1、 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程1舉舉 例例小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程第第5 5章章 微分方程微分方程應應 用用 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程2xxyyd)(d)( 如果一階微分方程如果一階微分方程等式的每一邊僅是一個變量的函數(shù)與等式的每一邊僅是一個變量的函數(shù)與 可分離變量的方程可分離變量的方程)()(ygxfy 0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM或或可以寫成可以寫成0),( yyxF的形式的形式,易于化為形式易于化為形式特點特點這個變量的微分之積這個變量的微分之積.兩端積分可得通解兩

2、端積分可得通解.一、舉一、舉 例例 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程3可分離變量的方程求通解的步驟是可分離變量的方程求通解的步驟是: :分離變量分離變量,兩邊積分兩邊積分其中其中C為任意常數(shù)為任意常數(shù).),(Cxyy 就是方程的通解就是方程的通解分離變量法分離變量法. .;d)(d)(的形式的形式把方程化為把方程化為xxyy 1.2.由上式確定的函數(shù)由上式確定的函數(shù)(隱式通解隱式通解).這種解方程的方法稱為這種解方程的方法稱為將上式將上式可分離變量方程的初值問題可分離變量方程的初值問題 00,d)(d)(yyxxyyxx 的解為的解為;d)(d)( Cxxyy xxyyttuu

3、00.d)(d)( 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程4例例 求方程求方程 的通解的通解.0d)1(d)1(22 yxyxyx解解 分離變量分離變量xxxyyyd1d122 兩端積分兩端積分 yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy )1(ln)1ln(22xCy )1(122xCy 為方程的通解為方程的通解.Cln21 隱式通解隱式通解 xxxd12 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程5 考研數(shù)學三考研數(shù)學三, 四四(4分分)的的特特解解為為滿滿足足初初始始條條件件微微分分方方程程2)1(0 yyyx解解分離變量分離變量兩端積分兩端積分可分離變量方程可分離

4、變量方程xxyydd yyd xxdxylnln Cln xCy 為方程的通解為方程的通解.所以所以12. 2 C. 2 xy 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程6xCxy e考研數(shù)學一考研數(shù)學一, 二二 填空填空4分分解解xxxyyd1d 兩邊積分兩邊積分Cxxylnlnln 分離變量分離變量此方程為可分離變量方程此方程為可分離變量方程xCx ln得通解為得通解為.exCxy 的通解是的通解是微分方程微分方程xxyy)1( 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程7注注 應用問題建立微分方程的方法應用問題建立微分方程的方法:方法大體有兩種方法大體有兩種第一種方法第一種方

5、法常見的物理定律有力學、熱學、光學、常見的物理定律有力學、熱學、光學、直接利用物理定律、經(jīng)濟學知識或幾何條件直接利用物理定律、經(jīng)濟學知識或幾何條件第二種方法第二種方法取小元素分析取小元素分析, 然后利用物理定律列出方程然后利用物理定律列出方程(類似于定積分應用中的元素法類似于定積分應用中的元素法).列出方程列出方程,電學的定律電學的定律; 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程8兩端積分兩端積分解解,ddtM由題設(shè)條件由題設(shè)條件)0(dd衰變系數(shù)衰變系數(shù) MtMtMMdd ,dd tMM ,00MMt 代代入入,lnlnCtM 00eCM 得得C ,e0tMM 分離變量分離變量負號是

6、由于當負號是由于當 t 增加時增加時M單調(diào)減少單調(diào)減少,etCM 得得, 通解通解特解特解例例 衰變問題衰變問題. . 衰變速度與未衰變原子含量衰變速度與未衰變原子含量M成成正比正比,00MMt 已知已知求衰變過程中鈾含量求衰變過程中鈾含量 M (t)隨隨時間時間 t 變化的規(guī)律變化的規(guī)律.即為即為衰變規(guī)律衰變規(guī)律.衰變速度衰變速度二、應二、應 用用 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程9例例出出x有如下的關(guān)系有如下的關(guān)系:)(ddPbaxP 其中其中a為正的比例常數(shù)為正的比例常數(shù), b為正的常數(shù)為正的常數(shù); 為零時為零時, 凈利潤為凈利潤為P0,.00bP 求凈利潤求凈利潤).(

