1、 (2)a=2RsinA,b=2RsinB, ;(3)sinA= sinB= ,sinC= 等形式等形式, 以解決以解決不同的三角形問題不同的三角形問題.返回目錄返回目錄 1.正弦定理正弦定理: 其中其中R是三角形外接圓的半徑是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形為由正弦定理可以變形為 : a:b:c=sinA:sinB:sinC; sinAsinAa asinCsinCc c2R2Ra a2R2Rb b2R2Rc c(1)sinBsinBb b 2R c=2RsinC 返回目錄返回目錄 2.余弦定理余弦定理:a2= ,b2= ,c2= .余弦定余弦定理可以變形為理可以變形為:cosA= ,

2、cosB= , cosC= . 3.SABC = absinC= = acsinB= = (a+b+c)r（r是三角形內(nèi)切圓的半徑），并可由是三角形內(nèi)切圓的半徑），并可由此計算此計算R,r.2 21 12 21 14R4Rabcabc2 21 1b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC2bc2bc a a- -c cb b2 22 22 22bc2bc b b- -c ca a2 22 22 22bc2bc c c - -b ba a2 22 22 2bcsinA 2 21 1 返回目錄返回目錄 4.在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：（在解三角形時，正

3、弦定理可解決兩類問題：（1）已知兩角及任一邊，求其他邊或角；（已知兩角及任一邊，求其他邊或角；（2）已知兩邊及一）已知兩邊及一邊的對角，求其他邊或角邊的對角，求其他邊或角.情況情況 (2)中結(jié)果可能有一解、二中結(jié)果可能有一解、二解、無解，應(yīng)注意區(qū)分解、無解，應(yīng)注意區(qū)分.余弦定理可解決兩類問題余弦定理可解決兩類問題:(1)已知已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題 ; (2)已知三邊問題已知三邊問題. 5.解三角形的類型 ABC中中,已知已知a,b和和A時時,解的情況如下解的情況如下: A A為銳角為銳角A A為鈍角為鈍角或直角或直角圖圖 形形關(guān)系式關(guān)系式a=bsi

4、nAa=bsinAbsinAabsinAabbab解的個數(shù)解的個數(shù)一解一解兩角兩角一解一解一解一解返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 7.實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線夾角，目標(biāo)視線在水平視線 叫仰角，目標(biāo)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線視線在水平視線 叫俯角（如圖叫俯角（如圖3-7-1中中). 6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等積問題、航

5、海問題、物理問題等.上方上方 下方下方 (2)方位角方位角 指從指從 方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如角，如B點的方位角為點的方位角為（如圖（如圖3-7-1). (3)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).返回目錄返回目錄 正北正北 返回目錄返回目錄 (1)在在ABC中中,a= ,b= ,B=45.求角求角A,C和邊和邊c;(2)在在ABC中中,a=8,B=60,C=75,求邊求邊b和和c.已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊,可利用正弦定理解這個三角形可利用正弦定理解這個三角形,但要注意解的

6、判斷但要注意解的判斷.3 32 2 返回目錄返回目錄 (1)由正弦定理由正弦定理 得得sinA= .ab,A=60或或A=120.當(dāng)當(dāng)A=60時時,C=180- 45- 60=75,c= .當(dāng)當(dāng)A=120時時,C=180- 45- 120=15,c= .由知由知,A=60,C=75,c= 或或A=120,C=15,c= .sinBsinBb bsinAsinAa a23226s si in nB Bb bs si in nC C 226s si in nB Bb bs si in nC C 226226 (2)B=60,C=75,A=45.由正弦定理由正弦定理 ,得得b= a=4 ,c= a=

7、4 +4.返回目錄返回目錄 sinCsinCc csinBsinBb bsinAsinAa as si in nA As si in nC C6s si in nA As si in nB B3 返回目錄返回目錄 (1)已知兩角一邊可求第三角已知兩角一邊可求第三角,解這樣的解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知兩邊和一邊對角已知兩邊和一邊對角,解三角形時解三角形時,利用正弦定利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角理求另一邊的對角時要注意討論該角,這是解題的難點這是解題的難點,應(yīng)引起注意應(yīng)引起注意. 在在ABC中中,a,b,c分別是角分

8、別是角A,B,C的對邊的對邊,且且 .(1)求求B的大小的大小;(2)若若b= ,a+c=4,求求ABC的面積的面積.由由 ,利用余弦定理轉(zhuǎn)化利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解為邊的關(guān)系求解.返回目錄返回目錄 c c2a2ab b- -cosCcosCcosBcosB1 13 3c c2a2ab b- -cosCcosCcosBcosB 返回目錄返回目錄 (1)由余弦定理知由余弦定理知,cosB= ,cosC= . 將上式代入得將上式代入得 整理得整理得a2+c2-b2=-ac, cosB= B為三角形的內(nèi)角，為三角形的內(nèi)角，B= .2ac2acb b- -c ca a2 22 22 22ab2a

