1、專題六 概率與統(tǒng)計第1講排列與組合、二項式定理自主學(xué)習導(dǎo)引真題感悟1. (2012安徽)(x2+2) X2- 15的展開式的常數(shù)項是A. -3B.2C.2D.31解析 第一個因式取X2,第二個因式取X2得：1XC1(1)4=5,第一個因式 取2,第二個因式取(一1)5得：2X(1)5二一2展開式的常數(shù)項是5+(2)=3.2.(2012 大綱全國卷)6名選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一 個演講，則不同的演講次序共有A.240種B.360種C.480種D.720種解析 解法一 甲先安排在除開始與結(jié)尾的位置有C2個選擇，剩余的元素與位置進行全排列有A5種，故不同的演講次序共有C4A5=

2、480種.解法二 若不考慮元素甲的特殊性，共有A6中演講次序，其中甲在第一個演講的有A5種，甲在最后一個演講的也有A5種，故不同的演講次序共有AeA5A5=480(種).考題分析考查排列與組合的題目高考中多以小題的形式出現(xiàn)，與兩個計數(shù)原理綜合應(yīng)用；二項式定理的問題常涉及展開式中項的系數(shù)， 特定項的求法，也可與其他知識交 匯命題，如定積分計算，數(shù)列知識，方程根的個數(shù)等.網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點突破考點一：兩個原理及其應(yīng)用【例1】用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格 涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同 的涂色方法？審題導(dǎo)引顏色可以反復(fù)使用，即說

3、明在不相鄰的小方格內(nèi)可以使用同一種顏色，首先確定第一個小方格的涂法，再考慮其相鄰的兩個小方格的涂法.規(guī)范解答如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4,第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法.1當?shù)?、第3個小方格涂不同顏色時，有A4=12（種）不同的涂法，第4個180（種）不同的涂法;相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步計數(shù)原理可 知，有5X4X4=80（種）不同涂法.由分類加法計數(shù)原理可得，共有180+80=260（種）不同的涂法.【規(guī)律總結(jié)】涂色問題的解決方法（1）涂色問題沒有固定的方法可循，只能按照題目的實際情況，結(jié)合兩個原理與排列組

4、合的知識靈活處理，其難點是對相鄰區(qū)域顏色不同的處理，解決的方法往往要采用分類討論的方法，根據(jù)“兩個原理”計算.（2）本題也可以考慮對使用的顏色的種數(shù)進行分類，如果使用2種顏色，則只能是第1,4涂一種、第2,3涂一種，方法數(shù)是CSA2=20;若是使用3種顏色， 若第1,2,3方格不同色，第4個方格只能和第1個方格相同，方法數(shù)是C3AS=60, 如果第1,2,3方格只用兩種顏色，則第4個方格只能用第3種顏色，方法數(shù)是C3X3X2=60;如果使用4種顏色，方法數(shù)是CA4=120.根據(jù)加法原理總的涂法種 數(shù)是260.易錯提示在涂色問題中一定要看顏色是否可以重復(fù)使用，不允許重復(fù)使用的涂色問題實際上就是一

5、般的排列問題， 當顏色允許重復(fù)使用時，要充分利用“兩小方格有3種不同的涂法由分步計數(shù)原理可知，有當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有個基本原理 ”分析解決問題【變式訓(xùn)練】1某次活動中，有30個人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進行禮儀表演，要 求這3人任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為 _（用數(shù)字作答）解析 其中最先選出的一個有30種方法，此時這個人所在的行和列不能再選人， 還剩一個5行4列的隊形，選第二個人有20種方法，此時該人所在的行和列不 能再選人，還剩一個4行3列的隊形，此時第三個人的選法有12種，根據(jù)分步 乘法計數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30X20X12=7 200.答案7 20

6、0考點二： 排列與組合【例2】（1）（2012 海淀一模）從甲、乙等5個人中選出3人排成一列，則甲不在 排頭的排法種數(shù)是A12B24C36D48（2）（2012深圳模擬）值域為2,5,10，其對應(yīng)關(guān)系為y=x2+1的函數(shù)的個數(shù)為A1B27C39D8審題導(dǎo)引 （1）分“選甲”與“不選甲”兩類進行討論；（2 ）根據(jù)函數(shù)的值域，求出函數(shù)定義域中可能包含的元素，分類討論確定其定義域規(guī)范解答（1）若選甲，則有A2A?種排法；若不選甲，則有A4種排法，則共有A2A4+A4=48（種）.（2）分別由x21=2，x21=5，x21=10解得x= 1，x=2，x= 3，由函數(shù)的定義，定義域中元素的選取分四種情況

