1、拉格朗日方程拉格朗日方程目錄目錄動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程拉格郎日方程拉格郎日方程拉格郎日方程應(yīng)用舉例拉格郎日方程應(yīng)用舉例動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程 對(duì)于這些函數(shù)進(jìn)行一定的運(yùn)算，就可了解系統(tǒng)對(duì)于這些函數(shù)進(jìn)行一定的運(yùn)算，就可了解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性和獲得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，所以動(dòng)力學(xué)普的運(yùn)動(dòng)特性和獲得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，所以動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程式求解質(zhì)點(diǎn)系復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問(wèn)遍方程和拉格朗日方程式求解質(zhì)點(diǎn)系復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的普遍而有效的方法。題的普遍而有效的方法。 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程是分析動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程是分析動(dòng)力學(xué)的內(nèi)容。分析動(dòng)力學(xué)是把系統(tǒng)作為一個(gè)整

2、體來(lái)考察，的內(nèi)容。分析動(dòng)力學(xué)是把系統(tǒng)作為一個(gè)整體來(lái)考察，并利用動(dòng)能、勢(shì)能這類標(biāo)量函數(shù)來(lái)描述這個(gè)系統(tǒng)。并利用動(dòng)能、勢(shì)能這類標(biāo)量函數(shù)來(lái)描述這個(gè)系統(tǒng)。 動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程一、概述一、概述 動(dòng)力學(xué)普遍方程是將達(dá)朗貝爾原理與虛位移原理相結(jié)合而得到的，動(dòng)力學(xué)普遍方程是將達(dá)朗貝爾原理與虛位移原理相結(jié)合而得到的，可以看成是達(dá)朗貝爾原理的解析表達(dá)形式?？梢钥闯墒沁_(dá)朗貝爾原理的解析表達(dá)形式。二、動(dòng)力學(xué)普遍方程的推導(dǎo)二、動(dòng)力學(xué)普遍方程的推導(dǎo) 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系由 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，作用在第個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，作用在第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力為個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力為 Fi ，約束力為約束力為 FNi ，則根據(jù)牛頓第二定

3、理，則根據(jù)牛頓第二定理 F= ma 有有iiiimNFFa) , ,2 , 1(ni 令令ii*im aF稱為稱為慣性力慣性力，則有，則有 0*NNiiiiiiimFFFaFF) , ,2 , 1(ni 上面式子表示一組平衡關(guān)系，即上面式子表示一組平衡關(guān)系，即在每一瞬時(shí)，作用在質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每一質(zhì)點(diǎn)在每一瞬時(shí)，作用在質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每一質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力上的主動(dòng)力 Fi ，約束力為，約束力為 FNi ，以及假想的慣性力，以及假想的慣性力 F*i 在形式上構(gòu)成平在形式上構(gòu)成平衡力系。衡力系。動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程 將虛位移原理應(yīng)用于這組平衡力系，為此，取質(zhì)點(diǎn)系的任一組虛位移將虛位移原理應(yīng)用于這組平衡力系，為

4、此，取質(zhì)點(diǎn)系的任一組虛位移 ri（i=1，2, , n），則有），則有0)(*NiiiirFFF) , ,2 , 1(ni 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)點(diǎn)的上述表達(dá)式求和，得對(duì)質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)點(diǎn)的上述表達(dá)式求和，得0)()()(1*1N1niiiniiiniiirFrFrF 設(shè)該質(zhì)點(diǎn)系所受的約束為理想約束，則設(shè)該質(zhì)點(diǎn)系所受的約束為理想約束，則0)(1NniiirF 代入上式可得代入上式可得0)(*1iiniirFF0*NNiiiiiiimFFFaFF) , ,2 , 1(ni 式式 稱為慣性力。稱為慣性力。上式表明：上式表明：在理想約束下，質(zhì)點(diǎn)系在任一瞬時(shí)，作用的主動(dòng)力和假想的慣在理想約束下，質(zhì)點(diǎn)系在任一瞬時(shí)，

5、作用的主動(dòng)力和假想的慣性力在任何虛位移上所做的虛功之和等于零。性力在任何虛位移上所做的虛功之和等于零。 取固定直角坐標(biāo)系，將上式投影得：取固定直角坐標(biāo)系，將上式投影得：0)()()(1i*izizi*iyiyi*ixniixzFFyFFxFF 以上二式稱為以上二式稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程 或或 達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾拉格朗日方程拉格朗日方程。01iniiiiramF01niiiiiziiiiyiiiixzzmFyymFxxmF 0)(*1iiniirFFii*imaF),2, 1( , ni動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程 動(dòng)力學(xué)普遍方程消去了所有理想約束的約束反力，

6、因而特別適合于求動(dòng)力學(xué)普遍方程消去了所有理想約束的約束反力，因而特別適合于求解非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。解非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題與用虛位移原理求解靜力學(xué)問(wèn)題應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題與用虛位移原理求解靜力學(xué)問(wèn)題的方法基本相同，只要在系統(tǒng)上虛加慣性力，并將慣性力視為主動(dòng)力即可。的方法基本相同，只要在系統(tǒng)上虛加慣性力，并將慣性力視為主動(dòng)力即可。 由動(dòng)力學(xué)普遍方程可得到若干個(gè)獨(dú)立的二階微分方程，方程的個(gè)數(shù)等由動(dòng)力學(xué)普遍方程可得到若干個(gè)獨(dú)立的二階微分方程，方程的個(gè)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)系的自由個(gè)數(shù)。于質(zhì)點(diǎn)系的自由個(gè)數(shù)。 因此，動(dòng)力學(xué)普遍方程給出了任意多個(gè)自由度系統(tǒng)的全部