9、bc c- -b ba a2 22 22 2c c2a2ab b- -cosCcosCcosBcosB, ,c c2a2ab b- -c c- -b ba a2ab2ab2ac2acb b- -c ca a2 22 22 22 22 22 2, ,2 21 1- -2a2aacac- -2ac2acb b- -c ca a2 22 22 23 32 2 (2)將將b= ,a+c=4,B= 代入代入b2=a2+c2-2accosB,得得b2=(a+c)2-2ac-2accosB， b2=16-2ac(1- ),ac=3. SABC = acsinB= .1 13 3 322121433返回目錄返

10、回目錄 返回目錄返回目錄 （1）根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點利用余弦）根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵. (2)熟練運用余弦定理及其推論熟練運用余弦定理及其推論,同時還要注意整體同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用思想、方程思想在解題過程中的運用. 在在ABC中中,a,b,c為為A,B,C的對邊的對邊,B= ,b= , a+c=4,求求a.由余弦定理由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos=a2+c2+ac=(a+c)2-ac,a+c=4,b= ,ac=3, a+c=4 ac=3,

11、3213返回目錄返回目錄 3213聯(lián)立聯(lián)立解得解得a=1或或a=3. 返回目錄返回目錄 在在ABC中，角中，角A，B，C的對邊分別為的對邊分別為a,b,c,且且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角求角A的大小的大小;(2)若若a= ,求求bc的最大值的最大值;(3)求求 的值的值.3c c- -b bC C) )- -a as si in n( (3 30 0 (1)b2+c2-a2+bc=0的結(jié)構(gòu)形式的結(jié)構(gòu)形式,可聯(lián)想到可聯(lián)想到余弦定理余弦定理,求出求出cosA,從而求出從而求出A的值的值. (2)由由a= 及及b2+c2-a2+bc=0,可求出關(guān)于可求出關(guān)于b,c的關(guān)的關(guān)系式系式,利用不

12、等式利用不等式,即可求出即可求出bc的最大值的最大值. (3)由正弦定理可實現(xiàn)將邊化為角的功能由正弦定理可實現(xiàn)將邊化為角的功能,從而達到從而達到化簡求值的目的化簡求值的目的.返回目錄返回目錄 3 返回目錄返回目錄 (1)cosA= 又又A(0,180),A=120. (2)由由a= ,得得b2+c2=3-bc, 又又b2+c22bc（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)c=b時取等號），時取等號）， 3-bc2bc(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)c=b時取等號）時取等號）. 即當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)且僅當(dāng)c=b=1時時,bc取得最大值為取得最大值為1.212bc2bcbcbc2bc2bca ac cb b2 22 22 23 (3)由

13、正弦定理得由正弦定理得 返回目錄返回目錄 2R2RsinCsinCc csinBsinBb bsinAsinAa a2 21 1sinCsinC2 23 3cosCcosC2 23 3sinC)sinC)4 43 3cosCcosC4 43 3sinCsinC- -C)C)- -sin(60sin(60sinC)sinC)2 23 3cosCcosC2 21 1( (2 23 3sinCsinC- -sinBsinBC)C)- -sinAsin(30sinAsin(302RsinC2RsinC- -2RsinB2RsinBC)C)- -30302RsinAsin(2RsinAsin(c c-

14、-b bC)C)- -asin(30asin(30 返回目錄返回目錄 (1)在三角形中求角在三角形中求角,往往選擇先求該角的往往選擇先求該角的余弦值余弦值,然后利用余弦函數(shù)在然后利用余弦函數(shù)在(0,)上的單調(diào)性求角上的單調(diào)性求角. (2)正、余弦定理能實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，在解題時一定正、余弦定理能實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，在解題時一定要重視要重視. 返回目錄返回目錄 已知已知ABC是半徑為是半徑為R的圓內(nèi)接三角形的圓內(nèi)接三角形,且且2R(sin2A-sin2C)=( a-b)sinB.(1)求角求角C;(2)試求試求ABC面積面積S的最大值的最大值(1)由由2R(sin2A-sin2C)=( a-b)sinB,

15、兩邊同乘以兩邊同乘以2R,得得(2RsinA)2-(2RsinC)2=( a-b)2RsinB,根據(jù)正弦定理根據(jù)正弦定理,得得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,a2-c2=( a-b)b,即即a2+b2-c2= ab.22222 再由余弦定理再由余弦定理,得得cosC= ,又又0C,C= .(2)C= ,A+B= .S= absinC= (2RsinA)(2RsinB)= R2sinAsinB=- R2cos(A+B)-cos(A-B)= R2 +cos(A-B) .0A,0B,-A-B,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A-B=0,即即A=B= 時時,sin(A-B)=1,S取到最取到最大

