xyD 如果存在如果存在否則稱為否則稱為不連續(xù)不連續(xù),0P此時此時稱為稱為間斷點間斷點 .則稱則稱 二元函數(shù)二元函數(shù)連續(xù)連續(xù).連續(xù)連續(xù), 三、二元函數(shù)的連續(xù)性三、二元函數(shù)的連續(xù)性 8.3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、一、 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)二、二、 全微分全微分一、偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)（重點）（重點）1、00yyxxxz ，00yyxxxf ，

5、00yyxxxz 或或),(00yxfx.解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 223zxxyy (1,2)例例1 求求 在點在點處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù). yzx )1, 0( xx例例2 2 求函數(shù)求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解解 xz,1 yyx yzln .yxx設(shè)設(shè) 223arctan)2(),(yxxyxxyyxf , ,求求)1, 2(yf . . 此此題題若若先先求求出出),(yxfy , ,再再代代入入, ,則則麻麻煩煩. . 解解例例3 3.6)1 , 2( yf，26), 2(yyfy ，32), 2(yyf 162 2、高階偏

6、導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).解解x;9xyy2xyz2322xz ,62xy 22yz18xy;2x3xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx13323 xyxyyxz22,zx 2,zy x 2,zx y 22yz 例例3 3設(shè)設(shè)求求y33y2y23xxz例例4. 求函數(shù)求函數(shù)2xyze

7、 解解 :zx 22zx zy 2 zx y 2xye 22xye 2xye 22xye 的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù). 2 zy x 22xye 22zy 24xye 二、全微分概念二、全微分概念例例5. 計算函數(shù)計算函數(shù)在點在點 (2,1) 處的全微分處的全微分. x yze 解解:zx 22,2(2,1)(2,1)zzeexy 22(2,1)2dze d xe d y 例例6. 計算函數(shù)計算函數(shù)的全微分的全微分. sin2yzyuxe zy ,x yyex yxe2(2)ed xd y解解: du 1(cos )d22y zyz ey 1 dxdyzyez 練練 習(xí)習(xí) 三三,xyze ,zy

8、 ,zx xyz 222,zx 求求1 1、設(shè)、設(shè)3ln()zxy 11( , ).dz2 2、已知、已知,zy ,zx 求求arctan,yzx 2,.zzxx y 3 3、求求設(shè)設(shè)22,zy 思考：多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可思考：多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可 微三者之間的關(guān)系？微三者之間的關(guān)系？多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系(重點重點)函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo) 8.4 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法一、一、 鏈式法則鏈式法則 二、二、 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈式法則）（一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

9、法則（鏈式法則）（重點重點）以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdzzvutt解解dzz duz dvdtu dtv dtsintveut cossinttetet (cossin ).tettzvuttzuvyxyx解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例9. 設(shè)設(shè) sin ,zuvt.dzdtztvuttdzdttv e (cossin )costettt z duu dt z dvvdt zt 求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù),tue cos ,vt 解

10、解:sinut cost 解解設(shè)設(shè)),(22yxxyfz , ,f 具具有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), ,求求 yxz 2. . xz ,221fxfy yxz 21f .4)(2221222111fxyfyxfxyf y )2(1211fyfx x2 )2(2221fyfx 例例6 631練練 習(xí)習(xí) 四四練習(xí)四答案練習(xí)四答案0),()1( yxF隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式二、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則二、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則（重點）（重點）解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),

11、()2( zyxF解解令令則則,4),(222zzyxzyxF ,2xFx ,422zFyFzy,2zxFFxzzx .2yzFzyyFz 22arctanyxyx dydx1、設(shè)、設(shè), 求求練練 習(xí)習(xí) 四四,.zzxy 2、求由方程、求由方程 0zexyz確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)3、P141，21、22 8.5 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值 一、一、 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值 二、條件極值二、條件極值（重點）（重點） (1)(3)例例1 1處處有有極極小小值值在在函函數(shù)數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0

12、(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件例如例如, 點點)0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點，的駐點，但但不不是是極極值值點點. 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的的點，均稱為函數(shù)的駐點駐點.駐點駐點極值點極值點問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？注意：注意：P113又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，

13、練練 習(xí)習(xí) 五五1、33( , )3f x yxyxy 求求的的極極值值。3、最值應(yīng)用問題、最值應(yīng)用問題函數(shù)函數(shù) f 在閉域上連續(xù)在閉域上連續(xù)函數(shù)函數(shù) f 在閉域上可達到最值在閉域上可達到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別特別, 當區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個只有一個極值點P 時, )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )依據(jù)依據(jù) 二、條件極值二、條件極值 (重點重點)極值問題極值問題無條件極值無條件極值:條條 件件 極極 值值 :對自變量只有定義域限制對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制還有其它條件限制練練 習(xí)習(xí) 六六例例1、設(shè)某廠生產(chǎn)兩產(chǎn)品，產(chǎn)量為設(shè)某廠生產(chǎn)兩產(chǎn)品，產(chǎn)量為 總利潤為總利潤為已知這兩種產(chǎn)品每千件均消耗原料已知這兩種產(chǎn)品每千件均消耗原料2000公公斤，現(xiàn)有原料斤，現(xiàn)有原料12000公斤，問兩種產(chǎn)品公斤，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時，總利潤達最大？各生產(chǎn)多少時，總利潤達最大？（3.8，2.2）()xy和和千千件件 時