7、：1取三個元素：有c2c2c2=8（種）；2取四個元素：先從，i2，3三組中選取一組C1，再從剩下的兩組中選兩個元素c1c1,故共有c1c2c2=12（種）；3取五個元素：C65=6（種）；4取六個元素：1種由分類計數(shù)原理，共有8+12+6+1=27（種）答案（1）D （2）B【規(guī)律總結(jié)】排列、組合問題的解法解排列組合綜合應(yīng)用題要從 “分析 ”、“分辨”、“分類 ”、“分步”的角度入手“分 析”就是找出題目的條件、結(jié)論哪些是 “元素”，哪些是 “位置”；“分辨”就 是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有無限制等； “分類 ”就是對于較復(fù) 雜的應(yīng)用題中的元素往往分成互相排斥的幾類，然后逐類解決

8、； “分步” 就是把 問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟， 而每一步都是簡單的排列組合問題， 然后逐步解 決【變式訓(xùn)練】2.(2012 寧波模擬)某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為A.14B.24 C.28 D.48選2名女生的方案有：C22C24種；故至少選1名女生共有：泌厲+C2c4=14種方案.答案A3. (2012銀川模擬)用0,1,2,3,4排成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)， 要求偶數(shù)字相鄰， 奇 數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是A.36B.32C.24D.20解析0,1,2,3,4五個數(shù)字，偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰的排法共有A3

9、A2A2種 排法，其中0在首位的排法有AA種，所以共有A3A2A2-A2A2=20個五位數(shù). 答案D考點三： 二項式定理【例3】(1)(2012西城二模)(x2)6的展開式中，x3的系數(shù)是_ 用數(shù)字作答).(2)已知(1x)5=a0+ax+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)的值 等于_ .審題導(dǎo)引(1)利用二項展開式的通項公式求解；(2)米用賦值法，分別求出a+82+&4和a+a3+a.規(guī)范解答(1)(x2)6的展開式中通項公式為Tr+1=C6x6r(2)，令r=3,得T4=Cex3 2)3= 160 x3, 所以x3的系數(shù)是一160.分

10、別令x=1、x= 1得解析 選1名女生的方案有： ?種34Ca0+a+a2+a3+a4+a5=0.a0a1+a2a3+a4a5=32,由此解得a。+a?+ =16,a+ +a=16,(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)= 256.答案160 (2)256【規(guī)律總結(jié)】五招制勝，解決二項式問題二項式定理是一個恒等式，應(yīng)對二項式定理問題主要有五種方法：(1)特定項問題通項公式法； 系數(shù)和與差型問題賦值法；(3)近似問題截項法;(4)整除(或余數(shù))問題展開法；(5)最值問題不等式法.易錯提示在二項式定理問題中，常見的誤區(qū)有：(1)二項展開式的通項Tk+1中，項數(shù)與k的關(guān)系搞不清；(2)二項式系數(shù)與

11、各項的系數(shù)混淆不清；(3)在展開二項式(ab)n或求特定項時，忽略中間的“一”號.【變式訓(xùn)練】14.(2012武漢模擬)x3x4展開式中常數(shù)為 _ 解析x31 4展開式中的通項為入Tr+1=C4(1)rx12-4r,令124r=0,得r=3,所以常數(shù)項為T4=C4(1)3= 4.答案 45. (2012山師附中模擬)二項式(1+sin x)n的展開式中，末尾兩項的系數(shù)之和5為7,且系數(shù)最大的一項的值為，則x在0,2曬的值為_.解析(1+sin x)n的展開式中末尾兩項的系數(shù)和為cn-1+cn=n+1=7,5= 6,則(1+sin x)6的展開式中系數(shù)最大的一項為T4=C3(si n x)3,3

12、351Ce(si n x)=2，Asin x=q十n. 5n又x0,2n j-x=6或石.答案6或5n名師押題咼考【押題1】 學(xué)校組織高一年級4個班外出春游，每個班從指定的甲、乙、丙、 丁四個景區(qū)中任選一個游覽，則恰有兩個班選擇了甲景區(qū)的選法共有 _種.解析 從4個班中選2個班游覽甲景區(qū)，有c4種選法，剩余的2個班各有3種選法，有32種選法，根據(jù)乘法原理知，C232=54.押題依據(jù)兩個計數(shù)原理、排列與組合是解決計數(shù)問題的工具，在高考試題中可能單獨命題，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，也可能與概率統(tǒng)計相結(jié)合命題, 難度中等或偏下1【押題2】設(shè)a=Isin xdx,貝項式ax了4的展開式的常數(shù)項是o-xA.24B.24C.48D.