1、0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx 表示函數(shù)表示函數(shù) z = f(x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) M0(x0, y0) 處沿處沿 x 軸方向軸方向的變化率（傾斜度）的變化率（傾斜度）偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) fx(x0, y0) 是曲線是曲線0( , ):zf x ylyy在點(diǎn)在點(diǎn) x = x0 處的切線的斜率：處的切線的斜率：00(,)tanxfxy00(,)xy( , )zf x y0yy0( , ):zf x ylyy00(,)tanxfxy00(,)tanxfxya00(,)tanyfxy第十章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的

2、幾何應(yīng)用一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面 過點(diǎn)過點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法法平面平面.空間光滑曲線在點(diǎn)空間光滑曲線在點(diǎn) M 處的處的切線切線為此點(diǎn)處割線的極限為此點(diǎn)處割線的極限位置位置.TM7.6.1 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)()()()(1 tztytx ozyx(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).M.),(0000tttzzyyxxM 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于;),(0000ttzyxM 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于設(shè)設(shè)M 1 曲線方程為參數(shù)式曲線方程為參數(shù)式考察割線趨近于極限位置考

3、察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割線割線 的方程為的方程為MM ,000zzzyyyxxx ,0,時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) tMM曲線在曲線在M處的處的切線方程切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttT 法平面法平面：過：過M點(diǎn)且與切線垂直的平面點(diǎn)且與切線垂直的平面.0000000 )()()(zztyytxxt 例例1處的切線處的切線在點(diǎn)在點(diǎn)求曲線求曲線),(,11132tztytx 及法

4、平面方程及法平面方程.解解所對(duì)所對(duì)而點(diǎn)而點(diǎn)因?yàn)橐驗(yàn)?,(,1113212tztyxttt ).,(321 T切線方程為切線方程為.312111 zyx法平面方程為法平面方程為,)()()(013121 zyx即即. 632 zyx應(yīng)的參數(shù)應(yīng)的參數(shù)t =1, 所以所以空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(000001xzzxyyxx .)()()(000000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為2 當(dāng)曲面方程為一般式曲面方程為一般式)(),(,(001xxT 切向量切向量當(dāng)空間曲線方程為當(dāng)空間曲線方程為,0),(0)

5、,( zyxGzyxF切線方程為切線方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程為法平面方程為.)()()(0000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy切向量切向量 000yxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFT, , 2dd5dd3,23dd2dd2xzxyxxzzxyy,61010415ddzyxzxy ,610649ddzyyxxz 解解,169dd) 1, 1 , 1 ( xy,161dd) 1, 1 , 1 ( xz例例2在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1,1)處的切線方程與法平面方程處的切線方程與法平面方程.

6、04532, 03222zyxxzyx求曲線求曲線將所給方程的兩邊對(duì)將所給方程的兩邊對(duì)x 求導(dǎo)并移項(xiàng)，得求導(dǎo)并移項(xiàng)，得由由此此得得切切向向量量),161,169, 1 ( T所求切線方程為所求切線方程為,1191161 zyx法平面方程為法平面方程為, 0) 1() 1(9) 1(16 zyx. 024916 zyx設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為0),( zyxF 在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點(diǎn)過點(diǎn)M的曲線的曲線,)()()(: tztytx 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 上任何一條過點(diǎn)上任何一條過點(diǎn)M的曲線在點(diǎn)的曲線在點(diǎn)M處的切線都在同處的切線都在同一平面上一平面上,則稱這個(gè)平面

7、是曲面在點(diǎn)則稱這個(gè)平面是曲面在點(diǎn)M處的處的切平面切平面. 設(shè)設(shè)M (x0, y0, z0)是曲面是曲面上一點(diǎn)上一點(diǎn),如果曲如果曲面面定義定義0y0MTnyxzo 由于曲線由于曲線完全在曲面完全在曲面所以有恒等式所以有恒等式上上, 0)(),(),( tttF 上式對(duì)上式對(duì)t 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù), 并代入并代入 t = t0, 得得0)(),()(),()(),(000000000000 tzyxFtzyxFtzyxFzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令),(),(),(000tttT 曲線在曲線在M處的切向量處的切向量M則則,Tn n的切線構(gòu)成了曲面的切