16、值大值 R2.返回目錄返回目錄 222ab2abc c- -b ba a2 22 22 24 4 43 2142222222283 221 返回目錄返回目錄 已知方程已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的兩根之積等于兩根的兩根之積等于兩根之和，且之和，且a,b為為ABC的兩邊，的兩邊，A,B為兩內(nèi)角，試判定為兩內(nèi)角，試判定這個三角形的形狀這個三角形的形狀.先由已知條件得出三角形的邊角關(guān)系先由已知條件得出三角形的邊角關(guān)系.要要判定三角形的形狀，只需將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊之間或判定三角形的形狀，只需將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊之間或角之間的關(guān)系即可判定角之間的關(guān)系即可判定. 返回目錄返回目錄 方法一方

17、法一:設(shè)方程的兩根為設(shè)方程的兩根為x1,x2，由韋達定理知，由韋達定理知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB.由題意有由題意有bcosA=acosB,根據(jù)余弦定理得根據(jù)余弦定理得b =a ,b2+c2-a2=a2+c2-b2,化簡得化簡得a=b,ABC為等腰三角形為等腰三角形.2bc2bca a- -c cb b2 22 22 22ac2acb bc ca a2 22 22 2 方法二方法二:同方法一得同方法一得bcosA=acosB,由正弦定理得由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,sinAcosB-cosAsinB=0,即即sin(A-B)=0.0A,0B，-A-

18、B.A-B=0，即，即A=B.故故ABC為等腰三角形為等腰三角形.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 由三角形的邊角關(guān)系判定三角形的形由三角形的邊角關(guān)系判定三角形的形狀，其基本思路是根據(jù)正弦定理和余弦定理進行邊角狀，其基本思路是根據(jù)正弦定理和余弦定理進行邊角變換，全化為邊的關(guān)系或全化為角的關(guān)系（一般化為變換，全化為邊的關(guān)系或全化為角的關(guān)系（一般化為角較方便），然后利用簡單的平面幾何知識即可判定角較方便），然后利用簡單的平面幾何知識即可判定.應(yīng)注意式子的等價變形和隱含條件的挖掘，以免漏解應(yīng)注意式子的等價變形和隱含條件的挖掘，以免漏解或增解或增解. 在在ABC中，中，sinA= ，試判斷，試判斷A

19、BC的的形狀形狀.cosCcosCcosBcosBsinCsinCsinBsinB返回目錄返回目錄 解法一解法一：由條件：由條件,得得 0(否則否則A=),2sin2 =1,即即cosA=0.又又0A,A= ,即即ABC為直角三角形為直角三角形.返回目錄返回目錄 2 2A Asinsin2 2A Acoscos2 2A Acoscos2 2A A2sin2sin2 2C C- -B Bcoscos2 2C CB B2cos2cos2 2C C- -B Bcoscos2 2C CB B2sin2sin) )2 2C C- -B B2 2C CB Bcos(cos() )2 2C C- -B B2

20、 2C CB Bcos(cos() )2 2C C- -B B2 2C CB Bsin(sin() )2 2C C- -B B2 2C CB Bsin(sin(2 2A Acoscos2 2A A2sin2sin2 2A Acoscos2 2A A2 2 解法二解法二:用正、余弦定理得用正、余弦定理得a( ) =a+b.化簡，得化簡，得a2=b2+c2,故故ABC為直角三角形為直角三角形.返回目錄返回目錄 2ab2abc cb ba a2ac2acb bc ca a2 22 22 22 22 22 2 返回目錄返回目錄 某觀測站在城某觀測站在城A的南偏西的南偏西20的方向的方向,由城由城A出發(fā)

21、的一條出發(fā)的一條公路公路,走向是南偏東走向是南偏東40,在在C處測得公路上處測得公路上B處有一人處有一人,距距C為為31千米千米,正沿公路向正沿公路向A城走去城走去,走了走了20千米后到達千米后到達D處處,此時此時CD間的距離為間的距離為21千米千米,問問:這人還要走多少千這人還要走多少千米才能到達米才能到達A城城?正確畫出圖形正確畫出圖形,綜合運用正弦定理與余弦定理綜合運用正弦定理與余弦定理解題解題. 返回目錄返回目錄 本題為解斜三角形的本題為解斜三角形的應(yīng)用問題應(yīng)用問題,要求這人走多少路可到達要求這人走多少路可到達A城城,也就是要求也就是要求AD的長的長.在在ACD中中,已知已知CD=21