7、運(yùn)動(dòng)微分因此，動(dòng)力學(xué)普遍方程給出了任意多個(gè)自由度系統(tǒng)的全部運(yùn)動(dòng)微分方程，任何其它動(dòng)力學(xué)方程都可作為它的特殊情況推導(dǎo)出來(lái)。方程，任何其它動(dòng)力學(xué)方程都可作為它的特殊情況推導(dǎo)出來(lái)。動(dòng)力學(xué)普遍方程例題動(dòng)力學(xué)普遍方程例題1OCddBA一瓦特調(diào)速器的結(jié)構(gòu)如圖所一瓦特調(diào)速器的結(jié)構(gòu)如圖所示。每一飛球質(zhì)量為示。每一飛球質(zhì)量為m1，重，重錘質(zhì)量為錘質(zhì)量為m2，各鉸連桿的長(zhǎng)，各鉸連桿的長(zhǎng)度為度為l，T形桿寬度為形桿寬度為2d。調(diào)。調(diào)速器的軸以勻角速速器的軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。求轉(zhuǎn)動(dòng)。求飛球張開(kāi)的角度飛球張開(kāi)的角度。 動(dòng)力學(xué)普遍方程例題動(dòng)力學(xué)普遍方程例題1 此為一個(gè)自由度質(zhì)點(diǎn)系，選角此為一個(gè)自由度質(zhì)點(diǎn)系，選角為為廣義坐標(biāo)。

8、廣義坐標(biāo)。 21*) sin(ldmFFBA 球簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，除主動(dòng)力外，圖上畫出球簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，除主動(dòng)力外，圖上畫出了飛球的慣性力了飛球的慣性力F*A和和F*B，兩力大小相等，兩力大小相等，方向相反。方向相反。由動(dòng)力學(xué)普遍方程得由動(dòng)力學(xué)普遍方程得0211*CBABBAAygmygmygmxFxF(a)解：解：OCyxddrCrArBBAm1gm1gm2gF*AF*B動(dòng)力學(xué)普遍方程例題動(dòng)力學(xué)普遍方程例題1), sin(ldxAcos lxA coslyAsin lyA), sin(ldxBcos lxB, coslyBsin lyB, cos2lyCsin2 lyC 各質(zhì)點(diǎn)的虛位移可用廣義坐標(biāo)的各

9、質(zhì)點(diǎn)的虛位移可用廣義坐標(biāo)的變分變分 表示表示OCyxddrCrArBBAm1gm1gm2gF*AF*B動(dòng)力學(xué)普遍方程例題動(dòng)力學(xué)普遍方程例題1 此式建立了調(diào)速器相對(duì)平衡位置此式建立了調(diào)速器相對(duì)平衡位置與轉(zhuǎn)與轉(zhuǎn)速速的關(guān)系，可用來(lái)作為選擇調(diào)速器參數(shù)的的關(guān)系，可用來(lái)作為選擇調(diào)速器參數(shù)的依據(jù)。依據(jù)。 0sin2sin2cos)sin(22121 glm glm l ldm) sin(tan )(1212ldmgmm代入式代入式（a）得得求得求得0211*CBABBAAygmygmygmxFxF(a)動(dòng)力學(xué)普遍方程例題動(dòng)力學(xué)普遍方程例題1OCyxddrCrArBBAm1gm1gm2gF*AF*B在圖所示滑

10、輪系統(tǒng)中，動(dòng)滑在圖所示滑輪系統(tǒng)中，動(dòng)滑輪上懸掛著質(zhì)量為輪上懸掛著質(zhì)量為m1的重物，的重物，繩子繞過(guò)定滑輪后懸掛著質(zhì)繩子繞過(guò)定滑輪后懸掛著質(zhì)量為量為m2的重物。設(shè)滑輪和繩的重物。設(shè)滑輪和繩子的重量以及輪軸摩擦都不子的重量以及輪軸摩擦都不計(jì)，求物體下降的加速度。計(jì)，求物體下降的加速度。 m1gm2ga1a2動(dòng)力學(xué)普遍方程例題動(dòng)力學(xué)普遍方程例題2動(dòng)力學(xué)普遍方程例題動(dòng)力學(xué)普遍方程例題2,11*1amF 22*2amF 0)()(11112222samgmsamgm 給系統(tǒng)以虛位移給系統(tǒng)以虛位移s1和和s2 ，由動(dòng)力學(xué)普遍，由動(dòng)力學(xué)普遍方程，得方程，得m1gm2ga1a2s1s2*F1*F2解：解： 取