8、線構(gòu)成了曲面 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切平面。處的切平面。 0Mn切平面切平面由于曲線是曲面上通過由于曲線是曲面上通過M的任意一的任意一 條曲線，條曲線， 它們?cè)谒鼈冊(cè)贛的切線都與同一的切線都與同一n垂直，垂直， 向量向量故曲面上通過故曲面上通過M的一切曲線在點(diǎn)的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在的切線都在 同一平面上，同一平面上，這個(gè)平面就是這個(gè)平面就是曲面在點(diǎn)曲面在點(diǎn)M的的切平面切平面. 這些與這些與 n垂直垂直M切平面的法向量：切平面的法向量：切平面方程：切平面方程：法線方程：法線方程：),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx ),(),(),(000000000000zyxFz

9、zzyxFyyzyxFxxzyx 0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx切切平平面面法線法線切切點(diǎn)點(diǎn)曲面曲面0),( zyxF在在M(x0, y0, z0)處處M332211zyx 例例6 求球面求球面x2 y2 z2 14在點(diǎn)在點(diǎn)(1, , 2, , 3)處的切平面及法線方程處的切平面及法線方程 F(x, , y, , z) x2 y2 z2 14, , 解解 Fx 2x, , Fy 2y, , Fz 2z, , Fx(1, , 2, , 3) 2, , Fy(1, , 2, , 3) 4, , Fz(1, , 2, , 3) 6 法向

10、量為法向量為n (2, , 4, , 6), , 法線方程為法線方程為 或或n (1, , 2, , 3) 曲面曲面 F(x, , y, , z) 0在點(diǎn)在點(diǎn)M0(x0, , y0, , z0)處的法向量為處的法向量為n (Fx(x0, , y0, , z0), , Fy(x0, , y0, , z0), , Fz(x0, , y0, , z0) 即即x 2y 3z 14 (x 1) 2(y 2) 3(z 3) 0, , 所求切平面方程為所求切平面方程為 例例橢球面橢球面2222221xyzabc在點(diǎn)在點(diǎn) (x0, y0, z0) 處的切平面方程處的切平面方程: 0002221x xy yz

11、zabc球面球面22214xyz在點(diǎn)在點(diǎn) (1, 2, 3) 處的切平面方程處的切平面方程: 12314xyz 2314xyz曲面：曲面：:( , )zf x y顯函數(shù)顯函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處的切平面處的切平面0000(,)Mxy z( , , )F x y z( , )f x yz,xyzF F Fn0000(,),(,), 1xyfxyfxyxxFfyyFf1zF 法向量：法向量：0000(,),(,), 1xyfxyfxyn切平面方程：切平面方程：000 (,)()xfxyxx000 + (,)()yfxyyy0 +( 1)()zz=0法線方程：法線方程：000(,)xxxfxy000(,)yy

12、yfxy01zz000 + (,)()yfxyyy z 000 (,)()xfxyxx00 + (,)f xy或或 例例7 求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面z x2 y2 1在點(diǎn)在點(diǎn)(2, , 1, , 4)處的切平面及法處的切平面及法線方程線方程 解解 f(x, , y) x2 y2 1, , n (fx, , fy, , 1)|(2, , 1, , 4) (2x, , 2y, , 1)|(2, , 1, , 4) (4, , 2, , 1) 法線方程為法線方程為 即即 4x 2y z 6 0 4(x 2) 2(y 1) (z 4) 0, , 所以在點(diǎn)所以在點(diǎn)(2, , 1, , 4)處的切平面方程

13、為處的切平面方程為 142142zyx 曲面曲面 z f(x, , y)在點(diǎn)在點(diǎn)M0(x0, , y0, , z0)處的法向量為處的法向量為n (fx(x0, , y0), , fy(x0, , y0), , 1) )(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點(diǎn)的上點(diǎn)的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量的全微分的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz 因?yàn)榍嬖谝驗(yàn)榍嬖贛處的切平面方程為處的切平面方程為 z=f ( (x, ,y) )在在(x0, y0)的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面z=f ( (x, ,y) )在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0, z0)處的切平處

