1、湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院5 彎曲應(yīng)力 Stress in beams 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院5.1 引言引言5.2 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力5.3 橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力5.4 彎曲剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件彎曲剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件5.5 提高彎曲強(qiáng)度的措施提高彎曲強(qiáng)度的措施湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院5.1 概述( Introduction)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院mmM當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí), ,一般情況下一般情況下, ,梁的橫截面上既又彎矩梁的橫截面上既又彎矩M,又有剪力又有剪力Q . .mm mmM 彎矩彎矩M 正應(yīng)力正應(yīng)力

2、只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素 dN = dA 才能合成彎矩才能合成彎矩剪力剪力Q 切應(yīng)力切應(yīng)力 內(nèi)力內(nèi)力只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素 dQ= dA 才能合成才能合成剪力剪力所以所以,在梁的橫截面上一般既有在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力正應(yīng)力(Normal stresses ),又有又有切應(yīng)力切應(yīng)力(Shear stresses)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院5.2 純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力(Normal stresses in pure beams )湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院純彎曲純彎曲(pure bending)下圖CD

3、段稱為純彎曲MPaxxPPQPPaaaaxxAACCDBBDPP湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院constant0MQ 其它段(如AC、DB)剪力不為零，則稱為剪切彎曲剪切彎曲或橫力彎曲橫力彎曲。在CD段湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力(a)(b)mm 現(xiàn)象：梁上的縱向線（包括軸線）都彎曲成圓弧曲線，靠近凹側(cè)一邊的縱向線縮短，而靠近凸側(cè)一邊的縱向線伸長(zhǎng)；梁上的橫線仍為直線，各橫線間發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，不再相互平行，但仍與梁彎曲后的軸線垂直。在梁的縱線伸長(zhǎng)區(qū)，梁的寬度減??；而在梁的縱線縮短區(qū)，梁的寬度增大。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 假設(shè)梁的橫截面在純彎曲變形后

4、仍保持平面，并垂直于梁彎曲后的軸線。橫截面只是繞其面內(nèi)的某一軸線剛性地轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。這就是彎曲變形的平面假設(shè)。 平面假設(shè)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 假設(shè)梁的縱向纖維間無(wú)擠壓，只是發(fā)生了簡(jiǎn)單的軸向拉伸或壓縮 。中性層中性軸中性軸橫截面對(duì)稱軸縱向?qū)ΨQ面 從縱向纖維伸長(zhǎng)區(qū)到縮短區(qū)，梁內(nèi)必有一層纖維既不伸長(zhǎng)，又不縮短。這一纖維層，稱為中性層。中性層與橫截面的交線，稱為中性軸 。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 。，使一點(diǎn)內(nèi)必有異號(hào)，則在與連續(xù)，且在設(shè)0,fbabfafbaxf介值定理：湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院1. 幾何關(guān)系 圖示dx微段，其中x軸為假設(shè)的中性軸(待確定)，所以O(shè)1O2在變形前后長(zhǎng)度不變，而

5、變形后的弧段O1O2的轉(zhuǎn)角為dq，考慮線段ab在變形后的線應(yīng)變，dddddxyxababyyxabqq q對(duì)給定截面曲率半徑 為常數(shù)，所以x y ，也就是說(shuō)截面上某點(diǎn)的應(yīng)變與該點(diǎn)到軸線的距離成正比。yx湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院)(a21ab211o2oyxdxy12a1o2oby12dxdqz)(byEE2. 物理關(guān)系湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院yAAzAd0,d0dNAMzAMyAMzAdMyAM首先，有2ddzAAEEEMyy AyAIyIMEz3. 靜力關(guān)系z(mì)yzxAdyo湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 橫截面上點(diǎn)的應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比。其分布圖如右示。ddd0zAAAEEENA

6、y Ay ASMyz可見z為過(guò)形心的軸。d0ANA考慮湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院00yzyzAyIIEdAEyzM，則有同樣考慮說(shuō)明y、z為主慣性軸，從而它們?yōu)樾涡闹鲬T性軸。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院zzWMIMymaxmaxmaxzyIWz其中是構(gòu)件橫截面的幾何性質(zhì)，稱為抗彎截面模量（或截面系數(shù)），量綱為長(zhǎng)度3。Myz梁橫截面上的最大正應(yīng)力湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院對(duì)于高為h，寬為b的矩形截面，抗彎截面模量為 621223maxzzbhhbhyIW3226434maxzzdddyIW直徑為d的圓形截面湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 若梁的橫截面對(duì)中性軸不對(duì)稱，則其截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力并