11、整個(gè)滑輪系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有取整個(gè)滑輪系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有理想約束。系統(tǒng)所受的主力為重力理想約束。系統(tǒng)所受的主力為重力m1g和和m2g，假想加入系統(tǒng)的慣性力假想加入系統(tǒng)的慣性力 ， 。*F1*F2動(dòng)力學(xué)普遍方程例題動(dòng)力學(xué)普遍方程例題2這是一個(gè)自由度系統(tǒng)，所以這是一個(gè)自由度系統(tǒng)，所以s1和和s2中只有一中只有一個(gè)獨(dú)立的。由定滑輪和動(dòng)滑輪的傳動(dòng)關(guān)系，個(gè)獨(dú)立的。由定滑輪和動(dòng)滑輪的傳動(dòng)關(guān)系，有有,221ss 221aa 02)2()(22112222samgmsamgmgmmmma12122424消去消去s2 ，得，得代入前式，有代入前式，有m1gm2ga1a2s1s2*F1*F20)()(1

12、1112222samgmsamgm動(dòng)力學(xué)普遍方程例題動(dòng)力學(xué)普遍方程例題2拉格朗日方程拉格朗日方程概述概述 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程，求解較復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程，求解較復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題常不很方便，這是因?yàn)橛捎谙到y(tǒng)存在約束，所動(dòng)力學(xué)問(wèn)題常不很方便，這是因?yàn)橛捎谙到y(tǒng)存在約束，所以這種方程中各質(zhì)點(diǎn)的虛位移可能不全是獨(dú)立的，這樣解以這種方程中各質(zhì)點(diǎn)的虛位移可能不全是獨(dú)立的，這樣解題時(shí)還需尋找虛位移之間的關(guān)系。題時(shí)還需尋找虛位移之間的關(guān)系。 但是，如果改用廣義坐標(biāo)，來(lái)描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，將動(dòng)力但是，如果改用廣義坐標(biāo)，來(lái)描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，將動(dòng)力學(xué)普遍方程表達(dá)成廣義坐標(biāo)的形式，就可得到與廣

13、義坐標(biāo)學(xué)普遍方程表達(dá)成廣義坐標(biāo)的形式，就可得到與廣義坐標(biāo)數(shù)目相同的一組獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程，這就是著名的拉格數(shù)目相同的一組獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程，這就是著名的拉格朗日方程，用它求解較復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題朗日方程，用它求解較復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題常很方便。常很方便。拉格朗日方程的推導(dǎo)拉格朗日方程的推導(dǎo) 設(shè)由設(shè)由 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受到個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受到 s 個(gè)理想、完整約束，因此該系統(tǒng)個(gè)理想、完整約束，因此該系統(tǒng)具有具有k= 3m- s個(gè)自由度，可用個(gè)自由度，可用 k 個(gè)廣義坐標(biāo)個(gè)廣義坐標(biāo) q1 , q2 , , qk 來(lái)確定該系統(tǒng)的來(lái)確定該系統(tǒng)的位形。位形。 在非定常約

14、束下，系統(tǒng)中任一質(zhì)點(diǎn)的矢徑可表示成廣義坐標(biāo)和時(shí)間的在非定常約束下，系統(tǒng)中任一質(zhì)點(diǎn)的矢徑可表示成廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，即函數(shù)，即);,.,(21tqqqkiirr ),2,1( , ni對(duì)上式求導(dǎo)，得該質(zhì)點(diǎn)的速度對(duì)上式求導(dǎo)，得該質(zhì)點(diǎn)的速度tqqijkjjiirrv1上式中的上式中的 ，稱為，稱為廣義速度廣義速度。jq jiiqtrr , 由以上可知由以上可知僅是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。僅是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。jijiqqrvjiiqtrr , 僅是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，僅是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，將式（將式（1）二端對(duì)廣義速度）二端對(duì)廣義速度jq 求偏導(dǎo)，注意到求偏導(dǎo)，注意到是彼此獨(dú)立的，是彼此獨(dú)

15、立的，jq 與與jq則有則有拉格朗日第一變換式拉格朗日第一變換式質(zhì)點(diǎn)的速度質(zhì)點(diǎn)的速度tqqijkjjiirrv1（1）將式（將式（1）對(duì)任）對(duì)任 一廣義坐標(biāo)一廣義坐標(biāo)hq求偏導(dǎo)，有求偏導(dǎo)，有tqqqqqhijkjjhihirrv212（2）與與 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。jq 拉格朗日方程的推導(dǎo)拉格朗日方程的推導(dǎo)jijiqqrv拉格朗日第一變換式拉格朗日第一變換式tqqqqqhijkjjhihirrv212（2）再對(duì)時(shí)間再對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得求導(dǎo)得)(ddhiqtrhijkjhjiqtqqqrr212式（式（3）右邊與式（）右邊與式（2）右邊比較可得關(guān)系式）右邊比較可得關(guān)系式)(ddhihiqtqrv所以有所以有

16、拉格朗日第二變換式拉格朗日第二變換式)(ddjijiqtqrv);,.,(21tqqqkiirr 對(duì)任對(duì)任 求偏導(dǎo)，求偏導(dǎo)，hqhijkjhijqtqqqrr21)(（3）拉格朗日方程的推導(dǎo)拉格朗日方程的推導(dǎo)代入動(dòng)力學(xué)普遍方程代入動(dòng)力學(xué)普遍方程0)(*1iiniirFFjkjjiiqq1rr);,.,(21tqqqkiirr 對(duì)矢徑對(duì)矢徑求變分，得求變分，得有有)(1*1jkjjiiniiqqrFF0)()(1*11 jjiniikjjiniiqqqrFrF廣 義 力廣 義 力記為記為Qj廣義慣性力廣義慣性力記為記為Q*j這樣動(dòng)力學(xué)普遍方程可寫為這樣動(dòng)力學(xué)普遍方程可寫為0*1jjjkjqQQ拉