14、的切平面上的點(diǎn)的面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量豎坐標(biāo)的增量. 全微分的幾何意義全微分的幾何意義第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)二、梯度二、梯度一、問題的提出一、問題的提出一塊長方形的金屬板，受熱一塊長方形的金屬板，受熱產(chǎn)生如圖溫度分布場產(chǎn)生如圖溫度分布場. 設(shè)一個(gè)小蟲在板中逃生至某設(shè)一個(gè)小蟲在板中逃生至某問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？處，處，問題的問題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)： 應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的方向爬行方向爬行需要計(jì)算場中各點(diǎn)沿不同方向的溫度變化率，需要計(jì)算場中各點(diǎn)沿不同方向的溫度變化率，從而確定出溫度下

15、降的最快方向從而確定出溫度下降的最快方向引入兩個(gè)概念：引入兩個(gè)概念：方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)和和梯度梯度方向?qū)?shù)問題方向?qū)?shù)問題梯度問題梯度問題【回顧】一元函數(shù)一元函數(shù))(xfy 0ddxxxy 反應(yīng)函數(shù)反應(yīng)函數(shù) y 在點(diǎn)在點(diǎn)x0處沿處沿x軸軸直線直線方向的變化率方向的變化率. .二元函數(shù)二元函數(shù)),(yxfz ),(00yxxz 反應(yīng)函數(shù)反應(yīng)函數(shù)z在點(diǎn)在點(diǎn)P(x0 , y0)處沿處沿x軸直線軸直線方向的變化方向的變化率率),(00yxyz 反應(yīng)函數(shù)反應(yīng)函數(shù)z在點(diǎn)在點(diǎn)P(x0 , y0)處沿處沿y 軸軸直線直線方向的變化方向的變化率率【問題】【問題】 二元函數(shù)二元函數(shù)z = = f ( (x , ,y

16、) )在點(diǎn)在點(diǎn)P(x0 , y0)處沿其它處沿其它射線射線方向的變化率如何？方向的變化率如何？( (x , ,y同時(shí)在變化同時(shí)在變化) ),(00yxP),(yxfz 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)P沿某一方向沿某一方向的變化率問題的變化率問題),(yxfz 二、方向?qū)?shù)的定義（如圖）（如圖） l 的參數(shù)方程的參數(shù)方程)0( coscos )cos,(cos),(00000ttyytxxleyxPxoyll 且同向的單位向量是與點(diǎn)的一射線，為始面上以是設(shè). 0的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)點(diǎn)沿方向點(diǎn)沿方向則稱這極限為函數(shù)在則稱這極限為函數(shù)在lP)( , )cos,cos()( ),(),(0000000

17、PUPltytxPPUyxPyxfz 上另一點(diǎn)上另一點(diǎn)為為內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，的某鄰域的某鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè)),()cos,cos(0000yxftytxfz tPP 0,),()cos,cos( 00000tyxftytxfPPz 若若時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在即即趨于趨于沿沿當(dāng)當(dāng))0(0 tPlP記為記為tyxftytxflftyx),()cos,cos(lim00000),(00 1.【定義】定義】 ),(軸正向軸正向沿沿依定義，依定義，xyxf的偏導(dǎo)數(shù)存在的偏導(dǎo)數(shù)存在在點(diǎn)在點(diǎn)若若0),( Pyxf)0cos, 1cos ( 此時(shí)此時(shí)tyxftytxflftyx),()cos,cos(lim

18、00000),(00 ),(),(lim00000),(00yxfyyxxflfyx ) )()( (22yx (2)tyxfytxflftyx),(),(lim00000),(00 00(,)xfxy【說明】【說明】(1) 對(duì)方向?qū)?shù)對(duì)方向?qū)?shù), ,以下兩種定義方式等價(jià)以下兩種定義方式等價(jià) ),(軸軸負(fù)負(fù)向向沿沿xyxf)0cos, 1cos( 此時(shí)此時(shí)tyxfytxflftyx ),(),(lim00000),(0000(,)xfxy ),(),( 00000yxfyxfyPyy 、分別為分別為數(shù)數(shù)軸正向、負(fù)向的方向?qū)лS正向、負(fù)向的方向?qū)c(diǎn)沿點(diǎn)沿同理，在同理，在綜上綜上可知：可知：若某點(diǎn)若