7、不相等，如右圖示中的T形截面。這時(shí)，應(yīng)把y1和y2分別代入公式，計(jì)算截面上的最大正應(yīng)力，最大拉應(yīng)力為 z1maxtIMy最大壓應(yīng)力為： z2maxcIMyzMy2y1yxmaxtmaxc湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院5.3 橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度條件湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力 橫力彎曲時(shí)，由于橫截面上存在剪應(yīng)力而且并非均勻分布，所以，彎曲時(shí)橫截面將發(fā)生翹曲，這勢(shì)必使橫截面再不能保持為平面(平面假設(shè)不適用)。特別是當(dāng)剪力隨截面位置變化時(shí)，相鄰兩截面的翹曲程度也不一樣。這時(shí)，截面上除有因彎矩而產(chǎn)生的正應(yīng)力外，還將產(chǎn)生附加正應(yīng)力(縱向纖維無(wú)擠壓假設(shè)不滿足)。另外，分布載荷作用下

8、的橫力彎曲，縱向纖維之間也是存在正應(yīng)力的。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 彈性理論分析表明，對(duì)于橫力彎曲時(shí)的細(xì)長(zhǎng)梁，即截面高度遠(yuǎn)小于跨度的梁，橫截面上的上述附加正應(yīng)力和縱向纖維間的正應(yīng)力都是非常微小的。這時(shí)可以采用純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力公式來(lái)近似zIMy湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用 zmaxWM 對(duì)于鑄鐵等這一類抗拉和抗壓的能力不同脆性材料，工程上常將此種梁的橫截面做成如T字形等對(duì)中性軸不對(duì)稱的截面，其最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的強(qiáng)度條件分別為 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院ttmaxtzccmaxcz()()MyIMyI和最大壓應(yīng)力點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示最大拉應(yīng)力、ctyyzMy

9、2y1yxmaxtmaxc湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院例題例題 圖示所示外伸梁，用鑄鐵制成，截面為T字形，已知梁的載荷P1=10kN，P2=4kN，鑄鐵的許用應(yīng)力t =30MPa， c =100MPa。截面的尺寸如圖所示，試校核此梁的強(qiáng)度。 m1m1m11P2PACBBRAR1y2yzy202012090湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院Nk11kN,3BARR解 計(jì)算梁的支反力并作彎矩圖mkN4mkN3-maxmaxMM)(b)(am1m1m11P2PACBBRARmkN3MmkN4x作梁的彎矩圖如圖所示湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院mm5020120902080201201090202C yy46232

10、3zm1089. 730201201212020402090122090I確定截面形心位置并計(jì)算形心慣性矩湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院分別校核鑄鐵梁的拉伸和壓縮強(qiáng)度在B截面(上拉下壓)(cCM1y2yBM33B2tmaxt6z4 1050 1025.1MPa7.98 10M yI33B1cmaxc6z4 1090 1045.1MPa7.98 10M yI湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院33c2cmaxc6z3 1050 1018.8MPa7.98 10M yI33c1tmaxt6z3 1090 1033.8MPa7.98 10M yI 在C截面(上壓下拉)(cCM1y2yBM湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院

11、5.4 彎曲剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件(Shear stresses in beams and strength condition)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院)(adxn1nm1m彎曲剪應(yīng)力矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 橫力彎曲的矩形截面梁任一橫截面上剪力與縱向?qū)ΨQ軸重合。當(dāng)截面高度大于寬度時(shí)，關(guān)于矩形截面上的剪應(yīng)力分布規(guī)律，可作如下假設(shè)：v截面上任意一點(diǎn)的剪應(yīng)力都平行于剪力的方向。v剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即剪應(yīng)力的大小只與坐標(biāo)y有關(guān)。 )(bhQbzxyp1py湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 在基本假設(shè)基礎(chǔ)上矩形截面上點(diǎn)的剪應(yīng)力分布分析圖在右邊圖形中，pq1面上的應(yīng)力是均勻分布

