1、.教案說明 1、教學要求 在最新修訂的全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱中對本節(jié)課的要求是了解數(shù)系擴充的必要性，理解復數(shù)有關概念。在國家新課程標準下，對本節(jié)課的要求為：(1)在問題情境中了解數(shù)系擴充過程，體會實際需求與數(shù)學內部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。（2）理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件。因此在講解本節(jié)課時既要通過復數(shù)概念的理解體現(xiàn)數(shù)學的本質還要通過數(shù)系的擴充展現(xiàn)數(shù)學的人文價值。 2、教材處理：本節(jié)課包含兩個內容：數(shù)系擴充、復數(shù)的概念。就數(shù)系擴充的內容而言，本節(jié)課是一節(jié)介紹數(shù)學史的課程，希望學生體會實際需求與數(shù)學

2、內部矛盾在數(shù)系擴充中的作用，感受人類理性思維的作用與現(xiàn)實的關系。 就復數(shù)內容而言，本節(jié)課是一堂概念課，因此如何讓學生理解相關的概念顯得很重要；同時本節(jié)課也是一堂全新內容的課介紹之前從未接觸的“虛數(shù)”，因此 “虛”的理解就成為復數(shù)概念理解的難點，但同時也是本節(jié)課的重點。對此，本節(jié)課由方程無實數(shù)解引入，從而引出最開始的形式上的“虛數(shù)”；通過與方程在有理數(shù)域與實數(shù)域解情況的類比，指出擴展數(shù)域的必要性。其后由卡爾丹諾的形式虛數(shù)，順勢介紹復數(shù)系擴充史，進而得到虛數(shù)的單位“i”。在引入復數(shù)之后，根據(jù)研究問題的一般思路：新概念的理解新舊概念的對比新概念的系統(tǒng)化。自然引出復數(shù)與實數(shù)虛數(shù)的關系、復數(shù)大小、復數(shù)的

3、相等等問題。其間做一些辨析與鞏固練習，以此對學過的知識加深理解。 3、教法說明： 1、數(shù)系擴充這個內容，采取問題引入，教師講解的方式。采取問題引入，是為了讓學生體會實際需求與數(shù)學內部的矛盾在數(shù)系擴充中的作用，進一步的感受到人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學的人文價值。在數(shù)學史的介紹中，讓學生體會創(chuàng)新，要敢于突破，敢于質疑，敢于提出新的看法，進而滲透德育教育。通過對復數(shù)系的擴張，理解“i”的形成過程，有助于學生了解虛數(shù)單位的實質，更深入的了解復數(shù)、虛數(shù)的概念，從而避免數(shù)學的形式化。 2、復數(shù)的概念，為本節(jié)課的重點。本著以人為本的原則，結合學生的理解能力與思維方式采取引導的方法，讓

4、學生自主思考，以引導思路、規(guī)范過程為主，采取探究式教學，更多的注重課堂教學的生成性。在學習過程中通過歸納（歸納出復數(shù)的一般形式）、類比（虛數(shù)、實數(shù)的對比）、特殊化（復數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)的關系）等，讓學生體會開拓性研究的思路，了解處理新問題的方法。3、例題與練習，以教材為藍本，學生練習為主，老師巡堂、指出問題并規(guī)范過程。 例題與練習相結合，難度上由淺入深，逐層深入，讓學生的對復數(shù)的概念形成一個理性感性理性的一個螺旋上升的過程，從而在概念理解上更加透徹。 在巡堂過程中，對個別的問題單獨指導，對普遍出現(xiàn)的問題在課堂上可以進行探究。課題:數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念教材:人教A版1、教學目標（1）在問題情境中了

5、解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求與數(shù)學內部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系（2）理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件【教學目標說明】德育方面：1、通過對探究題的設置，讓學生能夠自然的了解研究問題的一般方法，能夠自然的提出問題，并在老師的引導下逐步達到自主解決問題。接下來讓學生清楚研究新問題的一般流程：新概念 新舊概念的聯(lián)系與區(qū)別 新概念的新性質研究 2、對數(shù)學發(fā)展史的了解和數(shù)系的擴充，體現(xiàn)數(shù)學的人文價值，以此激發(fā)學生的學習興趣。希望通過數(shù)系的擴充，讓學生體會研究過程中有辛酸的挫折也有欣喜的成果，滲透研究精神。能力方面： 1、