19、某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)存在，能保證該點(diǎn)沿能保證該點(diǎn)沿x、y 軸軸的四個(gè)的四個(gè)射線方向射線方向的方向?qū)?shù)分別的方向?qū)?shù)分別存在存在. .其它方向的方向?qū)?shù)其它方向的方向?qū)?shù)是否存在是否存在未知未知. .兩兩偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在在在頂頂點(diǎn)點(diǎn)圓圓錐錐面面)0 , 0(),( 22oyxyxfz例如例如tfttflzt)0 , 0()cos,cos(lim0)0 , 0(1coscoslim22220 tttt)cos,(cos l(3) 但反之，若但反之，若方向?qū)?shù)存在方向?qū)?shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)不一定存在偏導(dǎo)數(shù)不一定存在2. 【方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算】方向?qū)?shù)何時(shí)存在、以及與偏導(dǎo)數(shù)有

20、何關(guān)系，有如下定理方向?qū)?shù)何時(shí)存在、以及與偏導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系，有如下定理利用偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方向?qū)?shù)的公式利用偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方向?qū)?shù)的公式故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù)公式公式),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx【注意】【注意】(1)可微可微是方向?qū)?shù)存在的是方向?qū)?shù)存在的充分充分條件條件. . 此時(shí)此時(shí)(2)在在不可微不可微點(diǎn)，方向?qū)?shù)也點(diǎn)，方向?qū)?shù)也可能可能存在，存在， 此時(shí)要用此時(shí)要用方向?qū)?shù)定義方向?qū)?shù)定義求求. . 例例1 求函數(shù)求函數(shù)z xe2y在點(diǎn)在點(diǎn)P(1, , 0)處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)Q(2, , 1)的方的方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù) 解解 所以所求方向?qū)?shù)為

21、所以所求方向?qū)?shù)為 函數(shù)函數(shù)f(x, , y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0沿方向沿方向l (el (cos , , cos )的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx 解 ) 1 , 1 (PQ, 與 l 同向的單位向量為因?yàn)楹瘮?shù)可微分因?yàn)楹瘮?shù)可微分, , 且且 1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz22)21(2211) 0 , 1 (lz) 1 , 1 (PQ, 與 l 同向的單位向量為)21 ,21(le 1) 0 , 1 (2) 0 , 1 (yexz1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz, 1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz 22

22、)0 , 1 (2)0 , 1 (yxeyz22)0 , 1 (2)0 , 1 (yxeyz22) 0 , 1 (2) 0 , 1 (yxeyz, 22)21(2211) 0 , 1 (lz22)21(2211) 0 , 1 (lz 例例2 求求f(x, , y, , z) xy yz zx在點(diǎn)在點(diǎn)(1, , 1, , 2)沿方向沿方向l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù), , 其中其中l(wèi)的方向角分別為的方向角分別為60, , 45, , 60 解解 與與l同向的單位向量為同向的單位向量為 )21 ,22 ,21()60cos,45cos,60(cosle 因?yàn)楹瘮?shù)可微分因?yàn)楹瘮?shù)可微分, , 且且 所以所以

23、 )235 (21212223213)2 , 1 , 1 (lf)235 (21212223213)2 , 1 , 1 (lf)235 (21212223213)2 , 1 , 1 (lf fx(1, , 1, , 2) (y z)|(1, , 1, , 2) 3, , fy(1, , 1, , 2) (x z)|(1, , 1, , 2) 3, , fz(1, , 1, , 2) (y x)|(1, , 1, , 2) 2, , 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 D 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)DyxP ),(，都可定出一個(gè)向

24、量都可定出一個(gè)向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度:?P問問題題函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度最最快快二、梯度二、梯度一塊長方形的金屬板，受熱一塊長方形的金屬板，受熱產(chǎn)生如圖溫度分布場產(chǎn)生如圖溫度分布場. 設(shè)一個(gè)小蟲在板中逃生至某設(shè)一個(gè)小蟲在板中逃生至某問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？處，處，問題的解決：問題的解決：哪個(gè)方向由熱到冷變化的速度最哪個(gè)方向由熱到冷變化的速度最快，就往哪爬。即