17、格朗日方程的推導(dǎo)拉格朗日方程的推導(dǎo))(1*i*jinijqQrF代入上式有代入上式有廣義慣性力廣義慣性力)(1jiniiiqmra)dd(1jiniiiqtmrv因?yàn)橐驗(yàn)?(dd)dd()(ddjiiijiiijiiiqtmqtmqmtrvrvrv所以所以)(dd)(dd)dd(jiiijiiijiiiqtmqmtqtmrvrvrv)(dd)(dd1*jiiijiiinijqtmqmtQrvrv拉格朗日方程的推導(dǎo)拉格朗日方程的推導(dǎo)廣義慣性力廣義慣性力)(dd)(dd1*jiiijiiinijqtmqmtQrvrv利用前面的二個(gè)利用前面的二個(gè)拉格朗日變換式拉格朗日變換式j(luò)ijiqqrv)(ddj

18、ijiqtqrv有有)()(dd1*jiiijiiinijqmqmtQvvvvdd11jiiinijiiiniqmqmtvvvv21)21(dd11iiinijiiinijmqmqtvvvv系 統(tǒng) 的系 統(tǒng) 的動(dòng)能動(dòng)能T系 統(tǒng) 的系 統(tǒng) 的動(dòng)能動(dòng)能T拉格朗日方程的推導(dǎo)拉格朗日方程的推導(dǎo)廣義慣性力廣義慣性力21)21(dd11*iiinijiiinijjmqmqtQvvvv系 統(tǒng) 的系 統(tǒng) 的動(dòng)能動(dòng)能T系 統(tǒng) 的系 統(tǒng) 的動(dòng)能動(dòng)能T故廣義慣性力的最后變形形式為故廣義慣性力的最后變形形式為jjjqTqTtQ)(dd*)., ,2 , 1(k j 拉格朗日方程的推導(dǎo)拉格朗日方程的推導(dǎo)廣義慣性力的變形

19、形式廣義慣性力的變形形式j(luò)jjqTqTtQ)(dd*)., ,2 , 1(k j 代入前面所得動(dòng)力學(xué)普遍方程的轉(zhuǎn)化式代入前面所得動(dòng)力學(xué)普遍方程的轉(zhuǎn)化式0*1jjjkjqQQ有有0)(dd1*1jjjjkjjjjkjqqTqTtQqQQ對(duì)于完整系統(tǒng)，廣義虛位移對(duì)于完整系統(tǒng)，廣義虛位移qj 都是獨(dú)立的，并具有任意性，所以為使上都是獨(dú)立的，并具有任意性，所以為使上式成立，則有式成立，則有0)(ddjjjqTqTtQ由此可得一般完整系統(tǒng)的拉格朗日方程由此可得一般完整系統(tǒng)的拉格朗日方程jjjQqTqTt)(dd)., ,2 , 1(k j 拉格朗日方程的推導(dǎo)拉格朗日方程的推導(dǎo)一般完整系統(tǒng)的拉格朗日方程一

20、般完整系統(tǒng)的拉格朗日方程由上章可知如果系統(tǒng)上的主動(dòng)力均為有勢(shì)力，即是保守系統(tǒng)時(shí)，廣義力為由上章可知如果系統(tǒng)上的主動(dòng)力均為有勢(shì)力，即是保守系統(tǒng)時(shí)，廣義力為jjjQqTqTt)(dd) ., , 2 , 1(k jjjqVQ) ., , 2 , 1 (kj 代入上式，注意到勢(shì)能函數(shù)代入上式，注意到勢(shì)能函數(shù) V =V（ q1 ， q2 ， qk ）與廣義速度與廣義速度 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)jq 則有則有0)()(ddjjqVTqVTt即即0jqV令令VTL稱為稱為拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)故保守系統(tǒng)的拉格朗日方程為故保守系統(tǒng)的拉格朗日方程為0)(ddjjqLqLt)., , 2 , 1(k j 保守系統(tǒng)的拉格朗日

21、方程保守系統(tǒng)的拉格朗日方程一般完整系統(tǒng)的拉格朗日方程一般完整系統(tǒng)的拉格朗日方程jjjQqTqTt)(dd)., , 2 , 1(k j 保守系統(tǒng)的拉格朗日方程保守系統(tǒng)的拉格朗日方程其中其中VTL稱為稱為拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)。)., , 2 , 1(k j 0)(ddjjqLqLt保守系統(tǒng)的拉格朗日方程保守系統(tǒng)的拉格朗日方程幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明（1）上面的拉格朗日方程確切應(yīng)叫第二類拉格朗日方程，）上面的拉格朗日方程確切應(yīng)叫第二類拉格朗日方程，是與自由度數(shù)相同的二階常微分方程。是與自由度數(shù)相同的二階常微分方程。（2）拉格朗日方程可用于建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，該方法）拉格朗日方程可用于建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)

