1、一10(1)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的概念，分析數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模的關(guān)系。2建立數(shù)學(xué)模型的一般方法是什么？在建模中如何應(yīng)用這些方法，結(jié)合實(shí)例 加以說(shuō)明。二10分、(1).簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的一般步驟，分析每個(gè)步驟的主要內(nèi)容和注意事 項(xiàng)。(2)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形態(tài)，并舉例說(shuō)明。三10分、1簡(jiǎn)述合理分配席位的Q-值方法,包括方法的具體實(shí)施過(guò)程，簡(jiǎn)述分配席位的理想化原那么。2建立錄像機(jī)記數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間之 間的關(guān)系模型，包括模型假設(shè)與模型建立全過(guò)程。四(15分)1建立不允許缺貨情況下的存儲(chǔ)模型，確定訂貨周期和訂貨量包 括問(wèn)題表達(dá)，模型假設(shè)和求解過(guò)程.2建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型.設(shè) 生產(chǎn)速率為常數(shù)k，

2、銷售速率為常數(shù)r,k r 在每個(gè)生產(chǎn)周期 T內(nèi)，開(kāi)始的一段時(shí)間0 t To丨一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來(lái)的一段時(shí)間(To t T丨只銷售不生產(chǎn)設(shè)每次生產(chǎn)開(kāi)工費(fèi)為山，單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為C2，:a)求出存儲(chǔ)量q(t) 的表示式并畫出示意圖。2以總費(fèi)用最小為準(zhǔn)那么確定最優(yōu)周期 T，討論k r 的情況.五15分、1建立傳染病傳播的SIS模型并求解簡(jiǎn)述假設(shè)條件和求解過(guò)程，2建立SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫出相軌線并進(jìn)行分析。 六15分1建立一般的戰(zhàn)爭(zhēng)模型，分析各項(xiàng)所表示的含義。2在假設(shè)X。y°,b 9a條件下對(duì)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型忽略增援和非戰(zhàn)斗減員進(jìn)行建模求解，確 定戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局和結(jié)束時(shí)

3、間。七15分設(shè)漁場(chǎng)魚量的自然增長(zhǎng)服從模型x rxln-，又單位時(shí)間捕撈量為Xh Ex .討論漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量hm及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度Em和漁場(chǎng)魚量水平X。.八10分假設(shè)商品價(jià)格yk和供應(yīng)量Xk滿足差分方程yk1 y°(“： Xk x°),02Xk 1 X0(yk y0)0求差分方程的平衡點(diǎn)，推導(dǎo)穩(wěn)定條件參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一10(1)簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的概念，分析數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模的關(guān)系。2建立數(shù)學(xué)模型的一般方法是什么？在建模中如何應(yīng)用這些方法，結(jié)合實(shí)例加以說(shuō)明。解：(1)數(shù)學(xué)模型可表述為：對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了特定的目的，根據(jù)特有的規(guī)律，作

4、出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)式數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建 模的關(guān)系：數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模得到的最后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 式，是數(shù)學(xué)建模的結(jié)果，是名詞。而數(shù)學(xué)建模是解決問(wèn)題的全過(guò)程，是動(dòng)名詞。2一般方法包括：機(jī)理分析方法，根據(jù)客觀對(duì)象的本質(zhì)特征和規(guī)律，分析事物開(kāi)展的數(shù)量關(guān)系； 測(cè)試分析方法，把客觀對(duì)象作為黑箱子進(jìn)行測(cè)試實(shí)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，應(yīng)用擬合方法尋找擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最正確模型一般這兩種方法相結(jié)合，機(jī)理分析確定模型的結(jié)構(gòu)，其中包含未知 的參數(shù)，應(yīng)用測(cè)試分析方法確定參數(shù).能講機(jī)理時(shí)用機(jī)理，不能講機(jī)理時(shí)用數(shù)據(jù)如應(yīng)用微分 分析法得到的人口增長(zhǎng)模型，如指數(shù)模型，阻滯增長(zhǎng)