25、往哪個(gè)方向，快，就往哪爬。即往哪個(gè)方向，方向?qū)?shù)才能取得最大值？方向?qū)?shù)才能取得最大值？fl,ffxycos ,cos grad f0l0grad cosf lgrad cosf0lgrad fcosfxcosfy0lgrad fflgrad cosf當(dāng)當(dāng)0即，即，l與向量與向量,ffxy方向相同時(shí)，方向相同時(shí)，方向?qū)?shù)取到最大值：方向?qū)?shù)取到最大值：flgrad cos0fgrad f因此向量因此向量,ffxy是使函數(shù)在一點(diǎn)的方向?qū)?shù)達(dá)是使函數(shù)在一點(diǎn)的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向到最大值的方向向量向量,ffxy是使函數(shù)在一點(diǎn)增加得最快的是使函數(shù)在一點(diǎn)增加得最快的方向方向稱向量稱向量為函數(shù)為函數(shù)

26、z = f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y) 處的處的，簡稱，簡稱 (gradient)，記作，記作grad ,fffxy= fffxyij,ffxy其中其中,xy稱為稱為向量微分算子向量微分算子或或 Nabla算子算子.梯度是一個(gè)向量梯度是一個(gè)向量它是函數(shù)它是函數(shù) z = f(x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y) 處取得最大方向處取得最大方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)的方向最大方向?qū)?shù)為：最大方向?qū)?shù)為：zlgrad f22()()ffxycossinffflxy,cos| ),(| yxgradf 00(,)|( , )|xyfgradf x yl 00(,)|( , )|cos0 xyfgradf x

27、 yl00(,)|( , )|xyfgradf x yl),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖2梯度的幾何解釋梯度的幾何解釋所得曲線在所得曲線在xoy面上投影為平面曲線面上投影為平面曲線( , ).f x yc稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的的等值線等值線( , )zf x y方程兩邊微分：方程兩邊微分：( , )( )df x yd c0,ffdxdyxy, ,0ffdx dyxy, ( , ) dx dyf x yC向量是等值線的切向量,ffxy梯度向量與等值線垂直。或者

28、說：或者說： 梯度的方向就是等值線在這點(diǎn)的法線方向。梯度的方向就是等值線在這點(diǎn)的法線方向。,dx dyTgradfoyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等值線等值線),(yxgradf梯度為等值線上的法向量梯度為等值線上的法向量P問題：問題：上山下山時(shí)，如何選擇最快的方向？上山下山時(shí)，如何選擇最快的方向？.),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣

29、到三元函數(shù)三元函數(shù)梯度的幾何解釋：三元函數(shù)梯度的幾何解釋：三元函數(shù)三元函數(shù) 的等值面：的等值面：( , , )uf x y z:( , , )f x y zc由切平面的討論，知梯度由切平面的討論，知梯度grad,ffffxyz是等值面是等值面在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y,z)處的法向量。處的法向量。故梯度向量故梯度向量grad,ffffxyz在任何點(diǎn)都垂直于函數(shù)的等值面，并且從函數(shù)值較小的在任何點(diǎn)都垂直于函數(shù)的等值面，并且從函數(shù)值較小的等值面指向函數(shù)值較大的等值面。等值面指向函數(shù)值較大的等值面。梯度的運(yùn)算律梯度的運(yùn)算律類似于導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算律類似于導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算律0,c ()uvuv ()cuc u ()uvv u

30、u v ( ( )( )f uf uu2( )uu vv uvv 其中其中C為常數(shù)。為常數(shù)。因?yàn)?222)(2yxxxf, 例 3 求221 yx grad 解 這里于是于是 grad f(1, , 1, , 2) 例例4 設(shè)設(shè)f(x, , y, , z) x2 y2 z2, , 求求grad f(1, , 1, , 2) 解解 grad f (fx, , fy, , fz) (2x, , 2y, , 2z), , (2, , 2, , 4) 解 這里221),(yxyxf 222)(2yxxxf, 222)(2yxyyf, 所以 221 yx gradji222222)(2)(2yxyyxx221 yx gradji222222)(2)(2yxyyxx 解解由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu grad(23)(42)60,fxiyjzk令令則在則在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為. 0yxzyxu2332