22、微分方程，該方法的特點(diǎn)是用廣義坐標(biāo)，并從能量的觀點(diǎn)研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。的特點(diǎn)是用廣義坐標(biāo)，并從能量的觀點(diǎn)研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。拉格朗日方程應(yīng)用舉例拉格朗日方程應(yīng)用舉例 完整系統(tǒng)的拉氏方程是一組對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)完整系統(tǒng)的拉氏方程是一組對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)q1， q2， qk的的k個(gè)獨(dú)個(gè)獨(dú)立二階微分方程，式中消去了全部理想約束的未知約束力。立二階微分方程，式中消去了全部理想約束的未知約束力。 0ddjjqLqLtjjjQqTqTt)(dd)., , 2 , 1(k j 拉格朗日方程應(yīng)用舉例拉格朗日方程應(yīng)用舉例 （4）將）將Q 、T（或（或L）代入拉格朗日方程，得到）代入拉格朗日方程，得到k個(gè)獨(dú)立的二階微分方

23、個(gè)獨(dú)立的二階微分方程，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組。程，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組。jjjq W Q（3）求廣義力。比較方便而且常用的是從式）求廣義力。比較方便而且常用的是從式求得。求得。 （1）選定研究對(duì)象，確定該系統(tǒng)的自由度數(shù)目，并恰當(dāng)?shù)剡x擇同樣數(shù)）選定研究對(duì)象，確定該系統(tǒng)的自由度數(shù)目，并恰當(dāng)?shù)剡x擇同樣數(shù)目的廣義坐標(biāo)。目的廣義坐標(biāo)。（2）用廣義坐標(biāo)、廣義速度和時(shí)間的函數(shù)表示出系統(tǒng)的動(dòng)能。）用廣義坐標(biāo)、廣義速度和時(shí)間的函數(shù)表示出系統(tǒng)的動(dòng)能。應(yīng)用拉格郎日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)，一般步驟如下：應(yīng)用拉格郎日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)，一般步驟如下： 特別是當(dāng)主動(dòng)力有勢(shì)時(shí)，則只須寫出勢(shì)能特別是當(dāng)主動(dòng)力

24、有勢(shì)時(shí)，則只須寫出勢(shì)能V或拉格朗日函數(shù)或拉格朗日函數(shù)L=T-V，然，然后求偏導(dǎo)數(shù)。后求偏導(dǎo)數(shù)。拉格朗日方程應(yīng)用舉例拉格朗日方程應(yīng)用舉例 這個(gè)程序是非常有效而且容易掌握的。這就是這個(gè)程序是非常有效而且容易掌握的。這就是拉格朗日方程的重要優(yōu)點(diǎn)。另外，在拉格朗日方程拉格朗日方程的重要優(yōu)點(diǎn)。另外，在拉格朗日方程中自動(dòng)消去了理想約束的反力，且避免了加速度分中自動(dòng)消去了理想約束的反力，且避免了加速度分析。析。拉格朗日方程應(yīng)用舉例拉格朗日方程應(yīng)用舉例在水平面運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖所示。勻質(zhì)桿在水平面運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖所示。勻質(zhì)桿 OA 質(zhì)量質(zhì)量是是 m1 ，可繞鉛直軸，可繞鉛直軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)，桿端轉(zhuǎn)動(dòng)，桿

25、端 A 借鉸鏈裝有一質(zhì)量是借鉸鏈裝有一質(zhì)量是 m2 ，半徑是半徑是 r 的勻質(zhì)小齒輪，此小齒輪沿半徑是的勻質(zhì)小齒輪，此小齒輪沿半徑是 R 的固定大齒的固定大齒輪滾動(dòng)。當(dāng)桿輪滾動(dòng)。當(dāng)桿 OA 上作用著轉(zhuǎn)矩上作用著轉(zhuǎn)矩 MO 時(shí)，求此桿的角加速時(shí)，求此桿的角加速度。度。MOxy例題例題例題例題解：解： 此機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度。取桿此機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度。取桿 OA 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)，點(diǎn)為廣義坐標(biāo)，點(diǎn) A 的速度為的速度為 vA = ( R + r ) 。小齒輪在固定的大齒輪上的嚙合點(diǎn)小齒輪在固定的大齒輪上的嚙合點(diǎn) C 是其速度是其速度瞬心，故小輪的角速度瞬心，故小輪的角速度rrRrvAA系統(tǒng)的

26、動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為)(2(21)(213)(212222222221rrRrmrRmrRmT2221)(92(121rRmm例題例題MOxy廣義力為廣義力為OOMMQQTTt)(dd得得OMrRmm 221)(92(61從而解得桿從而解得桿 OA 的角速度的角速度221)(92(6rRmmMO 將上兩式代入拉格朗日方程將上兩式代入拉格朗日方程例題例題MOxy如圖所示的橢圓擺，由滑塊如圖所示的橢圓擺，由滑塊 A，細(xì)桿，細(xì)桿 AB 和擺錘和擺錘 B 構(gòu)成。滑塊構(gòu)成。滑塊 A具有質(zhì)量具有質(zhì)量 m1，可沿光滑水平面自由滑動(dòng)。擺錘，可沿光滑水平面自由滑動(dòng)。擺錘 B 可看成質(zhì)可看成質(zhì)點(diǎn)且具有質(zhì)量點(diǎn)且具有質(zhì)