22、千米千米,CAD=60,只需再求出一個量即可只需再求出一個量即可. 如圖如圖,令令A(yù)CD=,CDB=,在在CBD中中,由余弦定理得由余弦定理得, ,7 71 1- -2 21 12 20 02 23 31 1- -2 21 12 20 02 2B BD DC CD DC CB B- -C CD DB BD Dc co os s2 22 22 22 22 22 2 sin= .而而sin=sin(-60)=sincos60-sin60cos=在在ACD中中, ,AD= =15(千米千米).這個人再走這個人再走15千米就可到達千米就可到達A城城.返回目錄返回目錄 734,1435712321734

23、 s si in nA AD Ds si in n6 60 02 21 1 s si in n6 60 0 s si in n 2 21 1 返回目錄返回目錄 在解決與解三角形有關(guān)的問題時在解決與解三角形有關(guān)的問題時,首先要首先要明確題意明確題意,正確地畫出圖形正確地畫出圖形,然后根據(jù)條件和圖形特點尋然后根據(jù)條件和圖形特點尋找是否存在可解的三角形找是否存在可解的三角形,如果有如果有,則可先解之則可先解之,進而為解進而為解決其他三角形創(chuàng)造可解條件決其他三角形創(chuàng)造可解條件,使問題逐一得到解決使問題逐一得到解決. 返回目錄返回目錄 如圖，測量河對岸的塔高如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底時，

24、可以選與塔底B在同在同一水平面內(nèi)的兩個測點一水平面內(nèi)的兩個測點C與與D.現(xiàn)測得現(xiàn)測得BCD=,BDC=,CD=s，并在點，并在點C測得塔頂測得塔頂A的仰的仰角為角為，求塔高，求塔高AB. 在在BCD中，中，CBD=-.由正弦定理，得由正弦定理，得 .所以所以在在RtABC中，中，AB=BCtanACB=返回目錄返回目錄 CBDCBDsinsinCDCDBDCBDCsinsinBCBC ) )s si in n( ( s ss si in nC CB BD Ds si in nB BD DC CC CD Ds si in nB BC C)(ssinsintan 返回目錄返回目錄 沿一條小路前進，

25、從沿一條小路前進，從A到到B，方位角（從正北方向順，方位角（從正北方向順時針轉(zhuǎn)到時針轉(zhuǎn)到AB方向所成的角）是方向所成的角）是50,距離是距離是3km,從從B到到C,方位角是方位角是110,距離是距離是3km,從從C 到到 D, 方位角是方位角是140,距離是距離是(9+3 )km.試畫出示意圖試畫出示意圖 , 并計算出并計算出從從A到到D的方位角和距離的方位角和距離(結(jié)果保留根號結(jié)果保留根號).畫出示意圖畫出示意圖,要求要求A到到D的方位角的方位角,需要構(gòu)需要構(gòu)造三角形造三角形,連接連接AC,在在ABC中中,可知可知BAC=30,用用余弦定理求出余弦定理求出AC,再在再在ACD中中,求出求出A

26、D和和CAD.3 返回目錄返回目錄 示意圖如圖所示示意圖如圖所示,連接連接AC,在在ABC中中,ABC=50+(180-110)=120,又又AB=BC=3,BAC=BCA=30.由余弦定理可得由余弦定理可得20202ABBCcos12ABBCcos1- -BCBCABABACAC2 22 2( (k km m) ). .3 33 32 27 7) )2 21 1- -3 33 32 2- -9 99 9( 在在ACD中中,ACD=360-140-(70+30)=120,CD=3 +9.由余弦定理得由余弦定理得由正弦定理得由正弦定理得sinCAD= 返回目錄返回目錄 3. .( (k km m

27、) )2 2) )6 62 29 9( () )2 21 1( (- -9 9) )3 3( (3 33 33 32 2- -9 9) )3 3( (3 32 27 72 20 02 2A AC CC CD Dc co os s1 1- -C CD DA AC CA AD D2 22 22 2A AD DA AC CD DC CD Ds si in n .22223) )6 62 29 9( (9 9) )3 3( (3 3 CAD=45,于是于是AD的方位角為的方位角為50+30+45=125,從從A到到D的方位角是的方位角是125，距離為，距離為返回目錄返回目錄 .2km) )6 62 29(9( 連結(jié)連結(jié)BC，由余弦定理得，由余弦定理得BC2=202+102 -22010cos120=700.于是于是BC=10 .ACB90,ACB=41.乙船應(yīng)朝北偏東乙船應(yīng)朝北偏東71方向沿直線前往方向沿直線前往B處救援處救援.7 77 73 3 A AC CB Bs si in n7 71 10 0s si in n1 12 20 02 20 0A AC CB Bs si in n返回目錄返回目錄 在在ABC中，中，BC=a，AC=b，a,b是方程是方程