6、類比推理能力。數(shù)系擴充類比；復數(shù)與實數(shù)類比；運算規(guī)則類比；大小比較類比。 2、歸納整理能力。新舊知識的梳理與歸納；復數(shù)形式的歸納。知識方面： 1、復數(shù)概念理解：關鍵在于“i”的理解?！癷”可以看作一個單位，作為純虛數(shù)部分的度量；也可以看成一個方向；“i”也可以類似基底進行理解。即復數(shù)在（1，i）上分解。 2、復數(shù)相等的充要條件：從分解上講，就比較容易理解。2、教學重點（1）數(shù)系的擴充過程（2）復數(shù)的概念、復數(shù)的分類和復數(shù)相等的充要條件3、教學難點（1）虛數(shù)單位的理解（2）復數(shù)的大小比較。3、教學方法：講解式、啟發(fā)式、探究式【教學方法說明】對于復數(shù)的概念采取引導的方法，讓學生自主的思考，采取探索

7、式教學，更多的注重生成性。 復數(shù)的概念主要3個方面：復數(shù)的形式、“i”的理解、復數(shù)相等的充要條件。 復數(shù)的形式：歸納為主，將實數(shù)、虛數(shù)“一網(wǎng)打盡”，可以寫作“a+bi”的形式。可以由教師引導，學生歸納的方式。 “i”的理解：教師引導，學生討論，教師總結的方式。一方面能提高學生的課堂參與度，另一方面也能夠讓學生對新概念認識深刻。 復數(shù)相等的充要條件：由學生自己體會并提出來，不需要證明。但是需要讓學生去結合“i”的理解，進行類比思考。注意要強調實部虛部必須為實數(shù)。教學手段：多媒體輔助教學4、教學過程:(一)引入新課.問題1：能否尋找兩個數(shù)，使得它們的和為10，乘積為40。利用設元的方法，轉化為一個

8、一元二次方程求解，可以發(fā)現(xiàn)判別式小于0。工作無法繼續(xù)！ 怎么辦？（學生回答）問題2：（學生回答）考慮下列問題，你能否得到新的思路： 方程在已知數(shù)系中的解集探究：(1) 在有理數(shù)集中。（無有理數(shù)解）(2) 在實數(shù)集中。() (二)講授新課.1、數(shù)系擴充引入：問題2表明,對于同一個方程在不同的數(shù)系中其解的情況是不一樣的。對于問題2中的方程在有理數(shù)中不可解但在實數(shù)集卻是可解得，由此得到啟發(fā)：對于問題1在實數(shù)集不可解，但是是非存在一個新的數(shù)集，使得在新的數(shù)集上問題1可以得到解決？如果存在，那又是一個什么樣的數(shù)集呢？2、數(shù)系擴充史簡述： 最早于到涉及到問題1并提出形式解決的是1545年意大利數(shù)學怪杰卡爾

9、丹諾在解決三次方程的根是遇到了一個問題：求兩個數(shù)使得他們的和為10，乘積為40。卡丹得到了形式上的解決：，。但是對于沒有給出任意的解釋，在此只是作為一個形式與開方的記號出現(xiàn)。直到解析幾何的開山始祖笛卡爾才開始給出了一個和實數(shù)(real number)對應的名稱虛數(shù)（imaginary number）。實際上：從形式上，或者對任意的負數(shù)開方都可以寫成：（a<0）的形式，所以搞清楚負數(shù)開方的問題也就等價于搞清楚。對此，偉大的數(shù)學家歐拉第一個提出“i”作為一個虛數(shù)單位（類似于力的單位是N，虛數(shù)的單位規(guī)定是i）。規(guī)定：。而真正對復數(shù)進行系統(tǒng)化、嚴密化、邏輯化的工作出自數(shù)學王子高斯的手下，高斯正式