5、模型，都屬于機(jī)理分析方法，而其中 的參數(shù)必須用實(shí)際的數(shù)據(jù)應(yīng)用測(cè)試分析方法確定。二10分、1.簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的一般步驟，分析每個(gè)步驟的主要內(nèi)容和考前須知。2簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形態(tài)，并舉例說(shuō)明。解：1數(shù)學(xué)建模的一般步驟包括：模型準(zhǔn)備-了解實(shí)際背景，搜索相關(guān)信息，分析影響因素， 形成一個(gè)清晰的問(wèn)題。 模型假設(shè)-分析各種影響因素的關(guān)系， 確定主要因素和次要因素，對(duì)主 要因素作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，引入變量。模型構(gòu)成-根據(jù)特有的規(guī)律和所做的假設(shè)應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模，得到數(shù)學(xué)模型。模型求解-應(yīng)用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)軟件對(duì)模型進(jìn)行求解。模型分析-對(duì)模型誤差分析，收斂性分析，穩(wěn)定性分析和穩(wěn)健性，局限性分析

6、模 型檢驗(yàn)-檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m應(yīng)性與應(yīng)用性 有效性.2數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形態(tài)包括線性與非線性，確定性與隨機(jī)性，離散性與連續(xù)，靜態(tài)與動(dòng)態(tài)等人口模型中，指數(shù)模型為線性的，阻滯增長(zhǎng) 模型為非線性的，不考慮隨機(jī)因素的模型為確定性模型，如常見(jiàn)的人口模型。如考慮隨機(jī)因素，那么得到隨機(jī)人口模型。微分方程屬于連續(xù)模型，差分方程屬于離散模型。隨時(shí)間變化的 微分方程和差分方程都是動(dòng)態(tài)的，如連續(xù)優(yōu)化模型和單階段離散優(yōu)化模型與時(shí)間無(wú)關(guān)屬于靜 態(tài)模型，三10分、1簡(jiǎn)述合理分配席位的 Q-值方法，包括方法的具體實(shí)施過(guò)程，簡(jiǎn)述分配席 位的理想化原那么。2建立錄像機(jī)記數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間之間的關(guān)系模型，包括模 型假設(shè)與模型建立全過(guò)

7、程。解：1合理分配席位的方法 Q-值方法，是實(shí)施過(guò)程為：a按照比例取整方法進(jìn)行初次分2配，b對(duì)剩余的席位采用動(dòng)態(tài)分配，計(jì)算各方的Q 值，即QiP，將剩余的m ni 1該席位分配給Qi較大的一方，c依序分配完剩余的席位。第一頁(yè)2模型假設(shè)：設(shè)空盤半徑為 考慮轉(zhuǎn)過(guò)的磁帶的長(zhǎng)度，那么有vt 2 (r w) (r 2w)(rnw) 2 nr (n )nwr,磁帶厚度為 w，轉(zhuǎn)數(shù)設(shè)為n,時(shí)間為t，速度為v，那么故關(guān)系模型為v 2丄n 里門門 1。v v四15分1建立不允許缺貨情況下的存儲(chǔ)模型，確定訂貨周期和訂貨量包括問(wèn)題表達(dá)模型假設(shè)和求解過(guò)程 2建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)k ,銷售速

8、率為常數(shù)r,k r 在每個(gè)生產(chǎn)周期T內(nèi)，開(kāi)始的一段時(shí)間o t T。丨一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來(lái)的一段時(shí)間(To t T只銷售不生產(chǎn)設(shè)每次生產(chǎn)開(kāi)工費(fèi)為ci，單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為C2 , a)求出存儲(chǔ)量q(t)的表示式并畫出示意圖。2以總費(fèi)用最小為準(zhǔn)那么確定最優(yōu)周期 T,討論k r的情況.解：1定義變量及其參數(shù),定貨費(fèi)，單位時(shí)間單位貨物的儲(chǔ)存費(fèi)，一周期的總費(fèi)用，以平均 每天的費(fèi)用為目標(biāo)，應(yīng)用微積分得到表示式c(T)1CoCoTrT7C1Co*T2在(0 t To)時(shí)間段,q(t)(kr )t為斜率為(kr)的直線，在(To t T)時(shí)間dc dT訂貨量為Q Trq(t) (k r)To r(t T

9、°) kT° rt單位時(shí)間總費(fèi)用5T)C1TC2r(k2kr)T，使C(T)取最小值的最正確周期*2C1k*l2C1T。當(dāng)kr時(shí),T1，相當(dāng)于瞬時(shí)生產(chǎn)的情況。C2r(k r)Gr段，只銷售不生產(chǎn),五15分、1建立傳染病傳播的 SIS模型并求解簡(jiǎn)述假設(shè)條件和求解過(guò)程，2建立 SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫出相軌線并進(jìn)行分析。解：SIS模型。設(shè)治愈率為，那么方程為第二頁(yè)di1i (1 i) ii(1)，dt蟲si idtds2)SIR模型的方程為一si,相平面方程為dti(0)io, s(0) sodi 1,1ds s ,在相平面上畫出相I s So i0軌線，分