12、的，它等于截面上離中性軸距離為y的點(diǎn)處的剪應(yīng)力（剪應(yīng)力互等定理）?；蛘哒f(shuō)在橫截面上，剪應(yīng)力沿z軸方向均勻分布，而沿y軸方向的分布是未知的待求。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院m1mn1nMdMMQQxdx1mmn1n1yxp1p12yy2y2h湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 為確定橫截面上剪應(yīng)力沿y軸方向的分布，選取pp1n1n作為研究對(duì)象，先研究各面上的內(nèi)力合力。1yp1p2h2N1N1dAyzdxbn1n11*1zzdd*AzANAMMy ASII湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院A*為橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積，記 *z1d*ASy A*zz2dSIMMN1yp1p2h2N1N1dAyzdx

13、bn1n湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院210,d0XNNb x*zzzzdd0MMMSSb xII*zzddSMx bI將N1、N2代入上式得1mmn1nxp1p12yy2h1N2N湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院ddMQxz*zbIQS故有由載荷集度與截面內(nèi)力關(guān)系知此即為橫截面上剪應(yīng)力分布規(guī)律湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院*z122211dd24*AbySy Ab hby yy2242yhIQzmax2h2hb*Ay1dyy1yz對(duì)圖示矩形截面zIQhyhy8, 0; 0,22max湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，得到進(jìn)一步，考慮到123zbhI 232323maxAQbhQ的平均應(yīng)力。是按實(shí)用計(jì)算方式得到其

14、中湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院2242yhGIQz橫截面上的剪應(yīng)變分析 翹曲 可見，剪應(yīng)變 沿矩形截面的高度同樣按拋物線規(guī)律變化。由剪切Hooke定律，得湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院0,28, 02maxhyGIQhyz 所以，橫力彎曲時(shí)由于截面上有剪力，橫截面將發(fā)生翹曲(不翹曲的條件是纖維沿高度作線性變化)。這時(shí)，梁的純彎曲正應(yīng)力公式將受到影響(不符合平面假設(shè))，這種影響在第一節(jié)中已作了較詳細(xì)的說(shuō)明。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 對(duì)圓形與工字形這一類具有對(duì)稱軸的截面，其剪應(yīng)力分布都比較復(fù)雜，而在材料力學(xué)中，我們關(guān)心的往往是最大剪應(yīng)力。這里我們給出對(duì)這類截面問(wèn)題分析的結(jié)論。圓形與工字形截面梁的彎曲剪

15、應(yīng)力湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院AQkmax，工字性、箱形，圓形；矩形；134,23kkk 具有對(duì)稱性截面的梁，其最大剪應(yīng)力往往發(fā)生在中性軸處，且可寫為翼緣Bmaxminyzbyh H腹板其中k稱為截面系數(shù)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院幾點(diǎn)說(shuō)明v對(duì)于工字鋼，其面積指的是腹板部分的面積，在查型鋼表計(jì)算時(shí)使用公式A=d(h-2t)。v對(duì)于工字鋼而言，其腹板部分主要承受剪力(約97%)，而翼緣部分主要承受彎矩 (也是約97%)。所以在用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算最大剪應(yīng)力時(shí)，不計(jì)翼緣的面積。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院例題例題 試比較圖示受均布載荷q作用的矩形截面梁的最大彎曲正應(yīng)力和最大彎曲剪應(yīng)力。qBRlARABhbz

16、湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院解 計(jì)算支反力并作內(nèi)力圖 82ql)(c)(aqlARABBR2ql2ql)(b2qlRRBA8,22maxmaxqlMqlQ湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院計(jì)算梁的最大應(yīng)力在梁的中間截面上的上、下邊緣處有最大彎曲正應(yīng)力 22zmaxmax43bhqlWMbhqlbhQ4323maxmaxhlbhqlbhql434322maxmax湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院zmax*zmaxmaxbISQmaxmaxAQk彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件或湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院例題 圖示簡(jiǎn)易吊車梁，最大起重量（包括電葫蘆的自重）為P=30kN，梁的跨度l=5m，許用應(yīng)力 =160MPa，=100MP