10、的提出“復數(shù)”一詞，并對復數(shù)進行的運算法則、復數(shù)范圍內多項式方程的解等進行了一系列研究。 從此，虛數(shù)也就不“虛”，正式進入數(shù)學的大家庭并在信號處理、航空航天、函數(shù)處理等領域發(fā)揮出巨大的威力。3、復數(shù)的引入和數(shù)系的擴充因此，在歐拉引入虛數(shù)單位i之后， 卡爾丹諾的方程的解在實數(shù)系中無解，但在在復數(shù)范圍內解存在， ，可以寫成。一般的，如果，則稱為復數(shù)，其中i是虛數(shù)單位。所有的復數(shù)構成的集合稱為復數(shù)集。一般的復數(shù)通常用字母表示，即。其中a稱為實部，b稱為虛部。從此，世界上就一種新的數(shù)系復數(shù)系登上了數(shù)學的舞臺，并為解決很多的實際問題提供了一種新的有力的工具。至此，我們對數(shù)系的發(fā)展有了比較完整的了解，回顧

11、從幼兒園到現(xiàn)在我們學習了那些數(shù)呢？能不能做一個表？ 復數(shù)自然數(shù)：計數(shù)負數(shù)：不夠減分數(shù)：不夠除無理數(shù)：不夠開方有理數(shù)實數(shù)虛數(shù)：負數(shù)不能開方從這個表中我們也可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學的發(fā)展的動力來自于問題，為解決矛盾而進行數(shù)域的拓展。4、復數(shù)的進一步探討： 我們學習了那么多的數(shù)集，有必要對此進行一個分類，進行整理，了解他們的相互關系：探究1：討論特殊的復數(shù)：1） 如果時, 是什么數(shù)？（實數(shù)）2） 如果時，是什么數(shù)？（虛數(shù)）3） 如果，是什么數(shù)？（純虛數(shù)）4）總結虛數(shù)、純虛數(shù)、實數(shù)、復數(shù)之間關系，并畫出集合韋恩圖。 練習：判斷各是什么數(shù)？具體回答：實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)。如果是虛數(shù)指出其實部和虛部。 練習2、判斷下列

12、命題是否正確：（1）若a、b為實數(shù)，則Z=a+bi為虛數(shù)（2）若b為實數(shù)，則Z=bi必為純虛數(shù)（3）若a為實數(shù)，則Z= a一定不是虛數(shù)1）、復數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的關系和判斷原則。 例：復數(shù)何時為實數(shù)，何時為虛數(shù)？何時為純虛數(shù)？ 答案： 練習1：復數(shù)何時為實數(shù)，何時為虛數(shù)？何時為純虛數(shù)？答案：答案：；探究2：1）、實數(shù)可否比較大?。磕敲磸蛿?shù)呢？可否比較大小？能否判斷兩個復數(shù)相等。2）、給出復數(shù)相等的條件： 如果則的充要條件是 a=c, b=d 。注：此問題本質上歸結于對虛數(shù)單位“i”的理解?？梢詮?個角度理解：1）單位角度理解（理解i的本質）。2）基底角度理解（思考角度拓展）。3）方向類比理解（可

13、以為后面的幾何意義（向量類比）做伏筆）答案：例3：如果，求實數(shù)x,y的值。 解：由復數(shù)相等的條件知： 解之： 所以x=4,y=-2。 分析：先計算x、y，然后計算a、b。 答案：a=1,b=27：課堂小節(jié)：1)數(shù)學的發(fā)展來源于問題事物在矛盾中前進。2)復數(shù)有關概念。3)復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)的關系。4)復數(shù)相等的條件。8、分層作業(yè)（略）9、教學反饋本節(jié)課學生的問題集中在虛數(shù)不能比較大小，他們表示不可以理解為何實數(shù)能夠比較虛數(shù)不可以。問題主要歸結為兩種類型：純虛數(shù)的比較，與虛部相同虛數(shù)的比較。(1)純虛數(shù)的比較：他們認為5i>3i.理由是5>3。這個理由是不成立的。一個通俗的、不嚴密的解釋：因為不等式兩邊同時乘一個數(shù)，不等號變向問題依賴于所乘數(shù)的正負，而顯然