7、xPP 解解 將題設(shè)方程將題設(shè)方程 分離變量分離變量得得xaPbPdd1 兩端積分兩端積分得得由此可得由此可得axCbP e00P.0bPC 凈利潤為凈利潤為axbPbP e )(0根據(jù)經(jīng)驗知道根據(jù)經(jīng)驗知道, 某產(chǎn)品的凈利潤某產(chǎn)品的凈利潤P與廣告支與廣告支且廣告支出且廣告支出CaxbPln)ln( 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程10例例出出x有如下的關(guān)系有如下的關(guān)系:)(ddPbaxP 其中其中a為正的比例常數(shù)為正的比例常數(shù), b為正的常數(shù)為正的常數(shù); 為零時為零時, 凈利潤為凈利潤為P0,.00bP 求凈利潤求凈利潤).(xPP 凈利潤為凈利潤為axbPbP e )(0根據(jù)

8、經(jīng)驗知道根據(jù)經(jīng)驗知道, 某產(chǎn)品的凈利潤某產(chǎn)品的凈利潤P與廣告支與廣告支且廣告支出且廣告支出,00bP 因因可見可見,)(0bxP 于是由題設(shè)方程于是由題設(shè)方程可知可知xPdd, 0 P(x)是是x的單調(diào)增加函數(shù)的單調(diào)增加函數(shù);另一方面另一方面, 顯然有顯然有.)(limbxPx 因此因此, 隨廣告支隨廣告支出的增加出的增加, 凈利潤將相應地不斷增加凈利潤將相應地不斷增加,并趨向水平漸并趨向水平漸. bP 近線近線這表明這表明, 參數(shù)參數(shù)b的經(jīng)濟意義是凈利潤可能的經(jīng)濟意義是凈利潤可能達到的最大值達到的最大值. 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程11推進器停止工作推進器停止工作,已知

9、船受水的阻力與船速的平方成正比已知船受水的阻力與船速的平方成正比 (比例系比例系問經(jīng)過問經(jīng)過多少時間多少時間,船的速度減為原速度的一半船的速度減為原速度的一半?解解 由題意由題意2ddmkvtvm 0)0(vv Cktv 1初始條件初始條件011vktv 01vC ,20時時當當vv 01kvt 即得即得.解得解得當輪船的前進速度為當輪船的前進速度為v0時時,數(shù)為數(shù)為mk,其中其中k 0為常數(shù)為常數(shù),而而m為船的質(zhì)量為船的質(zhì)量).可分離變量的方程可分離變量的方程分離變量分離變量兩端積分兩端積分tkvvdd2 tkvvdd2 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程12例例 求游船上的傳

10、染病人數(shù)求游船上的傳染病人數(shù).一只游船上有一只游船上有800人人,12小時后有小時后有3人發(fā)病人發(fā)病.故感染者不能被及時隔離故感染者不能被及時隔離. 設(shè)傳染病的傳播速度與受感染的人數(shù)及未受感染的設(shè)傳染病的傳播速度與受感染的人數(shù)及未受感染的人數(shù)之積成正比人數(shù)之積成正比.一名游客患了某種傳染病一名游客患了某種傳染病,由于這種傳染病沒有早期癥狀由于這種傳染病沒有早期癥狀,直升機將在直升機將在60至至72小時小時將疫苗運到將疫苗運到,試估算疫苗運到時患此傳染病的人數(shù)試估算疫苗運到時患此傳染病的人數(shù).解解 用用 y(t)表示發(fā)現(xiàn)首例病人后表示發(fā)現(xiàn)首例病人后 t 小時時的小時時的感染人數(shù)感染人數(shù),)(80

11、0ty 表示表示 t 刻刻未受感染的人數(shù)未受感染的人數(shù), 由題意由題意,得得),800(ddykyty 其中其中k 0為比例常數(shù)為比例常數(shù).可分離變量微分方程可分離變量微分方程分離變量分離變量,d)800(dtkyyy , 1)0( y初始條件初始條件:3)12( y 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程13,d)800(dtkyyy 即即,dd800118001tkyyy 兩邊積分兩邊積分, 得得,)800ln(ln80011Cktyy 通解通解ktCy800e1800 ).e(1800CC , 1)0( y初始條件初始條件3)12( y由由初始條件初始條件, 1)0( y得得.