27、量 m2 ，由長(zhǎng)，由長(zhǎng)l 的無(wú)重細(xì)桿鉸接在滑快上。桿可在的無(wú)重細(xì)桿鉸接在滑快上。桿可在鉛直面內(nèi)繞鉛直面內(nèi)繞 A軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。試寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。試寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。AB例題例題例題例題解：解： 此系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，取滑塊此系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，取滑塊 A 的的坐標(biāo)坐標(biāo) x 和桿的轉(zhuǎn)角和桿的轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)能為動(dòng)能為22212121BABAvmvmTTTABm1gm2gvrvexyxO) cos2(2121222221l xlxmxm) cos2(2121re2r2e221vvvvmxm cos21)(212222221x lmlmxmm例題例題

28、求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù)求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù)0sincos)()(ddcos)(22221221xTlmlmxmmxTtlmxmmxT ABm1gm2gvrvexyxOsinsincos)(ddcos22222222 x lmTx lmx lmlmTtx lmlmT例題例題 求廣義力。考慮到主動(dòng)力只有重力，分別給出系統(tǒng)的虛位移求廣義力?？紤]到主動(dòng)力只有重力，分別給出系統(tǒng)的虛位移 x 和和 ，則有，則有sinsin022glmglmxWQxWQxxQTTtQxTxTtx)(dd, )(dd將以上結(jié)果代入拉格朗日方程將以上結(jié)果代入拉格朗日方程例題例題)b( 0 sin cos)a(0 sin cos)(22221

29、lglxlmlmxmm 式式(a)和和(b)就是此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)就是此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。微分方程。即得即得ABm1gm2gvrvexyxO例題例題試寫出鉛直平面內(nèi)由彈性繩懸掛的擺錘試寫出鉛直平面內(nèi)由彈性繩懸掛的擺錘 A 的運(yùn)動(dòng)微分方的運(yùn)動(dòng)微分方程。已知擺錘的質(zhì)量是程。已知擺錘的質(zhì)量是m，彈性繩的剛度系數(shù)是，彈性繩的剛度系數(shù)是 k ，且在，且在重力作用下靜止時(shí)繩長(zhǎng)是重力作用下靜止時(shí)繩長(zhǎng)是l 。假設(shè)當(dāng)擺錘運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子始終假設(shè)當(dāng)擺錘運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子始終受力。受力。Ol+sOl=l0+0A0A例題例題解：解： 彈性繩只是加力的工具，不限制擺錘彈性繩只是加力的工具，不限制擺錘的運(yùn)動(dòng)自由。故在鉛直平面內(nèi)擺錘的運(yùn)動(dòng)自

30、由。故在鉛直平面內(nèi)擺錘 A 具有具有兩個(gè)自由度。取繩對(duì)鉛垂線的偏角兩個(gè)自由度。取繩對(duì)鉛垂線的偏角 和繩和繩由由 l 算起的變形算起的變形 s 為廣義坐標(biāo)。為廣義坐標(biāo)。svslvs,)(所以擺錘的動(dòng)能為所以擺錘的動(dòng)能為 擺錘的速度擺錘的速度 v 具有兩個(gè)正交分量：橫具有兩個(gè)正交分量：橫向分量和徑向分量，其大小分別是向分量和徑向分量，其大小分別是)(21222slsmTOl+sOl=l0+0A0Avsv例題例題 系統(tǒng)的主動(dòng)力包括重力和彈性力系統(tǒng)的主動(dòng)力包括重力和彈性力(把彈性繩解除后，彈性力轉(zhuǎn)化為主動(dòng)把彈性繩解除后，彈性力轉(zhuǎn)化為主動(dòng)力力)，兩者都是有勢(shì)力。以平衡位置作為重力勢(shì)能的零勢(shì)能面，則系統(tǒng)的

31、勢(shì)，兩者都是有勢(shì)力。以平衡位置作為重力勢(shì)能的零勢(shì)能面，則系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)可寫成能函數(shù)可寫成cos)(21)(212020sllmgkskV式中式中 0 是彈性繩在平衡位置時(shí)的伸長(zhǎng)量，且是彈性繩在平衡位置時(shí)的伸長(zhǎng)量，且有有 0 = mg/k。因此，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)是因此，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)是cos)(21)(21)(212020222sllmgkskslsmVTLOl+sOl=l0+0A0Avsv例題例題求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù)求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù)sin)()(2)()(dd)(22slmgLsslmslmLtslmL cos)()()(dd02mgskslmsLsmsLtsmsL Ol+sOl=l0+0A0A