10、析變化規(guī)律。六15分1建立一般的戰(zhàn)爭(zhēng)模型，分析各項(xiàng)所表示的含義。2在假設(shè)x0 y0,b 9a條件下對(duì)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型忽略增援和非戰(zhàn)斗減員進(jìn)行建模求解，確定戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局和結(jié)束時(shí)間。解：一般戰(zhàn)爭(zhēng)模型為 dx f(x,y) x u,dy g(x, y) y v dtdt第一項(xiàng)為戰(zhàn)斗減員，其表示式依賴于戰(zhàn)爭(zhēng)類型，第二項(xiàng)為非戰(zhàn)斗減員，第三項(xiàng)為增援。d2y dt2b 魚 aby dt29a y，通解為y(t)3 at3atGec2e初始條件為y(0)y0, y (0)by09ay。求解得到t*In 26a11y01113a3a9ay°03 at e1133 at3at06 at10eee2e6atln

11、26a七15分設(shè)漁場(chǎng)魚量的自然增長(zhǎng)服從模型論漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量x rx ln，又單位時(shí)間捕撈量為h Ex .討xh m及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度Em和漁正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型dxdyay,bx 。軌線方程為dtdtdybx, 22bx aybx°ay°8ax0y0,x J8x0 ,因此乙方(Y)敗。要求結(jié)dxay、9束時(shí)間，需要對(duì)方程求導(dǎo)化為二階微分方程場(chǎng)魚量水平x0 .N解：模型為x F(x) rx lnEx，有二個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)xN''F (x) rln (r E) , F (0 ) ,F (x。)rxE,r的大小無(wú)關(guān)持續(xù)產(chǎn)量為h(E)ENe E/r

12、dhdEx 0和 x°Ne 。0,即x 0不穩(wěn)定，x0穩(wěn)定與Ne E/r10 E r，最rN* N大持續(xù)產(chǎn)量為hm , x0Nee八10分假設(shè)商品價(jià)格 yk和供應(yīng)量xk滿足差分方程Yk iYo(Xk；XkXo),oxk iXo(ykYo)o求差分方程的平衡點(diǎn)，推導(dǎo)穩(wěn)定條件解：令k，設(shè)極限存在為x*,y*，那么得到*yyo*xXo(x* Xo) (y* yo)(X*Xo)x* Xo,x* Xo, y*yo，即Xo，y。為平衡用定理可知，其根均小于1的條件為1牙1。因和o, 0 ,故條件為點(diǎn)。由yk 1Yo(Xk1 Xk2Xo),oXk iXo(ykYo)oXk 2Xo(yk iYo)1

13、2Xk 1Xk 2xo整理得到：2Xk 2Xk 1Xk2(1xo，其特征方程為2o，利一 15 分、(1) 簡(jiǎn)述模型概念及其模型的分類 ;(2) 簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的概念 ;(3) 簡(jiǎn) 述數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn) , 包括各項(xiàng)的含義 .二 10(1) 簡(jiǎn)述建立數(shù)學(xué)模型的一般方法，分析這些方法在建模中的應(yīng)用;(2)闡述建立數(shù)學(xué)模型全過(guò)程 ,就數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模過(guò)程給出你的理解與認(rèn)識(shí) . 三10 分、1簡(jiǎn)述建立汽車剎車距離模型的全過(guò)程 . 2建立雙層玻璃窗 的模型，包括模型假設(shè)和建模過(guò)程 , 確定雙層玻璃間的空隙距離四(10 分)建立森林救火模型 , 包括問(wèn)題表達(dá) , 模型假設(shè)和求解過(guò)程 . 五15 分、1建立人

14、口增長(zhǎng)的指數(shù)模型和阻滯增長(zhǎng)模型 ,并求解 . 2建立傳 染病傳播的SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫出相軌線并進(jìn)行分析。 六 15分 (1) 建立捕撈情況下的漁場(chǎng)魚量滿足的方程，分析平衡點(diǎn)，在平衡 條件下確定捕撈強(qiáng)度以獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量 ;(2) 在(1) 的根底上，建立效益模 型，確定捕撈強(qiáng)度。七(15 分)(1) 建立確定最優(yōu)價(jià)格的數(shù)學(xué)模型 ;(2) 假設(shè)本錢隨著產(chǎn)量的增加而降 低 , 建立模型并求解 .八(10 分)在考慮最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題時(shí)設(shè)銷售期為 T ，由于商品的損耗，本錢 q 隨 時(shí)間增長(zhǎng)，設(shè) q q0 t， 為增長(zhǎng)率又設(shè)單位時(shí)間的銷售量為 x a bp p 為價(jià)格。今將銷售