12、799 C再由再由, 3)12( y便可確定出便可確定出 k800所以所以.e7991800)(09176. 0tty 2397799ln121 .09176. 0 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程14.e7991800)(09176. 0tty 直升機將在直升機將在60至至72小時將疫苗運到小時將疫苗運到, 試估算疫苗試估算疫苗運到時患此傳染病的人數(shù)運到時患此傳染病的人數(shù).下面計算下面計算72,60 t小時時的小時時的感染者人數(shù)感染者人數(shù) )60(y )72(y從上面數(shù)字可看出從上面數(shù)字可看出,在在72小時疫苗運到時小時疫苗運到時, 感感染的人數(shù)將是染的人數(shù)將是60小時感染人

13、數(shù)的小時感染人數(shù)的2倍倍.病流行時及時采取措施是至關(guān)重要的病流行時及時采取措施是至關(guān)重要的.可見在傳染可見在傳染,188e79918006009176. 0 .385e79918007209176. 0 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程15cm100例例 有高有高1m的半球形容器的半球形容器, 水從它的底部小孔流出水從它的底部小孔流出,.cm12 S開始時容器內(nèi)盛滿了水開始時容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中從小孔流出過程中, 容器里水面的高度容器里水面的高度 h 隨時間隨時間 t 的變的變r由水力學知由水力學知, 水從孔口流出的流量為水從孔口流出的流量為tVQdd hgS262

14、. 0 即即thgVd262. 0d 求水求水小孔橫截面積小孔橫截面積化規(guī)律化規(guī)律.流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度設(shè)在設(shè)在d,ttt 內(nèi)水面高度由內(nèi)水面高度由 h 降到降到 ),0d(d hhhhhdhho解解建立坐標系建立坐標系 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程16cm100rhhdhho對應下降體積對應下降體積hrVdd2 22)100(100hr 2200hh hhhVd)200(d2 因此得微分方程定解問題因此得微分方程定解問題:hhhthgd)200(d262. 02 1000 th將方程分離變量將方程分離變量:hhhgtd)200(26

15、2. 0d2321 thgVd262. 0d 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程17gt262. 0 兩端積分兩端積分, 得得g262. 0 hhhd)200(2321 233400(h)5225h C 利用初始條件利用初始條件, 得得5101514262. 0 gC因此容器內(nèi)水面高度因此容器內(nèi)水面高度 h 與時間與時間 t 有下列關(guān)系有下列關(guān)系:).310107(265. 4252335hhgt 1000 thcm100rhhdhhohhhgtd)200(262. 0d2321 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程18可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程分離變量

16、分離變量兩端積分兩端積分三、小結(jié)三、小結(jié)解法解法:隱式隱式(或顯式或顯式)通解通解0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程19, 2lnd2)()(20 ttfxfxfx滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式設(shè)設(shè)).()( xf則則; 2lne .Ax; 2lne .B2x; 2lne .C x2lne .D2 x分析分析 有兩種方法有兩種方法其一其一, 將所給選項代入關(guān)系式直接驗算將所給選項代入關(guān)系式直接驗算,B(B)正確正確.其二其二, 對積分關(guān)系式兩邊求導化為微分方程對積分關(guān)系式兩邊求導化為微分方程,并注意到由所給關(guān)系式在特殊點可確定出微分方程并注意到由所給關(guān)系式在特殊點可確定出微分方程所應滿足的初始條件所應滿足的初始條件.考研數(shù)學一考研數(shù)學一, 3分分思考題思考題 5.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程20一般一般, 未知函數(shù)含于未知函數(shù)含于變上限的積分變上限的積分中時中時, ?？沙？赏ㄟ^對關(guān)系式兩邊求導而