32、vsv例題例題于是，拉氏方程于是，拉氏方程0)(dd0)(ddsLsLtLLt和可寫成可寫成0 cos)()(0 sin)()(2)(022mgskslmsmslmgsslmslm 考慮到考慮到 k0 = mg ，可由上式簡(jiǎn)化得到彈性繩懸掛的擺錘，可由上式簡(jiǎn)化得到彈性繩懸掛的擺錘A 的運(yùn)動(dòng)微的運(yùn)動(dòng)微分方程分方程)( 0) cos1 ()()(0 sin2)(2bgsmkslsagssl 例題例題一不可伸長(zhǎng)的繩子跨過(guò)小滑輪一不可伸長(zhǎng)的繩子跨過(guò)小滑輪 D ，繩的一端系于勻質(zhì)圓輪，繩的一端系于勻質(zhì)圓輪 A 的輪心的輪心 C 處，另一端繞在勻質(zhì)圓柱體處，另一端繞在勻質(zhì)圓柱體 B 上。輪上。輪A 重重

33、W1 ，半徑，半徑是是 R。圓柱圓柱 B 重重 W2， 半徑是半徑是r 。輪。輪 A 沿傾角為沿傾角為 的斜面作純的斜面作純滾動(dòng)，繩子傾斜段與斜面平行?；啙L動(dòng)，繩子傾斜段與斜面平行?；?D 和繩子的質(zhì)量不計(jì)，和繩子的質(zhì)量不計(jì)，試求輪心試求輪心 C 和圓柱和圓柱 B 的中心的中心 E 的加速度。的加速度。CW1W2REDABryxAB例題例題例題例題解解: 系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。我們選取系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。我們選取 x1 = DC 和和 y = yE 作為系統(tǒng)的廣義作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。于是系統(tǒng)的動(dòng)能為坐標(biāo)。于是系統(tǒng)的動(dòng)能為222221121212121BEACJygWJxgWT式中式中 A 和

34、和 B 分別是圓輪分別是圓輪 A 和圓柱體和圓柱體 B 的角速度。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知的角速度。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知)(1,11xyrRxBA將將 A 和和 B 代入動(dòng)能表達(dá)式，并考慮到代入動(dòng)能表達(dá)式，并考慮到222121,21rgWJRgWJECCW1W2REDABryxABx1yE例題例題則有則有yxgWygWxgWygWxgWT1222212222112141412143 圓輪圓輪A 作純滾動(dòng)，摩擦力不做功。作純滾動(dòng)，摩擦力不做功。系統(tǒng)的主動(dòng)力只有重力系統(tǒng)的主動(dòng)力只有重力 W1 和和 W2， 因此，因此，系統(tǒng)的勢(shì)能為系統(tǒng)的勢(shì)能為yWxWV211sin寫出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)寫出系統(tǒng)的拉格朗日函

35、數(shù)yWxWyxgWygWxWWgL21112212121sin2143)3(41CW1W2REDABryxABx1yE例題例題)b( 23)a ( sin2)3(112121gyxgWyWxWW 求解式求解式 (a) 和和 (b)，得得即得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程即得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程gWWWWygWWWWx212121211292)sin3(2292sin6 它們分別是輪心它們分別是輪心 C 和圓柱和圓柱 B 的中心的中心 E 的加速度。的加速度。0)(dd0)(dd11yLyLtxLxLt和將將 L 代入拉氏方程代入拉氏方程例題例題質(zhì)量為質(zhì)量為m1的三角塊的三角塊A在水平面上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為在水平面

36、上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為m2的物塊的物塊B在三在三角塊斜面上運(yùn)動(dòng)，斜面以及水平面光滑，傾角為角塊斜面上運(yùn)動(dòng)，斜面以及水平面光滑，傾角為，彈簧剛度，彈簧剛度為為k。列寫系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程并求出運(yùn)動(dòng)規(guī)律。列寫系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程并求出運(yùn)動(dòng)規(guī)律。例題例題例題例題 系統(tǒng)為完整系統(tǒng)，兩個(gè)自由度，選系統(tǒng)為完整系統(tǒng)，兩個(gè)自由度，選x1，x2為廣義坐標(biāo)。其中坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)。其中坐標(biāo)x2的原的原點(diǎn)在彈簧的靜伸長(zhǎng)處。點(diǎn)在彈簧的靜伸長(zhǎng)處。k gmsin2st) cos2(21212122212211xxxxmxmT cos21)(212122222121xxmxmxmm gxmxkVsin)(21222st2解：解：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能表達(dá)

37、式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能表達(dá)式 列寫質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能表達(dá)式，選彈簧原長(zhǎng)處為彈簧勢(shì)能零點(diǎn)位置，點(diǎn)列寫質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能表達(dá)式，選彈簧原長(zhǎng)處為彈簧勢(shì)能零點(diǎn)位置，點(diǎn)O為為重力勢(shì)能零點(diǎn)位置。重力勢(shì)能零點(diǎn)位置。ABOx1l0+stOx1x2x2vevvr（a）（b）例題例題上式即為質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)微分方程式。上式即為質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)微分方程式。,)(dd111xVxTxTt222)(ddxVxTxTt0 cos)(22121xmxmm 0 cos22212kxxmxm 式式（c）為線性微分方程，可求得解析解。消去為線性微分方程，可求得解析解。消去 得得1x 0)sin(22212212kxxmmmmm 得得代入拉氏方程代入拉氏方程（c）