15、期分為0 t T/2和T/2 t T兩段，每段的價(jià)格固定，記 作pi,p2，求Pi,P2的最優(yōu)值使銷售期內(nèi)的總利潤(rùn)最大.如果要求銷售期Q內(nèi)的總售量為Qo，再求Pl,P2的最優(yōu)值.參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一15分 、(1) 簡(jiǎn)述模型概念及其模型的分類 ;(2) 簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的概念 ;(3) 簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，包括各項(xiàng)的含義 象模型可分為思維思維模型 , 符號(hào)模型與數(shù)學(xué)模型 .(2) 數(shù)學(xué)模型可表述為 :對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象 , 為了特定的目的 , 根據(jù)特 有的規(guī)律 , 作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè) , 應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具 , 得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)式 .(3) 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn) :模型的逼真性與可行性 , 模

16、型的漸進(jìn)性 , 模型的條理性 , 模型 的技藝性 , 模型的穩(wěn)健性等 .二10 (1) 簡(jiǎn)述建立數(shù)學(xué)模型的一般方法，分析這些方法在建模中的應(yīng)用 ; (2)闡述建立數(shù)學(xué)模型全過(guò)程 ,就數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模過(guò)程給出你的理解與認(rèn)識(shí) . 解:解:(1) 一般方法包括 : 機(jī)理分析方法 , 根據(jù)客觀對(duì)象的本質(zhì)特征和規(guī)律 , 分析 事物開(kāi)展的數(shù)量關(guān)系 ; 測(cè)試分析方法 , 把客觀對(duì)象作為黑箱子進(jìn)行測(cè)試實(shí)驗(yàn) , 根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) , 應(yīng)用擬合方法尋找擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最正確模型 . 一般這兩種方法 相結(jié)合 , 機(jī)理分析確定模型的結(jié)構(gòu) , 其中包含未知的參數(shù) , 應(yīng)用測(cè)試分析方法確定 參數(shù). 能講機(jī)理時(shí)用機(jī)理 , 不能

17、講機(jī)理時(shí)用數(shù)據(jù) .(2) 畫出數(shù)學(xué)建模全過(guò)程的流程圖 , 解釋四個(gè)環(huán)節(jié) : 從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的翻譯 即將現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題表示成數(shù)學(xué)問(wèn)題 , 問(wèn)題求解 :應(yīng)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解.解釋：將得到的數(shù)學(xué)答案解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)世界到現(xiàn)實(shí)世界的翻譯 驗(yàn)證:根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的解釋和實(shí)際數(shù)據(jù)的比照驗(yàn)證模型的正確性與有效性.三10分、1簡(jiǎn)述建立汽車剎車距離模型的全過(guò)程.2建立雙層玻璃窗 的模型，包括模型假設(shè)和建模過(guò)程，確定雙層玻璃間的空隙距離.解：(1)分為反響距離與制動(dòng)距離，分別建立模型模型示意圖：QikiQ2kiTi T22d境丨丨堪%寧人竽© kidH2)，S唱h寸QiQ218h

18、1四(10分)建立森林救火模型，包括問(wèn)題表達(dá)，模型假設(shè)和求解過(guò)程 解:分析問(wèn)題,定義變量,考慮救援費(fèi)和損失費(fèi)C(x)C12tf2( x )2cgt22c2t1五15分、1建立人口增長(zhǎng)的指數(shù)模型和阻滯增長(zhǎng)模型，并求解2建立傳 染病傳播的SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫出相軌線并進(jìn)行分析。解：指數(shù)模型d rx x(t) x0e"dt阻滯增長(zhǎng)模型呀珅x)Xmx(t)XmXo1)ertdiSI idt(2)SIR模型的方程為ds si，相平面方程為dti(0) io,s(O) Sodi 1,1ds s ,相軌線為i s So i0六15分(1)簡(jiǎn)述最優(yōu)化模型的一般形式；(2)寫出線性規(guī)劃的一般形式 (3)給出一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的例子，闡述建立模型與求解的全過(guò)程.解:最優(yōu)化模型的一般形式Max(m