17、a，試選擇該工字鋼梁的型號(hào)。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院解：吊車梁為工字鋼，屬于細(xì)長(zhǎng)薄壁截面梁，因此，應(yīng)先用梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇工字鋼的型號(hào)，然后再用梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。maxMMPQmaxQ湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院用正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇工字鋼的型號(hào)，梁的彎矩圖如右。 mkN5 .37530414maxPlM 363maxcm23410160105 .37MWz由梁的強(qiáng)度條件，有maxMM查型鋼表知，應(yīng)選20a號(hào)工字鋼，其Wz=237cm3。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 校核梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度 當(dāng)起吊重物移至支座附近時(shí)，該處截面上剪力為最大，其極限情況的剪力圖如圖e所示。最大剪力為： PR

18、QAmaxPQmaxQ湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院查型鋼表可知20a號(hào)工字鋼的腹板d=7mm，cm2 .17*zSIzMPa9 .24102 .171071030233*zzmaxSIdQ因此，選擇20a號(hào)工字鋼是合適的。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院彎曲應(yīng)力彎曲正應(yīng)力彎曲剪應(yīng)力yIMzzmax*zmaxmaxbISQAQkmaxmax以矩形截面承受正的彎矩和剪力為例maxcmaxtmax湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院amaxcmaxtmax zmaxWM AQkbISQmaxmaxzmax*zmaxmax思考：對(duì)上述矩形梁截面的正應(yīng)力和剪應(yīng)力極值點(diǎn)我們分別建立了相應(yīng)的強(qiáng)度條件，那么它們是不是就是最危

19、險(xiǎn)的點(diǎn)呢？而對(duì)于除中性層和上下邊沿點(diǎn)以外的其它即存在正應(yīng)力同時(shí)存在剪應(yīng)力的點(diǎn)是否可能是危險(xiǎn)點(diǎn)呢？如果是，應(yīng)該怎樣確定其特征應(yīng)力？湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院5.5 提高彎曲強(qiáng)度的措施提高彎曲強(qiáng)度的措施（Measures to strengthen the strength of beams)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 提高梁的靜強(qiáng)度的措施 由梁彎曲的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件在細(xì)長(zhǎng)梁中前者占主要地位，或者說(shuō)前者處于支配地位，所以要控制梁的靜強(qiáng)度應(yīng)以彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件來(lái)確定。 zmaxWM根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，具體地，我們有如下措施v盡量降低梁的彎矩盡量降低梁的彎矩v提高梁的抗彎截面模量提高梁的抗彎

20、截面模量v同時(shí)降低梁的彎矩和提高抗彎截面模量同時(shí)降低梁的彎矩和提高抗彎截面模量等強(qiáng)度梁等強(qiáng)度梁湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 zmaxWM降低M降低max提高Wz降低max同時(shí)降低M和提高Wz目的max=物盡其用湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院合理安排梁的支承及載荷彎矩的降低幅值%80548140181x82qllqqll 2 . 0l 2 . 0M402qlx502ql1. 合力布置梁的支座湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院工程實(shí)例湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院P4l43l163Pl2. 合理布置載荷使集中載荷盡量靠近支座盡可能把較大的集中力分散為較小的力，或者改變成分布載荷彎矩降低幅度25%4PlP2l2l湘潭

21、大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院2P2P4l4l8Pl降低50%lPq 8Pl降低50%湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院梁的合理截面 1. 根據(jù)截面的幾何特性選擇截面 為了減輕梁的自重、節(jié)省材料，梁所采用的截面形狀應(yīng)該是橫截面面積A較小，而抗彎截面模量Wz相對(duì)地較大的合理截面。截面形狀的合理性可用比值Wz/A來(lái)衡量。 Wz/A比值越大，截面越合理。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院矩形圓形圓環(huán)形槽鋼工字鋼截面形狀0.167h0.125h0.205h (0.270.31)hAWz8 . 0湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院2 根據(jù)材料的性質(zhì)選擇合理截面 對(duì)于抗壓與抗拉性能相同的塑性材料，工程中一般采用矩形、工字形等對(duì)稱于中性軸的截面。 對(duì)于像鑄鐵等脆性材料，由于抗拉能力低于抗壓能力，則適宜選用不對(duì)稱于中性軸的截面，如T字形截面等。此時(shí)，中性軸偏于截面一側(cè)。而且，設(shè)計(jì)時(shí)要有意識(shí)地使截面的中性軸偏于梁的受拉一側(cè)。通過(guò)設(shè)