38、例題例題運(yùn)動(dòng)規(guī)律是：運(yùn)動(dòng)規(guī)律是：B塊相對(duì)小車作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，塊相對(duì)小車作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，A車沿水平面的運(yùn)動(dòng)車沿水平面的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)與等速直線運(yùn)動(dòng)的疊加，具體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)取決于運(yùn)動(dòng)的為簡(jiǎn)諧振動(dòng)與等速直線運(yùn)動(dòng)的疊加，具體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)取決于運(yùn)動(dòng)的初始條件。初始條件。)sin(02tAx2102121)( sin cosCtCtAmmmx其解為其解為入式入式（c）得得2212120sin.mmmmmk, 02202xx 或或例題例題拉格朗日方程的第一積分拉格朗日方程的第一積分 在一般情況，用拉格朗日方程導(dǎo)出的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是關(guān)于廣義坐標(biāo)的一組在一般情況，用拉格朗日方程導(dǎo)出的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是關(guān)于廣義坐標(biāo)的一組二階非線性微分方程

39、，要求它們的積分是困難的。但在某些特殊情況下，二階非線性微分方程，要求它們的積分是困難的。但在某些特殊情況下，可方便地找到一個(gè)或幾個(gè)第一積分。常見(jiàn)的第一積分有兩種：可方便地找到一個(gè)或幾個(gè)第一積分。常見(jiàn)的第一積分有兩種：能量積分能量積分和和循環(huán)積分循環(huán)積分。 當(dāng)應(yīng)用拉格朗日方程解題時(shí)，每次都要寫出廣義坐標(biāo)形式的動(dòng)能，而當(dāng)應(yīng)用拉格朗日方程解題時(shí)，每次都要寫出廣義坐標(biāo)形式的動(dòng)能，而這些動(dòng)能表達(dá)式間具有類似的結(jié)構(gòu)。這些動(dòng)能表達(dá)式間具有類似的結(jié)構(gòu)。由關(guān)系式由關(guān)系式tqqijkjjiiirrrv1代入質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能表達(dá)式，得代入質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能表達(dá)式，得ttqqtqqqqmmTiikrrriinikrkssrs

40、iriiniiii rrrrrrvv1111122121拉格郎日方程的第一積分拉格郎日方程的第一積分niiiiniriiirnisiriirsttmCqtmBqqmA11121 rrrrrr記記它們都只是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，不顯含廣義速度。于是動(dòng)能表達(dá)它們都只是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，不顯含廣義速度。于是動(dòng)能表達(dá)式可簡(jiǎn)寫成式可簡(jiǎn)寫成012TTTT , 21112srkrksrsqqAT 式中式中CTqBTkrrr011 , （1）拉格郎日方程的第一積分拉格郎日方程的第一積分這樣，這樣，T2、T1、T0分別是廣義速度的齊二次式、齊一次式和零次式。分別是廣義速度的齊二次式、齊一次式和零次式。根據(jù)齊

41、次函數(shù)的歐拉定理，可得根據(jù)齊次函數(shù)的歐拉定理，可得0 , ,210111212jkjjjkjjjkjjqqTTqqTTqqT于是于是1212TTqqTjkjj 拉格郎日方程的第一積分拉格郎日方程的第一積分因?yàn)閯?shì)能函數(shù)因?yàn)閯?shì)能函數(shù)V與與 無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)， ；所以上式寫成；所以上式寫成jq 0 jqV1212 TTqqVTjkjj即即1212 TTqqLjkjj1212TTqqTjkjj 拉格郎日方程的第一積分拉格郎日方程的第一積分 當(dāng)約束是定常的而且主動(dòng)力都是有勢(shì)時(shí)，拉格朗日函數(shù)中不顯含時(shí)當(dāng)約束是定常的而且主動(dòng)力都是有勢(shì)時(shí)，拉格朗日函數(shù)中不顯含時(shí)間間t，即有，即有;,;,11kkqqqqLL于是于是

42、 , L對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)kjjjqqLqqLtL1dd 能量積分能量積分現(xiàn)在以現(xiàn)在以 分別乘以拉格朗日方程分別乘以拉格朗日方程 中的每一式，中的每一式，然后把然后把k個(gè)方程相加，得個(gè)方程相加，得 kqq,10dd11kjkjjjjjjqqLqLqqLt但第一個(gè)和式中的各項(xiàng)可以改寫成但第一個(gè)和式中的各項(xiàng)可以改寫成kjqqLqqLtqqLtjjjjjj , , 2 , 1 dddd 0ddjjqLqLt能量積分能量積分于是上式可寫成于是上式可寫成0dd11kjjjjjkjjjqqLqqLqqLt 0Ldd1kjjjqqLt（2）0dd11kjkjjjjjjqqLqLqqLt現(xiàn)在由式現(xiàn)在由式 知，上式左端的第二項(xiàng)就是知，上式左端的第二項(xiàng)就是L對(duì)對(duì)時(shí)間時(shí)間t的全導(dǎo)數(shù)，所以上式又可寫成的全導(dǎo)數(shù)，所以上式又可寫成kjjjqqLqqLtL1dd 能量積分能量積分積分后，得到積分后，得到常量hLqqLkjjj1上式稱為上式稱為廣義能量積分廣義能量積分?？紤]到考慮到 L=T-V 中中，V（q）和諸廣義速度無(wú)關(guān)，因而）和諸廣義速度無(wú)關(guān)，因而jjjqTqLqV